2020人教版九年级下册数学27.2.1相似三角形的判定9.pdf

27.2 相似三角形 27.2.1 相似三角形的判定 1已知ABCA B C，若AC=3，A C=1.8则A B C与ABC的相似比为 ()A32 B23 C35 D53 2在ABC 和ABC中，AB=AC，AB=AC，若添加一个条件可使两个三角形相似，甲添加的条件是A=A=60；乙添加的条件是A=A=90对于甲、乙添加的条件判断正确的是 ()A甲对乙错 B甲错乙对 C两人都对 D两人都错 3(2018 黑龙江哈尔滨模拟)如图，若 l l l，则下列各式错误的是 ()ADFEFACBC BDFDEACAB CDFACDEAB DBEBCADAB 4(2018吉林长春一模)如图,ABC 中，点D、E 分别在边AB、BC 上,DE AC,若 DB=4,AB=6,BE=3,则 EC 的长是_.5(2018黑龙江哈尔滨中考)如图，在ABC 中，点D 在 BC 边上，连接AD，点G在线段AD 上，GE BD，且交AB 于点E，GF AC，且交CD 于点F，则下列结论一定正确的是 ()AADAGAEAB BADDGCFDF CBDEGACFG DDFCFBEAE 6如图27-2-1-4，已知AB CD，AE DF，AE，FD 分别交BC 于点G，H，则图中相似三角形共有_对 7(2018 江苏常州期末)如图，ABC 和DEF 的顶点都在边长为1 的小正方形的顶点上，问ABC 和DEF 相似吗？为什么？8(2017 上海浦东模拟)下列各组条件中一定能推得ABC 与DEF 相似的是 ()ABCEFDEACDFAB BDFDEBCAB，且A=E CDEACDFAB，且A=D DACDEDFAB，且A=D 9(2018北京怀柔期末)如图，在ABC中，D 为 AC 边上一点，BC=4，AC=8，CD=2求证：BCDACB 10.已知：如图，ADE=ACD=ABC，图中相似三角形共有 ()A 1 对 B 2 对 C 3 对 D 4 对 11.如图27-2-1-8，O 中弦AB，CD 相交于点P，已知AP=3，BP=2，CP=1，则DP=_.12.(2018 湖北武汉模拟)如图，AB DE，AC DF，点 B、E、C、F 在一条直线上求证：ABCDEF.13(2017 浙江衢州中考)如图，AB 为半圆O 的直径，C 为 BA 延长线上一点，CD切半圆O 于点D，连接OD 作 BE CD 于点E 交半圆D 于点F 已知CE=12,BE=9 (1)求证：CODCBE；(2)求半圆O 的半径r 的长 14.如图，在ABC中，AC=3，BC=4，AB=5在DEF 中，F=90，DF=6，DE=10.求证：ABCDEF 1(2016 江苏常州月考)如图27-2-1-12，AB 是O 的弦，D、E 是O 上任意两点，连接AD，DE，AE，BD，AE 与 BD 相交于点C，现给出下列四个条件：ACD=DAB;AD=DE；AD=BD CD；AD AB=AC BD在以上4 个条件中选取一个，能使DACDBA 的条件有 ()A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 2 如图27-2-1-13，在四边形ABCD 中，AD BC，ABC=90，AD=2，BC=6，AB=7，点 P 是线段BA 上的一个动点，连接PC、PD若PAD 与PBC 是相似三角形，则满足条件的点P 有 ()A 5 个 B 4 个 C 3 个 D 2 个 3(2016 四川自贡富顺一模)如图，正方形ABCD 的边长为2，BE=CE MN=1，线段 MN 的两端点在CD、AD 上滑动，当ABE 与以D、M、N 为顶点的三角形相似时，DM=()A55 B552 C55255或 D553552或 4(2018 上海松江一模)如图，已知在ABC 中，点D、E 分别在边AB、AC 上，DE BC，AD：BD=2:1，点F 在 AC 上，AF：FC=1：2，连接BF，交DE 于点G，那么 DG：GE 等于 ()A 1:2 B 1:3 C 2:3 D 2:5.5(2017 浙江杭州模拟)如图所示，在ABC 中，AB=6，AC=4，P 是 AC 的中点，过 P 点的直线交AB 于点Q，若以A、P、Q 为顶点的三角形和以A、B、C 为顶点的三角形相似，则AQ 的长为_.6(2018 浙江衢州柯城期中)如图，点E 在线段AB 上，CA AB 于点A，DB