综合行程问题和多次相遇问题教学总结229.pdf
第 3 讲 行程问题（一）【知识导航】行程问题是各类竞赛与分班测试中必考题目,大家应把这部分知识掌握扎实。这部分知识在这一期班中我们将分两讲来阐述。这一讲中，我们先体会一下各种行程问题的一般解决办法。1.路程、时间、速度是行程问题的三个基本量，它们之间的关系如下：路程=时间速度；时间=路程速度；速度=路程时间。2.相遇问题 总路程=速度和相遇时间；速度和=总路程相遇时间；相遇时间=总路程速度和。3.追及问题 追及时间=追及路程速度差；追及路程=速度差追及时间；速度差=追及路程追及时间。【例题解析】例 1一列货车早晨 6 时从甲地开往乙地，平均每小时行 45 千米，一列客车从乙地开往甲地，平均每小时比货车快 15 千米，已知客车比货车迟发 2 小时，中午 12 时两车同时经过途中某站，然后仍继续前进，问：当客车到达甲地时，货车离乙地还有多少千米？例 2两列火车相向而行，甲车每小时行 36 千米，乙车每小时行 54 千米.两车错车时，甲车上一乘客发现：从乙车车头经过他的车窗时开始到乙车车尾经过他的车窗共用了 14 秒，求乙车的车长.例 3甲、乙二人从相距 100 千米的 A、B 两地同时出发相向而行，甲骑车，乙步行，在行走过程中，甲的车发生故障，修车用了 1 小时.在出发 4 小时后，甲、乙二人相遇，又已知甲的速度为乙的 2 倍，且相遇时甲的车已修好，那么，甲、乙二人的速度各是多少？例 4某列车通过 250 米长的隧道用 25 秒，通过 210 米长的隧道用 23 秒，若该列车与另一列长 150米.时速为 72 千米的列车相遇，错车而过需要几秒钟？例 5甲、乙、丙三辆车同时从 A 地出发到 B 地去，甲、乙两车的速度分别为每小时 60 千米和 48 千米，有一辆迎面开来的卡车分别在它们出发后的 5 小时.6 小时，8 小时先后与甲、乙、丙三辆车相遇，求丙车的速度.例 6甲、乙、丙是一条路上的三个车站，乙站到甲、丙两站的距离相等，小强和小明同时分别从甲、丙两站出发相向而行，小强经过乙站 100 米时与小明相遇，然后两人又继续前进，小强走到丙站立即返回，经过乙站 300 米时又追上小明，问：甲、乙两站的距离是多少米？先画图如下：例 7甲、乙二人分别从 A、B 两地同时出发，如果两人同向而行，甲 26 分钟赶上乙；如果两人相向而行，6 分钟可相遇，又已知乙每分钟行 50 米，求 A、B 两地的距离。例 8一条公路上，有一个骑车人和一个步行人，骑车人速度是步行人速度的 3 倍，每隔 6 分钟有一辆公共汽车超过步行人，每隔 10 分钟有一辆公共汽车超过骑车人，如果公共汽车始发站发车的时间间隔保持不变，那么间隔几分钟发一辆公共汽车？【巩固练习】A 组训练 1、甲、乙两人分别在 A 地和 B 地，甲从 A 地到 B 地需要 20 分钟，乙从 B 地到 A 地需要 30 分钟.如果两个人同时出发相向而行，多长时间可以相遇？2、甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发相向而行.已知甲车每小时行驶 40 千米.两车 6 小时后相遇.相遇后它们继续前进，又过了 3 小时，甲车到达 B 地.问：乙车还要多久才能到达 A 地？3、一辆公共汽车早上 6 点从 A 城出发，以每小时 40 千米的速度向 B 城驶去.3 小时后一辆小轿车以每小时75 千米的速度也从 A 城出发到 B 城.当小轿车到达 B 城后，公共汽车离 B 城还有 160 千米.问：公共汽车什么时候到达 B 城？4、小悦一家开车去外地旅游，原计划每小时行驶 45 千米.实际上，由于高速公路堵车，汽车每小时只行驶 30 千米，这样就晚到了 2 小时.请问：小悦一家在路上实际花了几个小时？5、甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发.如果相向而行，1 小时后两人相遇；如果同向而行，3 小时后甲追上乙，问：甲的步行速度是乙的几倍？B组练习 6、甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发相向而行.已知甲每分钟走 50 米，乙走完全程要 18 分钟.出发 3分钟后，甲、乙仍相距 450 米.问：还要过多少时间分钟，甲、乙两人才能相遇？7、一列火车长 180 米，每秒行 20 米；另一列火车长 200 米，每秒行 18 米，两车相向而行，它们从车头相遇到车尾相离要经过多长时间？