艺术生高考数学专题讲义：考点8对数与对数函数506.pdf

考点八 对数与对数函数 知识梳理 1对数的概念 如果 a(a0，a1)的 b 次幂等于 N，即 abN，那么数 b 叫作以 a 为底 N 的对数，记作 logaNb，其中 a 叫作对数的底数，N 叫作真数(1)对数式与指数式的互化：abN logaNb；(2)负数和零没有对数；(3)loga10，logaa1 2.两个重要对数(1)常用对数：以 10 为底的对数叫常用对数，记作：lg N，常用的两个恒等式：lg101，lg2lg51(2)自然对数：以无理数 e2.71828为底的对数叫自然对数，记作：ln N，常用的两个恒等式：ln e1，ln1 e 1 3对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则 如果 a0 且 a1，M0，N0，那么 loga(MN)logaMlogaN；logaMNlogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR).(2)对数的重要公式 换底公式：logbNlogaNlogab(a，b 均大于零且不等于 1)；logab1logba，推广 logablogbclogcdlogad.N；logaaNN(a0 且 a1)logamMnnmlogaM.4对数函数的图象与性质 a1 0a1 时，y0 当 0 x1 时，y1 时，y0 当 0 x0 是(0，)上的增函数 是(0，)上的减函数 典例剖析 题型一 对数的概念 例 1(1)方程 log2(3x1)=3 的解是 (2)已知 log3(log2x)=0，那么等于 答案 (1)3 (2)解析 (1)log2(3x1)=3 3x1=23=8，解得 x=3 故答案为：x=3(2)log3(log2x)=0，log2x=1，x=2，故答案为：变式训练 已知，则_.答案 解析 由得，所以，解得，故答案为.题型二 对数化简与求值 例 2(1)=_.(2)2log32log3log38 答案(1)3；(2)1 解析(1)原式=(2)原式log34log3log383 log3(48)3 log393 23 1 变式训练 (1)lg522lg 2121_.(2)(log32log92)(log43log83)_.答案(1)1；(2)54.解析(1)lg 522lg 2121lg 52lg 222 lg 524 2121(2)原式lg 2lg 3lg 2lg 9lg 3lg 4lg 3lg 8 lg 2lg 3lg 22lg 3lg 32lg 2lg 33lg 2 3lg 22lg 35lg 36lg 254.解题要点 对数运算中熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧另外要熟记常见的恒等式：lg 5lg 21，logambnnmlogab，logab1logba.题型三 对数值的大小比较 例 3 比较下列各组数的大小(1)log323与 log565；(2)log1.10.7 与 log1.20.7.解析 (1)log323log310，而 log565log510，log323log565.(2)00.71，1.11.2，0log0.71.1log0.71.2，1log0.71.11log0.71.2，即由换底公式可得 log1.10.7log1.20.7.变式训练 已知 a132，blog213，clog1213，则 a、b、c 的大小关系是_ 答案 cab 解析 0a132201，blog213log12121，即 0a1，b1，所以 cab.解题要点 对数值比较大小，先看底数是否相同，若底数相同，则根据底数大于 1 还是小于 1，借助对数函数的单调性比较大小；若底数不同，应寻找中间值(常用 0，1)进行比较.题型四 对数函数的图象和性质 例 4 函数 f(x)lg(|x|1)的大致图象是_ 答案 解析 由函数 f(x)lg(|x|1)的定义域为(，1)(1，)，值域为 R.又当 x1 时，函数单调递增，所以只有选项正确 变式训练 函数 ylog2|x1|的单调递减区间为_，单调递增区间为_ 答案 (，1)(1，)解析 作出函数 ylog2x 的图象，将其关于 y 轴对称得到函数 ylog2|x|的图象，再将图象向左平移1 个单位长度就得到函数 ylog2|x1|的图象(如图所示)由图知，函数 ylog2|x1|的单调递减区间为(，1)，单调递增区间为(1，)解题要点 对数函数的图象一定要分底数大于 1 还是小于 1，若底数大于 1，则对数函数 ylogax 图象是上升的，若底数小于 1，则图象是下降的.在求解对数函数单调区间时，特别要注意的是，不可忽视定义域 当堂练习 1函数 f(x)2xlg x的定义域是_.答案 (0,2 解析 由题意得 2x0，x0，得 01 时，f(x)ln(x1)，又 f(x)的图象关于 x1 对称，故选.5log354log345_.答案 278 解析 原式 log35445233278.课后作业 一、填空题 1 2lg2lg125的值为_ 答案 2 解析 2lg2lg125lg(22125)lg1002.2(2014 年天津卷)设 alog2，blog12，c2，则 a、b、c 的大小关系是_ 答案 acb 解析 alog21，blog120,0c121bc0 的限制t43xx2的单调递减区间为32，)，当 x4 时，t0，所以区间32，4)符合题意 7(2015 湖南理)设函数 f(x)ln(1x)ln(1x)，则 f(x)是_ 奇函数，且在(0,1)上是增函数 奇函数，且在(0,1)上是减函数 偶函数，且在(0,1)上是增函数 偶函数，且在(0,1)上是减函数 答案 解析 易知函数定义域为(1，1)，f(x)ln(1x)ln(1x)f(x)，故函数 f(x)为奇函数，又 f(x)ln1x1xln12x1，由复合函数单调性判断方法知，f(x)在(0,1)上是增函数，故选.8已知 0ab1n 解析 0ab1c，logcalogcb1logcb，即 logaclogbc，mn.9（2015 四川文）lg 0.01log216 的值是_ 答案 2 解析 lg 0.01log216lg 1100log224242.10函数 f(x)2xln(x1)的定义域是_ 答案 (1，2 解析 由 2x0 x10，得 1x2，故填(1，2.11（2015 安徽文）lg522lg 2121_.答案 1 解析 lg 522lg 2121lg 52lg 222lg 524 2121.二、解答题 12求下列各式的值.(1)；(2).解析 (1)原式.(2)原式 .13已知函数(1)若 m1，求函数 f(x)的定义域;(2)若函数 f(x)在区间上是增函数，求实数 m 的取值范围 解析 (1)若 m1，则 要使函数有意义，需 x2x10，解得 x 若 m1，函数 f(x)的定义域为(2)若函数 f(x)在区间上是增函数，则 yx2mxm 在区间上是减函数且 x2mxm0 在区间上恒成立，且，即 m22且 m2.m.