AB于点B，AC=1，AB=5，EB=2，点P 是射线BD 上的一个动点，则当BP=_时，CEA 与EPB 相似 1(2018 河北唐山滦南一模12，)如图，在ABC 与ADE 中，BAC=D，要使ABC 与ADE 相似，还需满足下列条件中的 ()AAEABADAC BDEBCADAC CDEABADAC DAEBCADAC 2(2018 黑龙江哈尔滨南岗一模9，)如图19，直线l l l，直线AC 分别交l、l、l于点A、B、C，直线DF 分别交l、l、l于点D、E、F，AC与 DF 相交于点H，则下列式子不正确的是 ()AEFDEBCAB BEFBCDEAB CDFDEACAB DCFBEBCAB 3(2018江苏常州期末8)如图20，在ABC中，B=60，BA=3，BC=5，将ABC沿虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是 ()A B C D 4(2018 上海宝山一模，9，)如图21，D、E 分别为ABC 的边AC、AB上的点，当_时，ADEABC，其中D、E 分别对应B、C(填一个条件即可)5(2017 福建莆田仙游模拟，15，)如图，在等边ABC 中，点D、E 分别在 BC、AC 边上，且ADE=60，AB=3，BD=1则EC=_.6(2017 山东临沂兰陵月考，19，)如图，在ABC 中，已知AB=AC，D、E、B、C 在同一条直线上，且AB=BD CE，求证：ABDECA 1(2018 湖南永州中考，8，)如图，在ABC 中，点D 是边AB 上的一点，ADC=ACB，AD=2，BD=6，则边AC 的长为 ()A 2 B 4 C 6 D 8 2(2018 四川乐山中考，4)如图，DE FG BC，若DB=4FB，则EG 与GC 的关系是 ()A EG=4GC B EG=3GC C EG=25GC D EG=2GC 3(2017 湖北恩施州中考11)如图，在ABC 中、DE BC，ADE=EFC,AD:BD=5:3,CF=6,则 DE 的长为 ()A 6 B 8 C 10 D 12 4(2018 浙江舟山中考，12)如图，直线l l l直线AC 交 l，l，l于点A，B，C；直线DF 交 l，l，l，于点D,E,F，已知31ACAB，则DEEF=_ 5(2017山东潍坊中考，15，)如图，在ABC中，AB AC，D、E 分别为边 AB、AC 上的点，AC=3AD，AB=3AE，点 F 为 BC 边上一点，添加一个条件：_，可以使得FDB 与ADE 相似(只需写出一个)6(2018 浙江杭州中考，19，)如图，在ABC中，AB=AC，AD 为 BC 边上的中线，DE AB 于点E (1)求证：BDECAD；(2)若 AB=13，BC=10，求线段DE 的长 7(2015 上海中考，23)已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点0，点E 在边BC 的延长线上，且OE=OB，连接DE.(1)求证：DE BE；(2)如果OE CD，求证：BD CE=CD DE.1(2017 四川内江中考)如图，正方形ABCD 中，BC=2，点M 是边AB 的中点，连接 DM，DM 与 AC 交于点P，点 E 在 DC 上，点 F 在 DP 上，且DFE=45若 PF=65，则 CE=_.2(2017 浙江宁波慈溪期末)如图，ABO 中，点O 是坐标原点，A(2，2)，B(4，2)，点C 在x 轴正半轴上，O，B，C 三点所构成的三角形与ABO 相似，则点C的坐标是_.27.2 相似三角形 27.2.1 相似三角形的判定 1.D 对应边的比等于相似比，且有顺序性，故A B C与ABC 的相似比为5338.1ACCA故选D 2.C甲添加条件后，两个三角形都是等边三角形，两个三角形的三个角都是60，三边成比例，这两个三角形相似；乙添加条件后，两个三角形都是等腰直角三角形，三个角分别为90，45，45，三个角分别相等，由勾股定理可知，斜边是直角边的2倍，故这两个三角形三边成比例，两个三角形相似故甲、乙添加的条件都正确，故选C 3.Dl l l，,DFACDEABDFDEACABDFEFACBC故选D 4答案23 解析 DE AC，DB:AB=BE:BC DB=4,AB=6,BE=3，4：6=3：BC，解得BC=29，EC=BC-BE=29-3=23 5.DGE BD,GF