成人高考-数学知识提纲数学复习资料成人高考高起专、高起本《数学》21.pdf

成人高考-数学知识提纲数学复习资料 1.集合：会用列举法、描述法表示集合，会集合的交、并、补运算，能借助数轴解决集合运算的问题，具体参看课本例 2、4、5.2.充分必要条件 要分清条件和结论，由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解释，若BA，则 A 是 B 的充分条件；若BA，则 A 是 B 的必要条件；若 A=B，则 A 是 B 的充要条件。例 1：对“充分必要条件”的理解.请看两个例子：（1）“29x”是“3x”的什么条件？（2）2x 是5x 的什么条件？我们知道，若AB，则 A 是 B 的充分条件，若“AB”，则 A 是 B 的必要条件，但这种只记住定义的理解还不够，必须有自己的理解语言：“若AB，即是 A 能推出 B”，但这样还不够具体形象，因为“推出”指的是什么还不明确；即使借助数轴、文氏图，也还是“抽象”的；如果用“A 中的所有元素能满足 B”的自然语言去理解，基本能深刻把握“充分必要条件”的内容.本例中，29x 即集合 3,3，当中的元素3不 能 满 足 或 者 说 不 属 于3，但3的 元 素 能 满 足 或 者 说 属 于 3,3.假 设3|,9|2xxBxxA，则满足“AB”，故“29x”是“3x”的必要非充分条件，同理2x 是5x 的必要非充分条件.3.直角坐标系 注意某一点关于坐标轴、坐标原点、,yx yx 的坐标的写法。如 点（2，3）关于x轴对称坐标为（2，-3），点（2，3）关于y轴对称坐标为（-2，3），点（2，3）关于原点对称坐标为（-2，-3），点（2，3）关于yx轴对称坐标为（3，2），点（2，3）关于yx 轴对称坐标为（-3，-2），4.函数的三要素：定义域、值域、对应法则，如果两个函数三要素相同，则是相同函数。5.会求函数的定义域，做21 页第一大题 6.函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性性、周期是重要的研究内容，尤其是定义域、一次和二次函数的解析式，单调性最重要。7.函数的奇偶性。（1）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。（2）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：定义法：利用函数奇偶性定义的等价形式：()()0f xfx或()1()fxf x（()0f x）。图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称。常见奇函数：1335,sin,tanyx yxyxyxyx yx，指数是奇数 常见偶函数：220,cosyk yxyxyxyx 一些规律：两个奇函数相加或者相减还是奇函数，两个偶函数相加或者相减还是偶函数，但是两种函数加减就是非奇非偶，两种函数乘除是奇函数，例如sintancosxyxx是奇函数.（3）函数奇偶性的性质：奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.若()f x为偶函数，则()()(|)fxf xfx.奇函数()f x定义域中含有 0，则必有(0)0f.故(0)0f是()f x为奇函数的既不充分也不必要条件。8.函数的单调性：一般用来比较大小，而且主要用来比较指数函数、对数函数的大小，此外，反比例函数、一次函数、二次函数的单调性也比较重要，要熟记他们的图像的分布和走势。熟记课本第 11 页至 13 页的图和相关结论。一次函数、反比例函数 p17 例 5 p20 例 8 9.二次函数表达形式有三种：一般式：2()f xaxbx c；顶点式：2()()f xa x mn；零点式：12()()()f xa x x x x，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式。课本中的 p17 例 5（4）例 6、例 7，例 10 例 11；习题 p23 8、9、10、11 10.一元一次不等式的解法关键是化为axb，再把x的系数化为 1，注意乘以或者除以一个负数不等号的方向要改变；一元一次不等式组最后取个不等式的交集，即数轴上的公共部分。做 p42 4、5、6 大题 11.绝对值不等式只要求会做：|axbccaxbc 和|axbccaxb或者axbc，一定会去绝对值符号。做 p43 7 12.一元二次不等式是重点，阅读课文 33 至 34 的图表及 39 至 42 页的例题。做 43页 8、9、10、11、12 设0a,12,x x是方程20axbxc的两实根，且12xx，则其解集如下表：20axbxc 20axbxc 20axbxc 20axbxc 0 1|x xx或2xx 1|x xx或2xx 12|x xxx 12|x xxx 0|2bx xa R|2bx xa 0 R R 对于方程02cbxax有实数解的问题。首先要讨论最高次项系数a是否为 0，其次若0a，则一定有042acb。13.数列的同项公式与前 n 项的和的关系 11,1,2nnnsnassn(数列na的前 n 项的和为12nnsaaa).等差数列的通项公式*11(1)()naanddnad nN；其前 n 项和公式为1()2nnn aas1(1)2n nnad211()22dnad n.等比数列的通项公式1*11()nnnaaaqq n Nq；其前 n 项的和公式为11(1),11,1nnaqqsqna q或11,11,1nnaa qqqsna q.14.等差数列的性质：（1）当mnpq时,则有qpnmaaaa，特别地，当2mnp时，则有2mnpaaa(2)若na、是等差数列，232,nnnnnSSSSS，也成等差数列（3）在等差数列na中，当项数为偶数2n时，SSnd偶奇；项数为奇数21n时，SSa奇偶中，21(21)nSna中（这里a中即na）；:(1):奇偶SSkk。(4)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究nmab.15.