高中数学-圆锥曲线知识点(学生版)468.pdf

1 圆锥曲线回归课本 椭圆部分 一、椭圆的定义及其方程 1、（1）椭圆的第一定义：到两个定点21,FF的距离的 等于 （21FF）的点的轨迹叫椭圆，两定点21,FF叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫椭圆的 （2）椭圆的第二定义：到定点F的距离与到定直线l)(lF的距离 为 的点的轨迹叫做椭圆，其中定点F叫做椭圆的 ，定直线l叫做椭圆的 ，常数e叫做椭圆的 注：椭圆上的点到焦点的距离与到 的距离之比等于椭圆的 说明：（1）“平面内”这个条件不能少，否则轨迹为 （2）椭圆上的点到两个焦点的距离之和为常数，记为a2；两焦点之间的距离称为焦距，记为c2，即cFF221（3）为什么要求212FFa？若212FFa，则轨迹为 若212FFa，则轨迹为 若212FFa，则轨迹 2、椭圆的方程 焦点在x轴上的椭圆的标准方程：焦点在y轴上的椭圆的标准方程：中心在原点、焦点在坐标轴上椭圆的一般方程为 椭圆)0(12222babyax的参数方程为 二、椭圆的几何性质：标准方程)0(12222babyax)0(12222babxay 2 图像 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 长、短半轴长 通径长 离心率 cba,的关系 注：1.离心率对椭圆形状的影响：因为22222221ababaacace，所以离心率e越大，椭圆越 ，离心率e越小，椭圆越 三、直线与椭圆的位置关系 1.点),(00yxP与椭圆)0(12222babyax的位置关系：点P在椭圆上 点P在椭圆外（不含焦点的区域）点P在椭圆内（含焦点的区域）2.直线与椭圆的位置关系：联立直线l：mkxy与椭圆12222byax的方程得 02)(222222222bamakmxaxbka 直线l与椭圆相交 直线l与椭圆相切 3 直线l与椭圆相离 3.弦长公式（1）斜率为k的直线上两点),(),(2211yxByxA间的距离公式：AB （2）弦长公式：斜率为k的直线交椭圆12222byax于),(),(2211yxByxA两点，则 AB 4.点差法 设椭圆)0(12222babyax不与轴垂直的弦AB的中点为P，则OPABkk 椭圆设)0(12222babxay不与轴垂直的弦AB的中点为P，则OPABkk 5.椭圆的焦点三角形的性质：设P是椭圆)0(12222babyax上不同于左右顶点的一点，21,FF是左右焦点，21PFF，则 21PFPF ；焦点三角形21FPF的面积21FPFS ，当且仅当点P为 时，21FPFS最大 焦点三角形周长为 当且仅当点P位于 时21PFF最大 2sine 6.椭圆上的点对顶点的张角：设椭圆)0(12222babyax的左右顶点为BA,，点P是椭圆上不同于BA,的任意一点，则当且仅当点P位于 时，APB最大 7.焦半径公式 4（1）设点),(00yxP是椭圆)0(12222babyax上任意一点，21,FF是其左右焦点，则 1PF ，2PF ，记忆方式：（2）设点),(00yxP是椭圆)0(12222babxay上任意一点，21,FF是其下上焦点，则 1PF ，2PF ，记忆方式：8.椭圆上点到焦点和中心的距离（1）椭圆上的点到左焦点的距离的最大的点为 ，最大值为 ；最小的点为 ，最小值为 （2）椭圆上的点到中心的距离的最大的点为 ，最大距离为 ；最小的点为 ，最小距离为 9.焦点弦长（1）设过椭圆12222byax焦点F的直线交椭圆于),(),(2211yxByxA两点，则 过左焦点的弦长AB ；过右焦点的弦长AB ；（2）设焦点弦AB的过焦点的倾斜角为，则AF ；BF ；焦点弦长AB ；焦点弦最短为 ；焦点弦最长为 （3）设椭圆)0(12222babyax的焦点弦AB的倾斜角为，斜率为k，且FBAF，则椭圆的离心率11cose或1112ke 若椭圆为焦点在y轴上的椭圆，则11sine 10.