固体物理复习(13页)639.pdf

-第 1 页 非晶体 原子的排列没有明确的周期性（短程有序）晶 体 原子按一定的周期排列规则的固体（长程有序）准晶体 介于晶体和非晶体之间的新的状态 晶体结构 最常见的三种立方格子简单立方晶格、面心立方晶格、体心立方晶格，其配位数分别为 6、12、8；六角密堆的配位数为 12，金钢石结构的配位数为 4。原胞 是最小的晶格重复单元。对于简单晶格，原胞包含 1 个原子。若321,aaa表示某布拉伐格子的基矢（又称正格子基矢），321,bbb表示该布拉伐格 子的 倒 格子基 矢，那 么正 格 子 基 矢与倒 格子基 矢之 间满足 的关 系为：。(教材：p17)画出体心立方、面心立方和六角密堆的原胞，如果各自晶胞的体积为 v，则原胞的体积分别为 v/2,v/4,v/3 晶向 晶面 画出简单立方晶格的晶向，立方边共有 6 个不同的晶向 由于立方晶格的对称性，以上 6 个晶向是等效的可以表 示为 100,001,010010,001,100100110111-第 3 页 布拉伐格子，矢量332211bhbhbhGh的全部端点的集合构成 倒格子。对晶格常数为 a 的 SC 晶体，与正格矢kaj aiaR22正交的倒格子晶面族的面指数为 （122）,其面间距为 a32 。晶体绕某转轴转动角时保持不变，则的可能取值有：。晶体的宏观对称性是在原子的周期排列基础上产生的。晶体宏观可能有的对称操作有严格的限制，晶体的宏观对称素有：。某晶格的倒格子是体心立方，则该晶格的正格子是面心立方结构 简答题 1、试述晶胞与原胞的区别。计算题 1、证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方格子；面心立方晶格的倒格子是体心立方格子。解：（1）体心立方格子原胞基矢：)(2),(2),(2321kjiaakjiaakjiaa 倒格子基矢：)(2)(222321321kjiakjiaaaaaab)()(422kjikjia)(2kja 1 1223 32dhbh bh b-第 4 页 同理：)(22321132kiaaaaaab )(22321213jiaaaaaab 可见由321,bbb为基矢构成的格子为面心立方格子。（2）面心立方格子原胞基矢：)(2),(2),(2321jiaakiaakjaa 倒格子基矢：3213212aaaaab)(2kjia 同理：)(22kjiab )(23kjiab 可见由321,bbb为基矢构成的格子为体心立方格子。2、试证明正格子中一族晶面（h1 h2 h3）和倒格矢332211bhbhbhKh正交。证明：离原点最近的晶面如下图所示：ABC 是晶面族（h1 h2 h3）离原点最近的晶面，022)()(1133332211hahabhbhbhACKh022)()(1122332211hahabhbhbhABKh 所以332211bhbhbhKh与晶面 ABC正交，也即与晶面指数为（h1 h2 h3）的晶面族正交。固体的结合 按照 Mulliken 原子负电性定义使原子失去一个电子所需要的能量叫电离能，中性原子吸收一个电子成为负离子所放出的能量亲和能。共价键结合的两个基本特征 饱和性和方向性 周期表中由上到下，原子的负电性逐渐减弱，简述题-第 5 页 1、简述固体结合中离子性结合和范德瓦耳斯性结合的基本特点。2.1证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为2ln 2.证 设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号），用 r 表示相邻离子间的距离，于是有 (1)11112.234jijrrrrrr 前边的因子 2 是因为存在着两个相等距离ir的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，故对一边求和后要乘 2，马德隆常数为 234(1).34nxxxxxx 当 X=1 时，有1111.2234n 2.3 若一晶体的相互作用能可以表示为()mnu rrr 求 1）平 衡 间 距0r 2）结 合 能W（单 个 原 子 的）3）若 取02,10,0.3,4mnrnm WeV，计算,值。