人教B版必修5-第一章-解三角形-单元试题105.pdf
人教 B 版必修 5-第一章-解三角形-单元试题 1/14 第一章 检测试题(时间:90 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)1.在ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,若 a=,A=,b=,则B 等于(A)(A)(B)(C)或(D)或 解析:因为 a=,A=,b=,所以由正弦定理可得 sin B=,因为 B(0,),ab,所以 AB,所以 B=.故选 A.2.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,asin B=sin C,cos C=,ABC 的面积为 4,则 c 等于(D)(A)3(B)4(C)5(D)6 解析:由 asin B=sin C,cos C=,得 ab=c,sin C=.人教 B 版必修 5-第一章-解三角形-单元试题 2/14 所以 absin C=c=4,解得 c=6.故选 D.3.在ABC 中,AB=5,BC=6,AC=8,则ABC 的形状是(C)(A)锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)非钝角三角形 解析:因为 52+62-82=-30,即 AB2+BC2-AC20.所以 cosABC=0),最大边对应的角为,由余弦定理可得 人教 B 版必修 5-第一章-解三角形-单元试题 3/14=4+1-4cos,解之得 cos=-0,因此为钝角,故三角形为钝角三角形.5.ABC 中,a、b、c 分别为A、B、C 的对边,若 a、b、c 成等差数列,B=30,ABC 的面积为,那么 b 等于(B)(A)(B)1+(C)(D)2+解析:因为 a,b,c 成等差数列,所以 2b=a+c.平方得 a2+c2=4b2-2ac.由 S=acsin 30=ac=,得 ac=6.所以 a2+c2=4b2-12.得 cos B=,解得 b=1+.6.在ABC 中,A=60,b=1,SABC=,则的值为(C)(A)(B)(C)(D)2 解析:由 SABC=bcsin A=,得 bc=4,所以 c=4.所以 a=.人教 B 版必修 5-第一章-解三角形-单元试题 4/14 所以=.7.在ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若(a2+c2-b2)tan B=ac,则B 的值为(D)(A)(B)(C)或 (D)或 解析:因为(a2+c2-b2)tan B=ac,所以tan B=,即 cos Btan B=sin B=.因为 0B,所以B 的值为 或.8.在ABC 中,B=,BC 边上的高等于 BC,则 sin A 等于(D)(A)(B)(C)(D)解析:如图,设 BC 边上的高为 AD,因为 B=,所以BAD=.所以 BD=AD,又 AD=BC,所以 DC=2AD,人教 B 版必修 5-第一章-解三角形-单元试题 5/14 所以 sinBAC=sin(BAD+DAC)=sin 45cosDAC+cos 45sinDAC=+=.故选 D.9.如图,为测量塔高 AB,选取与塔底 B 在同一水平面内的两点 C,D,在C,D 两点处测得塔顶 A 的仰角分别为 45,30,又测得CBD=30,CD=50 米,则塔高 AB 等于(A)(A)50 米 (B)25 米 (C)25 米 (D)50 米 解析:设 AB=a 米,则由题意知 BC=a 米,BD=a 米,因为CBD=30,CD=50 米,所以 2 500=a2+3a2-2aa,所以 a=50.故选 A.10.在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 sin=,若 ABC 的面积为,且 sin2A+sin2B=sin2C,则 c 的值为(D)(A)2 (B)3 (C)2 (D)4 解析:因为 cos C=1-2sin2=1-2=-.人教 B 版必修 5-第一章-解三角形-单元试题 6/14 所以 sin C=,因为 SABC=absin C=,所以 ab=6.又因为 sin2A+sin2B=sin2C,则 a2+b2=c2.由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcos C,可得 c2=16,所以 c=4.故选 D.二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)11.ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 C=60,b=,c=3,则 A=.解析:由正弦定理=得=,所以 sin B=,又 bc,所以 BC,所以 B=45,A=180-60-45=75.答案:75 12.某舰艇在 A 处测得一遇险渔船在北偏东 45距离 A 处10 海里的 C处,此时得知,该渔船正沿南偏东 75方向以每小时 9 海里的速度向一小岛靠近,舰艇时速为 21 海里,求舰艇追上渔船的最短时间 (单位:小时).解析:设舰艇 t 小时后在 B 处追上渔船,则由题意可知 AC=10,BC=9t,AB=21t,人教 B 版必修 5-第一章-解三角形-单元试题 7/14 ACB=120,由余弦定理得 AB2=AC2+BC2-2ACBCcos ACB,即 441t2=100+81t2+90t,解得 t=或 t=-(舍去),所以舰艇追上渔船的时间为 小时.