AC,AEGABD,DFGDCA,DCDFDADGADAGABAEDFCFDGAGBEAE，故选D 6答案6 解析 AB CD,AE DF，ABGECG,ECGFBH,FBHDCH,DCHECG,ABGFBH,ABGDCH，共6 对 7解析 ABC 和DEF 相似理由如下：由题意得AB=2，EF=2，根据勾股定理得AC=25，BC=22，DE=2，DF=10，221 052,22DFACDEAB,22222EFBC,EFBCDFACDEAB,ABCDEF.8 C 选项A，ABC与DEF 的三组边不是对应成比例，所以不能判定ABC 与 DEF 相似，故A 错误；选项B，A 与E 不是ABC与DEF 成比例的两边的夹角，所以不能判定ABC与DEF 相似，故B 错误；选项C，ABC与DEF 的两组边的比相等且夹角对应相等，所以一定能判定ABC 与DEF 相似，故c 正确；选项D，ACDEDFAB不是ABC与DEF的边对应成比例，所以不能判定ABC与DEF相似，故D 错误，故选C 9证明BC=4 AC=8，CD=2，21BCCDACBC.又C=C BCDACB 10.D ADE=ABC DE BC，ADE ABC,EDC=DCB，ACD=ABC,EDCDCB同理ACD=ABC,A=A,ABCACD ADE=ACD,A=A,ADEACD，相似的三角形共4 对故选D 11.答案 6 解析如图，连接BC,AD，CBP和ADP都是所对的圆周角,CBP=ADP,又BPC=DPA,BPCDPA,DPBPAPCP，DP=6123CPBPAP.12.证明AB DE,AC DF,B=DEF,F=ACB,ABCDEF.13.解析(1)证明：CD 切半圆0 于点D，CD OD,CD0=90,BE CDE=90=CDO,又C=C，CODCBE.(2)在 Rt BEC中,CE=12,BE=9,BC=22BECE=15，CODCBE,BCOCBEOD，即15159rr,解得r=845.14证明 在ABC 中，AC=3，BC=4，AB=5，AC+BC=3+4=25=5=AB,C=90.在 Rt ABC 和 Rt DEF 中，21DEABDFAC，ABCDEF.1.C ACD=D AB,A DC=B DA,DACDBA，故符合题意；由AD=DE，得DAC=D EA，DEA=D BA，DAC=D BA,又ADC=B DA，DACDBA，故符合题意；由AD=BD CD，得AD：BD=CD：AD，ADC=B DA,DACDBA，故符合题意；由AD AB=AC BD，得AD：BD=AC：AB，而DAC=D BA 不一定成立，所以ADC 与ABD 不一定相似，故不符合题意 所以4 个条件中选取一个，能使DACDBA 的条件有3 个故选C 2.C AD BC,A BC=90，PAD=90，设AP=x，则BP=7-x，分两种情况：当BCBPADAP时，672xx，解得x=47；当BPBCADAP时，xx762，解得x=3 或 x=4，经检验，x=3，x=4 皆为方程的解综上所述，当AP=47或 3 或 4 时，PAD 与PBC 是相似三角形，即满足条件的点P 有 3 个，故选C 3 C 正 方 形ABCD 的 边 长 为2，AB=BC=2，BE=CE，BE=1 AE=5122222 BEAB又ABE 与以D、M、N 为顶点的三角形相似，DM 与 AB 是对应边时，即ABEMDN时，AEMNABDM，512DM，解得DM=552；DM 与 BE 是对应边时，即ABENDM 时，AEMNBEDM,511DM，解得DM=55，DM 为552或55时，ABE 与以D、M、N 为顶点的三角形相似，故选C 4 B DE BC，ECAEDBAD=2，EA：CA=2：3，32ACAEBCDE,AF:FC=1:2,AF:AC=1:3,AF=EF=EC,EG:BC=FE：FC=1:2，设EG=m,BC=2m，DE=34m,DG=34m-m=31m，DG：GE=31m：m=1：3故选B 5答案3 或34 解析AC=4,P 是AC 的中点，AP=AC21=2若APQACB，则ABAQACAP，即642AQ，解得AQ=3；若APQABC，则ACAQABAP，即462AQ，解得AQ=34AQ 的长为3 或34.6答案32或 6 解析CA AB，DB AB，A=B=90 又AB=5，EB=2 AE=AB-EB=3 分两种情况：当CAEPBE 时，BEAEPBCA，即231PB，解得PB=32；当CAEEBP 时，BPAEBECA，即BP321，解得BP=6综上，当BP=32或 6 时，CEA 与EPB 相似.