必修一方程的根与函数的零点教案529.pdf
必修一 方程的根与函数的零点 教案 教学目标：知识与技能 理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应 方程要的关，掌握零点存在的判定条件 过程与方法 零点存在性的判定 情感、态度、价值观 在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值 教学重点：重点 零点的概念及存在性的判定 难点 零点的确定 教学程序与环节设计：创设情境 结合二次函数引入课题 研究二次函数在零点、零点之内及零点外的函数值符 组织探究 二次函数的零点及零点存在性的 号，并尝试进行系统的总结 尝试练习 零点存在性为练习重点 探索研究 进一步探索函数零点存在性的判定 作业回馈 重点放在零点的存在性判断及零点的确定上 课外活动 教学过程与操作设计：环节 教学内容设置 师生双边互动 先来观察几个具体的一元二次方程的根 及其相应的二次函数的图象：1 方 程 x2 2x 3 0 与 函 数 师：引导学生解 方程，画函数图象，y x2 2x 3 分析方程的根与图 象和 x 轴交点坐标 方 程 x 2 2x 1 0 与 函 数 的关系，引出零点的 创 2 概念 设 y x2 2x 1 生：独立思考完 情 成解答，观察、思考、境 方 程 x2 2x 3 0 与 函 数 总结、概括得出结 3 论，并进行交流 y x2 2x 3 师：上述结论推 广到一般的一元二 次方程和二次函数 又怎样？函数零点的概念：对于函数 y f(x)(x D)，把使 f(x)0 成立的实数 x 叫做函数 y f(x)(x D)的零 点 函数零点的意义：函数 y f(x)的零点就是方程 f(x)0 组 织 实数根，亦即函数 y f(x)的图象与 x 轴交点 探 的横坐标 究 即：师：引导学生仔细体会左边的这段文字，感悟其中的思想方法 生：认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索其求法：1 代数法；2 几何法 方程 f(x)0 有实数根 函数 y f(x)的图象与 x 轴有交点 函数 y f(x)有零 点 函数零点的求法：求函数 y f(x)的零点：1 （代数法）求方程 f(x)0 的实 数根；2（几何法）对于不能用求根公式的方 程，可以将它与函数 y f(x)的图象联系起 来，并利用函数的性质找出零点 二次函数的零点：二次函数 y ax 2 bx c(a 0)），方程 ax 2 bx c 0 有两不 等 环节 教学内容设置 实根，二次函数的图象与 x 轴有两个交点，二次函数有两个零点 ），方程 ax 2 bx c 0 有 组 两相等实根（二重根），二次函数的图象 织 与 x 轴有一个交点，二次函数有一个二重 探 零点或二阶零点 究），方程 ax 2 bx c 0 无 实根，二次函数的图象与 x 轴无交点，二次函数无零点 师：引导学生运用函数零点的意义探索二次函数零点的情况 师生双边互动 生：根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论 零点存在性的探索：（）观察二次函数 f(x)x2 2x 3 的 图象：在区间 2,1 上有零点 _；1 f(2)_，f(1)_,f(2)f(1)_0（或）在区间 上有零点 _；2 2,4 f(2)f(4)_0（或）（）观察下面函数 y f(x)的图象 生：分析函数，按提示探索，完成解答，并认真思考 师：引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系 生：结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析 师：引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用 在区间 上 _(有/无)1 a,b 零点；f(a)f(b)_0（或）在区间 上 _(有/无)2 b,c 零点；f(b)f(c)_0（或）在区间 上 _(有/无)3 c,d 零点；f(c)f(d)_0（或）由以上两步探索，你可以得出什么样 的结论？怎样利用函数零点存在性定理，断定函数 在某给定区间上是否存在零点 环节 教学内容设置 例 例 1求函数 f(x)ln x 2 x 6 的零点个 题 研 数 师生互动设计 师：引导学生探 索判断函数零点的方法，指出可以借助 究 问题：1）你可以想到什么方法来判断函数零点 个数？2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？例 2求函数 y x 3 2x 2 x 2，并画 出它的大致图象 1利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：（1）x 2 3x 5 0；（2）2x(x 2)3；（3）x2 4x 4；尝（4）5x2 2x 3x2 5 试 练 2利用函数的图象，指出下列函数零点习 所在的大致区间：（1）f(x)x3 3x 5；（2）f(x)2 x ln(x 2)3；（3）f(x)ex 1 4x 4；（4）f(x)3(x 2)(x 3)(x 4)x 1 已 知 f(x)2 x4 7x3 17x 2 58 x 24，请探究方 程 f(x)0 的根如果方程有根，指出每个根 探 究 所在的区间（区间长度不超过 1）与2设函数 f(x)2 x ax 1 发 现（1）利用计算机探求 a 2 和 a 3 时函 数 f(x)的零点个数；计算机或计算器来画函数的图象，结合图象对函数有一个零点形成直观的认识 生：借助计算机或计算器画出函数的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后利用函数单调性判断零点的个数师：结合图象考察零点所在的大致区间与个数，结合函数的单调性说明零点的个数；让学生认识到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的重要作用 （2）当 a R 时，函数 f(x)的零点是怎 样分布的？环节 教学内容设置 师生互动设计 1 教材 P108 习题 31（A 组）第 1、2 题；2 求下列函数的零点：（1）y x 2 5x 4；（2）y x2 x 20；（3）y(x 1)(x2 3x 1)f(x)(x2 2)(x2 3x 2)3 求下列函数的零点，图象顶点 的坐标，画出各自的简图，并指出函 数值在哪些区间上大于零，哪些区间 作 上小于零：1 x 2 业（1）y 2x 1；回 3 2x2 馈（2）y 4x 1 4 已 知 f(x)2(m 1)x 2 4mx 2m 1：（1）m 为何值时，函数的图象与 x 轴有两个零点；（2）如果函数至少有一个零点在原点右侧，求 m 的值 5 求下列函数的定义域：（1）y x 2 9；（2）y x 2 3x 4；（3）y x 2 4 x 12 研究 y ax 2 bx c，ax 2 bx c 0，考虑列表，建议画出 课 图象帮助分析 外 2 bx c 0，ax 2 bx c 0 的相互关 ax 活 动 系，以零点作为研究出发点，并将研究结果尝 试用一种系统的、简洁的方式总结表达 收 获 说说方程的根与函数的零点的关系，并给 与 出判定方程在某个区产存在根的基本步骤 体 会
