艺术生高考数学专题讲义：考点44抛物线451.pdf

考点四十四 抛物线 知识梳理 1抛物线的概念 把平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不过 F)的距离相等的点的集合叫作抛物线这个定点 F 叫作抛物线的焦点，这条定直线 l 叫作抛物线的准线 用集合语言描述：PM|MF|d1，即 PM|MF|d 注意：抛物线的定义中不可忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线 2抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离 图形 顶点 O(0,0)对称轴 y0 x0 焦点 Fp2，0 Fp2，0 F0，p2 F0，p2 离心率 e1 准线方程 xp2 xp2 yp2 yp2 焦半径|PF|p2x0|PF|p2x0|PF|p2y0|PF|p2y0 开口方向 向右 向左 向上 向下 3抛物线的焦点弦有关的常用结论(1)y1y2p2，x1x2p24.(2)|AB|x1x2p2psin2(为 AB 的倾斜角)(3)SAOBp2 2sin(4)1|AF|1|BF|为定值2p.(5)以 AB 为直径的圆与准线相切，以 AF 或 BF 为直径的圆与 y 轴相切 (6)当 AB 与抛物线的对称轴垂直时，称线段 AB 为抛物线的通径，它是焦点弦中最短者，长度等于 2p.典例剖析 题型一 抛物线的定义及其应用 例 1 若抛物线 y4x2上的一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐标是_ 答案 1516 解析 M 到准线的距离等于 M 到焦点的距离，又准线方程为 y116，设 M(x，y)，则 y1161，y1516.变式训练 已知抛物线 C：y28x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，Q 是直线 PF 与 C的一个交点，若FP4FQ，则|QF|_ 答案 3 解析 FP4FQ，|FP|4|FQ|，|PQ|PF|34.如图，过 Q 作 QQl，垂足为 Q，设 l 与 x 轴的交点为 A，则|AF|4，|PQ|PF|QQ|AF|34，|QQ|3，根据抛物线定义可知|QF|QQ|3 解题要点 利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地运用抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径 题型二 抛物线的标准方程求解 例 2 已知抛物线 C：y22px(p0)过点 A(1，2)求抛物线 C 的方程，并求其准线方程；解析 将(1，2)代入 y22px，得(2)22p1，所以 p2.故所求的抛物线 C 的方程为 y24x，其准线方程为 x1.变式训练 已知抛物线 C 与双曲线 x2y21 有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线 C 的方程是_ 答案 y24 2x 解析 因为双曲线的焦点为(2，0)，(2，0)设抛物线方程为 y22px(p0)，则p2 2，所以 p2 2，所以抛物线方程为 y24 2x.解题要点 求抛物线的标准方程的方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有 p，所以只需一个条件确定 p 值即可 因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量 题型三 抛物线的几何性质 例 3 如图，过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的直线 l 依次交抛物线及其准线于点 A、B、C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则抛物线的方程是_ 答案 y23x 解析 分别过点 A、B 作准线的垂线 AE、BD，分别交准线于点 E、D，则|BF|BD|，|BC|2|BF|，|BC|2|BD|，BCD30，又|AE|AF|3，|AC|6，即点 F 是 AC 的中点，根据题意得 p32，抛物线的方程是 y23x.变式训练 已知抛物线 C：y28x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，Q 是直线 PF 与 C的一个交点，若FP4FQ，则|QF|等于_ 答案 3 解析 FP4FQ，|FP|4|FQ|，|PQ|PF|34.如图，过 Q 作 QQl，垂足为 Q，设 l 与 x 轴的交点为 A，则|AF|4，|PQ|PF|QQ|AF|34，|QQ|3，根据抛物线定义可知|QQ|QF|3.解题要点 应用抛物线性质的技巧：1.