椭圆的切线（1）椭圆12222byax在其上一点),(00yxP处的切线方程是 （2）过椭圆12222byax外一点),(00yxP作椭圆的切线PBPA,，切点弦AB所在直线的方程 5 为 11.椭圆的焦点弦为直径的圆的性质：以椭圆的焦点弦为直径的圆与椭圆相应的准线 双曲线部分 一、双曲线的定义 1.（1）双曲线的第一定义：与两个定21,FF的距离之 的 等于常数（）的点的轨迹叫做双曲线，定点21,FF叫做椭圆的 注：（1）“平面内”这一个条件不可少，否则轨迹为双曲面（2）为什么常数a2小于c2？若ca22，则轨迹是 若ca22，则轨迹是 若02 a，则轨迹是 （2）双曲线的第二定义：到定点F的距离与到定直线l)(lF的距离之 为 的点的轨迹叫做双曲线，其中定点F叫做双曲线的 ，定直线l叫做双曲线的 ，常数e叫做双曲线的 注：双曲线上的点到焦点的距离与到 的距离之比等于双曲线的 2、双曲线的方程 焦点在x轴上的双曲线的标准方程：焦点在y轴上的双曲线的标准方程：中心在原点、焦点在坐标轴上双曲线的一般方程为 双曲线)0(12222babyax的参数方程为 二、双曲线的几何性质：标准方程)0,0(12222babyax)0,0(12222babxay 图像 6 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 长、短半轴长 通径长 离心率 cba,的关系 渐近线 注：1.离心率对双曲线开口大小的影响：因为2222)(1ababaace，所以离心率e越大，双曲线开口越 ，离心率e越小，双曲线越 2.（1）双曲线12222byax的渐近线方程为 ，即 双曲线12222bxay的渐近线方程为 ，即 （2）与双曲线12222byax有相同渐近线的双曲线的方程为 3.双曲线中参数cba,的几何意义：过双曲线)0,0(12222babyax的焦点F作双曲线的渐近线的垂线，垂足为M，则（1）FM ；（2）OM ；（3）cOF；（4）M在 上 三、两类特殊的双曲线 1.等轴双曲线：（1）等轴双曲线的定义：我们把 和 相等的双曲线叫等轴双曲线。等轴 7 双曲线的标准方程为 （2）等轴双曲线的性质：等轴双曲线的离心率e ，反之，离心率2e的双曲线为 双曲线 等轴双曲线的两渐近线互相 ，反之，渐近线互相垂直的双曲线为 双曲线。反比例函数)0(kxky也是 双曲线 等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的 中项 2.共轭双曲线（1）共轭双曲线的定义：如果双曲线1C的实轴是双曲线2C的 ，虚轴是双曲线2C的 ，则称双曲线1C和2C互为共轭双曲线（2）共轭双曲线的性质 双曲线12222byax的共轭双曲线方程为 共轭双曲线的渐近线 共轭双曲线的四个焦点 设共轭双曲线的离心率分别为21,ee，则222111ee ；21ee 四、双曲线与椭圆的位置关系 1.点),(00yxP与双曲线)0,0(12222babyax的位置关系：点P在双曲线上 ；点P在双曲线外（不含焦点的区域）；点P在双曲线内（含焦点的区域）；2.直线与双曲线的位置关系：联立直线l：)0(mmkxy与双曲线12222byax)0,0(ba 的方程得02)(222222222bamakmxaxbka（1）若abk，则直线l与渐近线 ，方程 个解，此时直线与双曲线 （个交点）8（2）若abk，则 0直线l与双曲线 （个交点）0直线l与双曲线 0直线l与双曲线 3.