8、甲火车长 370 米，每秒行 15 米；乙火车长 350 米，每秒行 21 米，两车同向行驶，乙车从追上甲车到完全超过甲车需要多长时间？9、有甲、乙、丙三人，甲每分钟走 40 米，乙每分钟走 50 米，丙每分钟走 60 米。A、B 两地相距 2700 米。甲、乙两人从 A、B 两地同时出发相向而行，他们出发 15 分钟后，丙从 B 地出发去追赶乙。请问：甲在与乙相遇之后多少分钟又与丙相遇？又过了多少分钟丙才追上乙？10、西大街小学组织学生去春游，队伍行进的速度是每秒 2 米，孙老师以每秒 4 米的速度从队尾跑到队头，再回到队尾，共用 6 分钟。请问：队伍的总长是多少米？第 4 讲 行程问题（二）【知识导航】一、行程问题考点 1）一般行程问题：基本公式：路程=速度时间 相遇问题（速度和相遇时间=路程和），追及问题（速度差追及时间=路程差）2）流水问题：水速对追击和相遇时间无影响。原因？四者中只要知 2 就可求另外 2 个量。基本公式：顺水速度=船速+水速 逆水速度=船速-水速 高级公式：船速=（顺+逆）2，水速=（顺-逆）2 3）非环形跑道多次相遇问题：要注意“第一次相遇行的全程数”与“第二次相遇行的全程数”的关系。从两端出发的直线型多次相遇问题 同一出发点的直线型多次相遇问题 注：两个人相遇，如果没有特殊强调一般都是指两个人的迎面相遇，而在第一种情况两人从两端出发相向而行，他们总是在奇数个全程上相遇（迎面相遇，不包括追及相遇）。环形跑道：每相遇一次，总路程多了一圈，不存在以上关系。所以如果速度和不变，则每相遇一次所用时间相同。二：行程问题主要方法：（1）列方程求解；（2）画图分析；（3）抓住原因分析求解；（4）比例【例题解析】例 1兄妹二人在周长 30 米的圆形水池边玩,从同一地点同时背向绕水池而行,兄每秒走 1.3 米,妹每秒走 1.2 米,他们第十次相遇时,妹妹还需走多少米才能回到出发点？例 2BA,两地间的距离是 950 米.甲、乙两人同时由A地出发往返锻炼.甲步行每分走 40 米,乙跑步每分行 150 米,40 分后停止运动.甲、乙二人第几次迎面相遇时距B地最近,距离是多少米？例 3 甲、乙两人在相距 90 米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒 3 米，乙的速度是每秒 2 米。如果他们同时分别从直路两端出发，当他们跑了 10 分钟时，那么在这段时间内共相遇了多少次？例 4两名游泳运动员在长为 30 米的游泳池里来回游泳，甲的速度是每秒游 1 米，乙的速度是每秒游0.6 米，他们同时分别从游泳池的两端出发，来回共游了 5 分钟，如果不计转向的时间，那么在这段时间内一共相遇了多少次？我们可以作出如下过程图（如图 2）：以时间 180 秒为横轴，以直路长 90 米为纵轴，就能把这一段时间内（而不仅仅是某一时刻）甲、乙两人的运动情况清楚完整地表现出来。路程（米）例 5甲、乙两地相距 70 千米，有两辆汽车同时从两地相向出发，并连续往返于甲、乙两地。从甲地开出的汽车每小时行 30 千米，从乙地开出的汽车每小时行 40 千米。当从甲地开出的汽车第三次由甲地出发与另一辆汽车相遇时，两辆汽车各行驶了多少千米？例 6 甲、乙两个运动员分别从相距 100 米的直跑道两端同时相对出发,甲以每秒 6.25 米,乙以每秒 3.75米的速度来回匀速跑步,他们共同跑了 8 分 32 秒,在这段时间内两人多次相遇(两人同时到达同一地点叫做相遇).他们最后一次相遇的地点离乙的起点有多少米？甲追上乙几次？甲与乙迎面相遇多少次？【巩固练习】A 组训练 1、甲、乙二人相距 100 米的直路上来回跑步,甲每秒钟跑 2.8 米,乙每秒钟跑 2.2 米.他们同时分别在直路两端出发,当他们跑了 30 分钟时,这段时间内相遇了多少次？2、甲、乙两个运动员同时从游泳池的两端相向下水做往、返游泳训练。从池的一端到另一端甲要 3 分钟，乙要 3.2 分钟。两人下水后连续游了 48 分钟，一共相遇了多少次？3、一个游泳池长 90 米。甲乙二人分别从游泳池的两端同时出发，游到另一端立即返回。甲每秒游 3 米，乙每秒游 2 米。二人在出发后的 2 分钟内相遇了几次？B 组训练 4、甲、乙二人分别从 A、B 两地同时出发，往返跑步。甲每秒跑 3 米，乙每秒跑 7 米。如果他们的第四次相遇点与第五次相遇点的距离是 150 米，求 A、B 两点间的距离为多少米？