利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程 2.要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解 3.借助抛物线的定义，在点到焦点间距离和点到准线间距离之间相互转化 当堂练习 1(2015 陕西文）已知抛物线 y22px(p0)的准线经过点(1,1)，则该抛物线焦点坐标为_ 答案(1,0)解析 由于抛物线 y22px(p0)的准线方程为 xp2，由题意得p21，p2，焦点坐标为()1，0.2 O 为坐标原点，F 为抛物线 C：y24 2x 的焦点，P 为 C 上一点，若|PF|4 2，则POF的面积为_ 答案 2 3 解析 利用|PF|xP 24 2，可得 xP3 2，yP2 6.SPOF12|OF|yP|2 3.3.(2014 年辽宁卷)已知点 A(2,3)在抛物线 C：y22px 的准线上，记 C 的焦点为 F，则直线 AF 的斜率为_ 答案 34 解析 点 A(2,3)在 y22px 的准线上，p22，p4，y22px 的焦点为 F(2,0)，kAF302234.4(2014安徽)抛物线 y14x2的准线方程是_ 答案 y1 解析 y14x2，x24y.准线方程为 y1.5已知 A(2,0)，抛物线 C：x24y 的焦点为 F，射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M，与其准线相交于点 N，则|FM|MN|_.答案 1 5 解析 MF 的方程为x2y1 即 x2y20，MF 的倾斜角为，则 tan12，由抛物线的定义可知|MF|MQ|；|MF|MN|MQ|MN|sin5515.课后作业 一、填空题 1过点 P(2,3)的抛物线的标准方程是_ 答案 y292x 或 x243y 解析 设抛物线的标准方程为 y2kx 或 x2my，代入点 P(2,3)，解得 k92，m43，y292x 或 x243y.2抛物线 y4x2的焦点到准线的距离是_ 答案 18 解析 由 x214y，知 p18，所以焦点到准线的距离为 p18.3设抛物线的顶点在原点，准线方程为 x2，则抛物线的方程是_ 答案 y28x 解析 由抛物线的准线方程为 x2，得焦点 F(2,0)，p22，p4，故抛物线的标准方程为 y28x.4在 y2x2上有一点 P，它到 A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点 P 的坐标是_ 答案 (1,2)解析 如图所示，直线 l 为抛物线 y2x2的准线，F 为其焦点，PNl，AN1l，由抛物线的定义知，|PF|PN|，|AP|PF|AP|PN|AN1|，当且仅当 A、P、N 三点共线时取等号 P 点的横坐标与 A 点的横坐标相同即为 1.5 若抛物线y22px上一点P(2，y0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为_ 答案 y28x 解析 由题意，得 2p24，p4，所以抛物线的方程为 y28x.6点 M(5,3)到抛物线 yax2的准线的距离为 6，那么抛物线的方程是_ 答案 y112x2或 y136x2 解析 将 yax2化为 x21ay，当 a0 时，准线 y14a，由已知得 314a6，1a12，a112.当 a0)，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为_ 答案 x1 解析 直线方程为 yxp2，由 yxp2，y22px，得 y22pyp20.设 A 和 B 的纵坐标分别为y1和 y2，由韦达定理知 y1y22p，又线段 AB 的中点的纵坐标为 2，所以 p2.于是抛物线的准线方程为 x1 二、解答题 12已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，直线 y4 与 y 轴的交点为 P，与 C 的交点为Q，且|QF|54|PQ|.求 C 的方程；解析 设 Q(x0,4)，代入 y22px 得 x08p.所以|PQ|8p，|QF|p2x0p28p.由题设得p28p548p，解得 p2(舍去)或 p2.所以 C 的方程为 y24x.13若抛物线 y24x 上一点 P 到其焦点 F 的距离为 3，延长 PF 交抛物线于 Q，若 O 为坐标原点，求OPQ 面积 SOPQ 解析 如图所示，由题意知，抛物线的焦点 F 的坐标为(1,0)，又|PF|3，由抛物线定义知：点 P 到准线 x1 的距离为 3，点 P 的横坐标为 2.将 x2 代入 y24x 得 y28，由图知点 P 的纵坐标 y2 2，P(2,2 2)，直线 PF 的方程为 y2 2(x1)联立直线与抛物线的方程 y2 2x1，y24x，解之得 x12，y 2或 x2，y2 2.由图知 Q12，2，SOPQ12|OF|yPyQ|121|2 2 2|322.