若直线l：)0(mmkxy与双曲线12222byax相交于),(),(2211yxByxA两点，则（1）当 时，直线与双曲线交于同支两点（2）当 时，直线与双曲线交于异支两点（3）当 时，直线与双曲线交于右支两点（4）当 时，直线与双曲线交于左支两点 注：（1）不过中心的直线若与渐近线平行，则直线与双曲线 ，只有 个交点（2）直线与双曲线只有一个公共点是直线与双曲线相切的 条件 4.弦长公式：（1）斜率为k的直线上两点),(),(2211yxByxA间的距离公式：AB （2）弦长公式：斜率为k的直线交椭圆12222byax于),(),(2211yxByxA两点，则 AB 5.双曲线中的点差法：（1）设双曲线)0,0(12222babyax不与轴垂直的弦AB的中点为P，则OPABkk （2）设双曲线)0,0(12222babxay不与轴垂直的弦AB的中点为P，则OPABkk 6 双曲线的焦点三角形的性质：设P是双曲线)0,0(12222babyax上不同于左右顶点的 9 一点，21,FF是左右焦点，21PFF，则（1）21PFPF ；（2）焦点三角形21FPF的面积21FPFS （3）若点P在双曲线的右支上，则21FPF的内切圆圆心的横坐标为 ；若点P在双曲线的左支上，则21FPF的内切圆圆心的横坐标为 ；7.双曲线的焦半径公式：设点),(00yxP是双曲线)0,0(12222babyax上任意一点，21,FF是其左、右焦点，则 当点P在右支上时，1PF ，2PF ，当点P在左支上时，1PF ，2PF ，记忆方式：设点),(00yxP是双曲线)0,0(12222babxay上任意一点，21,FF是其下、上焦点，则 当点P在上支上时，1PF ，2PF ，当点P在下支上时，1PF ，2PF ，记忆方式：若弦AB过左焦点，则AB ；若弦AB过右焦点，则AB 8.双曲线上点到焦点和中心距离的最值：（1）双曲线上的点到焦点的距离最小的点为 ，最小值为 ，最大值；（2）双曲线上的点到中心的距离最小的点为 ，最小值为 ，最大值；9.双曲线的焦点弦：设过双曲线)0,0(12222babyax右焦点)0,(cF的弦AB的倾斜角为，渐近线xaby的倾斜角为，则（1）当时，焦点弦AB在 支上，AB ，弦AB在双曲线一支上时，焦点弦最短为 （2）当0或焦点弦AB在 支上，AB ，弦AB交双曲线两支上时，焦点弦最短为 1 0 （3）ABBFAF11 10.双曲线的焦点弦为直径的圆的性质：以双曲线的焦点弦为直径的圆与双曲线 准线 抛物线部分 一、抛物线的定义 1.抛物线的定义：与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离 的点的轨迹叫抛物线，定点F叫抛物线的 ，定直线l叫抛物线的 2.抛物线的方程：（1）开口向右的抛物线的标准方程为 （2）开口向左的抛物线的标准方程为 （3）开口向上的抛物线的标准方程为 （4）开口向下的抛物线的标准方程为 （5）抛物线)0(22ppxy的参数方程为 二、抛物线的简单几何性质 抛物线方程)0(22ppxy)0(22ppxy)0(22ppyx)0(22ppyx 图形 焦点 准线 焦准距 范围 顶点 1 1 对称轴 离心率e 通径长 注：（1）抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；（2）抛物线只有 条对称轴，对称中心；（3）抛物线只有 个顶点，个焦点，条准线（4）抛物线的通径为 ，p2越大，抛物线的张口 三、直线与抛物线的位置关系 1.点),(00yxP与抛物线)0(22ppxy的位置关系：（1）点P在抛物线上 （2）点P在抛物线外（不含焦点的区域）（3）点P在抛物线内（含焦点的区域）2.直线与抛物线的位置关系：联立直线mkxy与抛物线)0(22ppxy的方程得0)22(222mxpkmxk，则（1）若0k，则方程仅有一解，直线与抛物线相交（1 个交点）（2）若0k，则 0方程有两解直线l与抛物线 （个交点）0方程有一解直线l与抛物线 0方程有无解直线l与抛物线 注：（1）直线与抛物线的轴平行时，直线与抛物线 ，有 个交点（2）直线与抛物线有且仅有一个交点是直线与抛物线相切的 条件 3.