答案:13.在ABC 中,已知 b=50,c=150,B=30,则边长 a=.解析:由 b2=a2+c2-2accos B 得:(50)2=a2+1502-150a,解得 a=50或 a=100.答案:50或 100 14.ABC 中,ac=12,SABC=3,R=2(R 为ABC 外接圆的半径),则b=.解析:SABC=acsin B=3,则 sin B=.由正弦定理=2R,得:b=2Rsin B=2.答案:2 15.在ABC 中,若B=60,2b=a+c,则ABC 的形状是 .人教 B 版必修 5-第一章-解三角形-单元试题 8/14 解析:由正弦定理,得:2sin B=sin A+sin C,因为B=60,所以A+C=120,A=120-C,则 2sin 60=sin(120-C)+sin C,即:sin C+cos C=1,故 sin(C+30)=1,所以C=60.故为等边三角形.答案:等边三角形 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分)16.(本小题满分 12 分)设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a=2bsin A.(1)求B 的大小;(2)若 a=3,c=5,求ABC 的面积及 b.解:(1)因为 a=2bsin A,由正弦定理得 sin A=2sin Bsin A,由于 sin A0,故有 sin B=,又因为B 是锐角,所以B=30.(2)依题意得,SABC=acsin 30 人教 B 版必修 5-第一章-解三角形-单元试题 9/14=35 =,由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B 可得 b2=(3)2+52-235cos 30=27+25-45=7,所以 b=.17.(本小题满分 12 分)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b=3,=-6,SABC=3,求 A 和 a.解:因为=-6,所以 bccos A=-6.又 SABC=3,所以 bcsin A=6,因此 tan A=-1.又 0A,所以 A=.又 b=3,所以 c=2.由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,得 a2=9+8-232（-）=29,所以 a=.人教 B 版必修 5-第一章-解三角形-单元试题 10/14 18.(本小题满分 12 分)已知(a2+bc)x2+2x+1=0 是关于 x 的二次方程,其中 a、b、c 是 ABC 的三边,(1)若A 为钝角,试判断方程的根的情况;(2)若方程有两个相等的实根,求A.解:(1)因为A 为钝角,所以 cos A=0,即 b2+c20,c0,所以0,此时方程无实根.(2)由已知得=0,即 b2+c2-a2-bc=0.所以 b2+c2-a2=bc.由余弦定理得,cos A=,又A(0,),所以A=.19.(本小题满分 12 分)如图,要测量河对岸A,B两点之间的距离,选取相距 km的C,D两点,并测得ACB=75,BCD=ADB=45,ADC=30,请利用所测数据计算 A,B 之间的距离.人教 B 版必修 5-第一章-解三角形-单元试题 11/14 解:在ACD 中,ACD=75+45=120,所以CAD=30,由正弦定理得=,解得 AD=3,在BCD 中,CDB=45+30=75,所以CBD=60,由正弦定理得=,解得 BD=,在ABD 中,由余弦定理得 AB=.20.(本小题满分 13 分)如图,在平面四边形 ABCD 中,AD=1,CD=2,AC=.(1)求 cos CAD 的值;(2)若 cos BAD=-,sin CBA=,求 BC 的长.解:(1)在ADC 中,由余弦定理,得 cos CAD=.故由题设知,cos CAD=.(2)设BAC=,则=BAD-CAD.人教 B 版必修 5-第一章-解三角形-单元试题 12/14 因为 cos CAD=,cos BAD=-,所以 sin CAD=,sin BAD=.于是 sin=sin(BAD-CAD)=sin BADcos CAD-cos BADsin CAD=-（-）=.在ABC 中,由正弦定理,=.故 BC=3.21.(本小题满分 14 分)人教 B 版必修 5-第一章-解三角形-单元试题 13/14 如图,在平面四边形 ABCD 中,DAAB,DE=1,EC=,EA=2,ADC=,BEC=.(1)求 sinCED 的值;(2)求 BE 的长.解:如题图,设CED=.(1)在CDE 中,由余弦定理,得 EC2=CD2+DE2-2CDDEcosEDC.由题设知,7=CD2+1+CD,即 CD2+CD-6=0.解得 CD=2(CD=-3 舍去).在CDE 中,由正弦定理,得=.sin=,即 sinCED=.(2)由题设知,0,则由(1)知,cos=.而AEB=-,人教 B 版必修 5-第一章-解三角形-单元试题 14/14 所以 cosAEB=cos（-）=cos cos+sin sin =-cos+sin =-+=.在 RtEAB 中,cosAEB=,故 BE=4.