解 1）晶体内能()()2mnNU rrr 平衡条件00r rdUdr 11000mnmnrr 10()n mnrm 2)单个原子的结合能01()2Wu r 00()()mnr ru rrr 1(1)()2mn mmnWnm 3）00mnmnrr 10()n mnrm 1(1)()2mn mmnWnm 1002Wr 95101.18 10eV m 201002rWr 1929.0 10eV m 11121.23422n-第 6 页 晶格振动 由 N 个原胞构成的三维晶体，原胞中有 l 个原子，晶体共有 3Nl 个独立振动的正则频率。一维单原子链的色散关系是 晶格振动的能量量子称为声子 三维复式格子一个原胞中有 n 个原子，那么在晶体中有 3 支声学波和 3n-3 支光学波。作图：1 画出二维正方格子的 1、2、3 布里渊区；六方格子的 1、2、3 布里渊区 1、研究晶格振动时，通常将晶格振动的能量子称为声子，简述对声子的理解。2、简述爱因斯坦模型和德拜模型的本质区别。答：爱因斯坦假定晶体中所有原子都以相同的频率作振动。这一假定实际上忽略了振子之间的差异，认为 3N 个谐振子是全同的。在高温下，爱因斯坦的热容理论与杜隆-珀替定律一致，取得巨大成功；但是在低温时，爱因斯坦模型与实验偏差较大，造成这一偏差的根源是爱因斯坦模型过于简单，它忽视了各格波对热容的贡献的差异。爱因斯坦考虑的格波频率较高，当温度较低时，这些高频率的格波就微不足道了。德拜模型假定晶体是各向同性的,把格波看成是弹性波.这种模型我们称为德)2(sin422aqm)2sin(2aqm-第 7 页 拜模型。在低温下,决定晶体热容的主要是长声学波,长声学波就是弹性波,德拜模型的假定就是把格波看作弹性波,因此在低温下,德拜模型与实验结果能够相符合。3、简述玻恩卡门（Born-Karman）周期性边界条件 4、试述长光学波与长声学波的本质区别。长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子相对振动，振动频率较高，它包含了晶格振动频率最高的振动模式。长声学支格波的特征是原胞内不同原子没有相对位移，原胞做整体振动，振动频率较低，它包含了晶格振动频率最低的振动模式，波速是一常数。任何晶体都存在声学波，但简单晶格（非复式格子）晶体不存在光学支格波。1、对于一维单原子点阵，已知简正模式的色散关系为)21sin()(qaqm，式中Mm2，为回复力系数，M 为原子质量，求：（1）导出模式密度的精确表达式)(；（2）在德拜模型下，求出德拜截止频率（最大频率）D。解:(1)一维简单晶格的色散关系曲线如下图所示:由色散关系的对称性可以看出，d区间对应两个同样大小的波矢空间 dq。a2区间对应 L/a 个振动模式,单位波矢区间对应有 L/2个振动模式。d范围则包含：dqLdqL22个振动模式。单位频率区间包含的模式数目定义为模式密度，根据这一定义可得模式密度为：ddqL。由色散关系得:-第 8 页 dqqaadm)21cos(21 所以,模式密度:)21cos(2)(qaaLm (2)德拜模型把晶格看作是各向同性的连续介质，把格波看作弹性波。qvp aLdNm0)(pvLddqL)(代入可以求出:LvaavppD 2、求一维无限长单原子链 LNa 振动模式密度 解：一维单原子链中 一维情况下 振动模式密度 考虑到一个频率可以有(/)q 两个值 振动模式密度 将 代入上式 可得 4sin()2aqm1()2()qLgq1()22()qLgqsin()2maq()cos()22mqaaqq2()1sin()22mqaaqq222ma2221()mNg-第 9 页 第四章 能带理论 1、导带以下的第一个满带，或者最上面的一个满带称为 价带；最下面的一个空带称为 导带；两个能带之间，不允许存在的能级宽度，称为 带隙。