弦长公式：（1）斜率为k的直线上两点),(),(2211yxByxA间的距离公式：AB 1 2 （2）弦长公式：斜率为k的直线交抛物线pxy22于),(),(2211yxByxA两点，则 AB 4.抛物线中的点差法：（1）设抛物线pxy22的不与轴垂直的弦AB的中点为),(00yxP，则ABk （2）设抛物线pyx22的不与轴垂直的弦AB的中点为),(00yxP，则ABk 5.抛物线的焦半径公式：（1）设),(00yxP是抛物线)0(22ppxy上任意一点，F为其焦点，则PF （2）设),(00yxP是抛物线)0(22ppxy上任意一点，F为其焦点，则PF （3）设),(00yxP是抛物线)0(22ppyx上任意一点，F为其焦点，则PF （4）设),(00yxP是抛物线)0(22ppyx上任意一点，F为其焦点，则PF 6.抛物线的焦点弦性质：设过焦点F且倾斜角为的直线交抛物线)0(22ppxy于),(),(2211yxByxA（1）21xx ；21yy ；（若抛物线为)0(22ppyx，则21yy ；21xx ）（2）AF ；BF ；（若抛物线为)0(22ppyx，则AF ，BF ）（3）BFAF11 （4）AB ；（若抛物线为)0(22ppyx，则AB ）（5）AOBS ；（若抛物线为)0(22ppyx，则AOBS ）（6）抛物线的焦点弦AB中最短的弦为 ，最短为 1 3 （7）以焦半径AF或BF为直径的圆与y轴 （焦点在x轴的抛物线）（8）以抛物线的焦点弦为直径的圆和抛物线的准线 （9）以抛物线焦点弦AB在准线上射影为直径的圆与焦点弦AB （10）抛物线在焦点弦AB两端点BA,处的切线 ，且交点在 ，且交点为焦点弦AB的中点在准线上的 （11）过抛物线的准线上任意一点P作抛物线的切线PBPA,，BA,为切点，则直线AB过抛物线的 ，且 7.（1）设OBOA,是抛物线)0(22ppxy的两条弦，则 若OBOA，则直线AB过定点 若直线AB过定点)0,2(pQ，则 （2）过抛物线)0(22ppxy的顶点O作抛物线的两条互相垂直的弦OBOA,，过点O作ABOP 于点P，则垂足P的轨迹为 ，方程为 圆锥曲线综合性质 1.圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F的距离与到定直线l（lF）的距离之比为常数e的点的轨迹：（1）当 时，轨迹为椭圆（2）当 时，轨迹为双曲线（3）当 时，轨迹为抛物线 2.圆锥曲线的光学性质（1）过椭圆焦点的光线经椭圆反射后经过椭圆的 （2）过双曲线焦点的光线经双曲线反射后 经过双曲线的 （3）过抛物线焦点的光线经抛物线反射后 ，反之与抛物线的轴平行的光线经抛物线反射后过抛物线的 3.二次曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）上一点处的切线 一般的，二次曲线022FEyDxCyAx在其上一点),(00yxP处的切线方程为 （1）与圆222ryx相切于点),(00yxP的切线方程是 1 4 与圆222)()(rbyax相切于点),(00yxP的切线方程是 与圆220 xyDx EyF相切于点),(00yxP的切线方程是 （2）与椭圆12222byax相切于点),(00yxP的切线方程是 （3）与双曲线12222byax相切于点),(00yxP的切线方程是 （4）与抛物线pxy22相切于点),(00yxP的切线方程是 4.切点弦所在直线方程（1）过椭圆12222byax外一点),(00yxP作椭圆的切线PBPA,，BA,为垂足，则切点弦AB所在的直线方程为 （2）过双曲线12222byax外一点),(00yxP作双曲线的切线PBPA,，BA,为垂足，则切点弦AB所在的直线方程为 （3）过抛物线pxy22外一点),(00yxP作抛物线的切线PBPA,，BA,为垂足，则切点弦AB所在的直线方程为 5.