一、选择题 1.C BAC=D，DEABADAC，由“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”可得CABADE故选C 2.Dl l l，EFBCDEABDFDEACABEFDEBCAB或或，即A B、C 中的式子都正确故选D 3.D A 项和B 项，阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，则两三角形相似，故 A B 不符合题意；C 项，38.35513，两三角形中两条边成比例且夹角相等，则两三角形相似，故C 不符合题意，故选D 二、填空题 4答案ADE=B(AED=C 或ABADACAE)解析当ADE=B 或AED=C 时，EAD=CAB，由“两角相等的两个三角形相似”得出ADEABC；当ABADACAE时，EAD=CAB，由“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”得出ADEABC 5答案32 解析 ADC=B+BAD,A DC=A DE+CDE,B=A DE=60,60+CDE=60+B AD,CDE=B AD,又 B=C=60，ABD DCE，BDECABDC，AB=3,BD=1，BC=AB=3,DC=2，132EC，得EC=32.三、解答题 6证明 AB=AC,A BC=A CB,ABD=A CE,AB=BD CE，ABBDCEAB，即CABDCEAB，ABDECA 一、选择题 1.B A=A,A DC=A CB，ADC ACB，ACADABAC，AC=AD AB=2(6+2)=16，AC 0，AC=4故选B 2.BDE FG BC,DB=4FB,DF=3FB,13FBDFGCEG=3，EG=3GC故选B 3.C DE BC，ADE=BADE=EFC，B=EFC,BD EF,DE BF，四边形BDEF 为平行四边形，DE=BFDE BC，ADEABC，85BDADADABADBCDE，BC=58DE，CF=BC-BF=53DE=6，DE=10 故选C 二、填空题 4答案2 解析31ACAB，ABBC=2，l l l,ABBCDEEF=2 5答案 A=B DF(A=B FD 或ADE=B FD 或ADE=B DF 或DF AC 或AEBFDEBDEDBFAEBD或)解析AC=3AD,AB=3AE，31ABAEACAD，又A=A,ADE ACB,AED=B故要使FDB 与ADE 相似，只需再添加一组对应角相等，或夹角的两边成比例即可 三、解答题 6解析(1)证明：AB=AC,BD=CD,AD BC,B=C,DE AB,DEB=A DC,BDECAD (2)AB=AC,BD=CD,AD BC,在 Rt ADB 中.AD=2222513 BDAB=12，21 AD BD=21 AB DE,DE=1360.7证明 (1)OE=OB,OBE=OEB 平行四边形ABCD的对角线相交于点O，0B=0D OE=ODODE=OED 在 BDE 中,OBE+OEB+OED+ODE=180,BED=90,即 DE BE.(2)OE CD,CDE+D E0=90.又CEO+D E0=90,CDE=CEO.OBE=OEB,OBE=CDE.BED=D EC,DBECDE.CEDECDBD,BD CE=CD DE.1答案67 解析四边形ABCD是正方形，AB=BC=CD=DA=2，D AB=90，DCP=45，点M 是AB 的中点，AM=BM=1在Rt ADM 中，DM=5122222 AMAD，AM CD，21PDMPDCAM，DP=352，PF=65，DF=DP-PF=25，EDF=PDC，DFE=D CP=45，DEFDPC，DPDEDCDF，352225DE,DE=65 CE=CD-DE=2-6765.2答案(2，O)或(10，O)解析 A(2,2),B(4,2），AB=2,OB=25,ABO=B OC ABO与OBC相似分两种情况：当OABBCO时，有OBOBOCAB，即52522OC，0C=2，点C 在 x 轴正半轴上，C(2，0)；当OABCBO 时，有OBOBBOAB,即OC52522，OC=10，点C 在 x 轴正半轴上，C(10，0).综上，点C 的坐标为(2，0)或(10，0)