简述题：晶体中的电子 满带 电子占据了一个能带中所有的状态 空带 没有任何电子占据(填充)的能带 导带 一个能带中所有的状态没有被电子占满 即不满带，或说最下面的一个空带 价带 导带以下的第一个满带 禁带 两个能带之间不允许存在的能级宽度-第 10 页 1 试述一维晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理 第一步简化 绝热近似离子实质量比电子大，运动慢，离子固定在瞬时位置上；第二步简化 利用哈特里一福克自治场方法 多电子问题简化为单电子问题每个电子在离子势场和其它电子的平均场中运动；第三步简化 周期性势场所有离子势场和其它电子的平均场是周期性势场 2、根据能带理论，简要说明金属、半导体、绝缘体的划分有何区别。答：对于金属来说，能级是准连续的，能级和能级之间能量差很小，在热激发下，低能级上的电子可以跃迁到高能级上；对于半导体而言，在布里渊区边缘能级分裂，结果出现禁带，但是半导体材料的禁带宽度很小，一般小于 2 个电子伏特，在热激发下部分低能级电子可以跃迁到高能级上，从而表现出导电性。而对于绝缘体来说，同样也出现禁带，只是它的禁带宽度要相对大些，一般的温度下，热激发不能够提供足够的能量是低能级上的电子跃迁到高能级上，因此不能表现出导电性。-第 11 页 1、有一一维单原子链，间距为 a，总长度为 Na。（1）用紧束缚近似求出原子 s 态能级对应的能带 E(k)函数。（2）求出其能态密度函数的表达式。解：010101(1),()()2cos2cosikaikassE kJJ eeJJkaEJka 0()()sik RsE kEJJ p e(2),1121()2222sinsinLdkNaNN EdEJ akaJka 2、用紧束缚近似求出面心立方晶格和体心立方晶格 s 态原子能级相对应的能带()sEk函数 解 面心立方晶格 s 态原子能级相对应的能带函数0()()ssik RsssRNearestEkJJ R e s 原子态波函数具有球对称性0*01()()()()()0sisiJJ RRUVd 01()ssik RssRNearestE kJJe 任选取一个格点为原点 最近邻格点有 12 个 12 个最邻近格点的位置,022,022,022,022aaaaaaaa0,220,220,220,22aaaaaaaa,0,22,0,22,0,22,0,22aaaaaaaa 022saaRijk 01()ssik RssRNearestE kJJe-第 12 页()(0)22()2(cossin)(cossin)2222xyzsxyaai k ik j k kijkik Raikkyyxxeek ak ak ak aeii 类似的表示共有 12 项 归并化简后得到面心立方 s 态原子能级相对应的能带 01()4(coscoscoscoscoscos)222222ssyyxxzzE kJk ak ak ak ak ak aJ 对于体心立方格子 任选取一个格点为原点 有 8 个最邻近格点 最近邻格点的位置,222,222,222,222aaaaaaaaaaaa ,222,222,222,222aaaaaaaaaaaa 222saaaRijk 01()ssik RssRNearestE kJJe()()()2222(cossin)(cossin)(cossin)222222xyzxyzsaaaai k ik j k kijkikkkik Ryyxxzzeeek ak ak ak ak ak aiii 类似的表示共有 8 项 归并化简后得到体心立方 s 态原子能级相对应的能带 01()8cos(/2)cos(/2)cos(/2)ssxyzE kJJk ak ak a 晶体的缺陷按照几何形态分类有：点缺陷、线缺陷、面缺陷、体缺陷等；按形成原因分类有：热缺陷、杂质缺陷、非化学计量缺陷等 晶体中的点缺陷包括空位、杂质原子、间隙原子、色心等，其中色心可以使原来透明的晶-第 13 页 体出现颜色 位错两种基本类型：刃位错、螺位错 孪晶属于面缺陷 晶体中的原子或离子由于热振动的能量起伏可能离开理想的晶格位置，从而产生空位或间隙原子，这样形成的点缺陷称为热缺陷。显然，它是本征缺陷。主要有弗仑克尔缺陷（内部）、和肖特基缺陷两种类型。