中点弦所在直线方程（1）若点),(00yxP是椭圆12222byax内一点，则以点P为中点的弦所在直线方程为 （2）若点),(00yxP是双曲线12222byax内一点，则以点P为中点的弦所在直线方程为 6.（1）若点),(00yxP是椭圆12222byax内一点，则过点P的弦中点的轨迹方程是 （2）若点),(00yxP是双曲线12222byax内一点，则过点P的弦中点的轨迹方程是 1 5 7.以圆锥曲线焦点弦为直径的圆与相应准线的位置关系（1）以椭圆的焦点弦为直径的圆与椭圆相应的准线 （2）以双曲线的焦点弦为直径的圆与双曲线相应的准线 （3）以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线 8.（1）以椭圆焦半径为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆 （2）双曲线焦半径为直径的圆与以双曲线实轴为直径的圆 9.椭圆与双曲线的“第三定义”：与平面内点)0,(),0,(aBaA 连线的斜率之积为常数)0(的点P的轨迹方程为 （1）当1时，点P的轨迹是 （2）当0且1时，点P的轨迹是 （3）当0时，点P的轨迹是 10.椭圆与双曲线“第三定义”性质（1）设AB为椭圆C：)0(12222babyax过中心的弦（BA,关于中心对称），点P是C上任意一点，若PBPA,的斜率存在，则PBPAkk ，特别的，当BA,为椭圆的左、右顶点时，PBPAkk （2）设AB为双曲线C：)0,0(12222babyax过中心的弦（BA,关于中心对称），点P是C上任意一点，若PBPA,的斜率存在，则PBPAkk ，特别的，当BA,为双曲线的左、右顶点时，PBPAkk 11.（1）直线l与椭圆12222byax交于两点BA,坐标原点为O，O到直线l的距离为d，则有 OBOA d （2）直线l与双曲线12222byax交于两点BA,坐标原点为O，O到直线l的距离为d，则 1 6 有 OBOA d 12.圆锥曲线中，过焦点F且不垂直于坐标轴的弦为AB，其垂直平分线和焦点所在坐标轴交于点R，则ABFR 13.圆锥曲线定值定点性质结论（1）过椭圆12222byax上一定点),(00yxP任作两条倾斜角互补的直线交椭圆于BA,两点，则直线AB有定向，且ABk （定值）过双曲线12222byax上一定点),(00yxP任作两条倾斜角互补的直线交双曲线于BA,两点，则直线AB有定向，且ABk （定值）过抛物线pxy22上一定点),(00yxP任作两条倾斜角互补的直线交抛物线于BA,两点，则直线AB有定向，且ABk （定值）（2）与2a有关的结论 设BA,为椭圆12222byax的长轴上，短轴一侧的两点，其中A在椭圆内，B在椭圆外，过点A的直线交椭圆于QP,两点，则QBAPBA 设BA,为椭圆12222byax的短轴上，长轴一侧的两点，其中A在椭圆内，B在椭圆外，过点A的直线交椭圆于QP,两点，则QBAPBA 设BA,为双曲线12222byax的实轴上，虚轴一侧的两点，其中A在双曲线内，B在双曲线外，过点A的直线交双曲线的一支于QP,两点，则QBAPBA 设BA,为双曲线12222byax的虚轴上，实轴一侧的两点，过点A的直线交双曲线的两支于QP,两点，则QBAPBA 设BA,为抛物线pxy22的轴上两点，过点A的直线交抛物线的于QP,两点，则QBAPBA （3）设椭圆12222byax的左右顶点为21,AA，垂直于长轴的弦为21PP，则直线11PA与22PA 1 7 的交点P的轨迹方程为 设双曲线12222byax的左右顶点为21,AA，垂直于实轴的弦为21PP，则直线11PA与22PA的交点P的轨迹方程为