等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先要判断公比q是否为 1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为 1 时，要对q分1q 和1q 两种情形讨论求解。16.等比数列的性质：（1）当mnpq时，则有mnpqaaaa，特别地，当2mnp时，则有2mnpaaa.(2)若na是等比数列，且公比1q ，则数列232,nnnnnS SS SS，也是等比数列。当1q ，且n为偶数时，数列232,nnnnnSSSSS，是常数数列 0，它不是等比数列.(3)在等比数列na中，当项数为偶数2n时，SqS偶奇；项数为奇数21n时，1SaqS奇偶.(4)数列na既成等差数列又成等比数列，那么数列na是非零常数数列，故常数数列na仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。这一章主要是找数字的规律，写出数列通项公式，但对等差和等比数列要求比较高，会有较大的比重，出解答题，48 页起的例 2、3、4、5 是基础题，例 6、7、8、9 是中档题目，例 10、11、12 是综合题。最要紧做 55 页的题目。17.导数的几何意义：曲线 yf（x）在点 P（x0,f(x0)）处的切线的斜率是).(0 xf 相应地，切线方程是);)(000 xxxfyy 18.导数的应用：（1）利用导数判断函数的单调性：设函数 yf（x）在某个区间内可导，如果,0)(xf那么 f(x)为增函数；如果,0)(xf那么 f(x)为减函数；如果在某个区间内恒有,0)(xff(x)为常数；（2）求可导函数极值的步骤：求导数)(xf；求方程0)(xf的根；检验)(xf 在方程0)(xf根的左右的符号，如果左正右负，那么函数 y=f(x)在这个根处取得最大值；如果左负右正，那么函数 y=f(x)在这个根处取得最小值。19.本章重点是求曲线在一点处的切线方程和多项式的导数，会求函数最大值最小值和极值。课本 61 页例 1、3、4、5 和 64 页习题要过一过关。20.三角函数 本章出 2 个小题，1 个大题，不是重点内容 1 象限角的概念：如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。2.弧长公式：|lR，扇形面积公式：211|22SlRR，1 弧度(1rad)57.3.3、任意角的三角函数的定义：设是任意一个角，P(,)x y是的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是220rxy，那么sin,cosyxrr，tan,0yxx，cotxy(0)y 4.特殊角的三角函数值：cos 32 22 12 1 0 -1 0 624 624 30 45 60 0 90 180 270 15 75 sin 21 22 23 0 1 0 1 624 624 tan 33 1 3 0 0 2-3 2+3 性质 sin x cos x tan x 5.三角函数的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。6.基本公式:1常见三角不等式（1）若(0,)2x，则 sintanxxx.(2)若(0,)2x，则 1sincos2xx.(3)|sin|cos|1xx.2.同角三角函数的基本关系式 22sincos1，tan=cossin，tan1cot.3.正弦、余弦的诱导公式（参看课本 77-78 页）注意规律：横不变名竖变名，正负看象限（1）负 角 变 正 角，再 写 成2k+,02；(2)转化为锐角三角函数。4.和角与差角公式 sin()sincoscossin;cos()coscossinsin;tantantan()1tantan.sincosab=22sin()ab(辅助角所 在 象 限 由 点(,)a b的 象 限 决定,tanba).5.二倍角公式 sin 2sincos，2222cos2cossin2cos11 2sin 22tantan21tan.6.三角函数的周期公式 函数sin()yx，xR 及函数cos()yx，xR(A,为常数，且 A0，0)的周期2T；函数tan()yx，,2xkkZ(A,为常数，且 A0，0)的周期T.重要例题：96 至 101 的例 1 到例 5 21.解三角形就完成模拟试题的相关习题即可。22.平面向量 看 125 页例 1、2、4、5、6 及习题 1、2、3 实数与向量的积的运算律：设、为实数，那么(1)结合律：(a)=()a;(2)第一分配律：(+)a=a+a;(3)第二分配律：(a+b)=a+b.图 像的 来源 及 图像 95 页图 3.1 95页图3.1 95页图3.1 定 义域 96 页表格 96 页表格 96 页表格 值域 96 页表格 96 页表格 96 页表格 单 调性及 递 增递 减区间 96 页表格 96 页表格 96 页表格 周 期性及 奇 偶性 95、96 页表格 95、96 页表格 9596 页表格 对 称轴 不要求 不要求 不要求 对 称中心 不要求 不要求 不要求 最 值及 指定 区间 的最值 95 页表格 95 页表格 95 页表格 简 单三 角方 程和 不等式 不要求 不要求 不要求 2.向量的数量积的运算律：(1)ab=ba（交换律）;(2)（a）b=（ab）=ab=a（b）;(3)（a+b）c=a c+bc.切记：两向量不能相除(相约)；向量的“乘法”不满足结合律，4.向量平行的坐标表示 设 a=11(,)x y,b=22(,)xy，且 b0，则 a b(b0)12210 x yx y.5.a与 b 的数量积(或内积)ab=|a|b|cos 6.ab 的几何意义 数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos的乘积 7.平面向量的坐标运算(1)设 a=11(,)x y,b=22(,)x y，则 a+b=1212(,)xx yy.(2)设 a=11(,)x y,b=22(,)x y，则 a-b=1212(,)xx yy.(3)设 A11(,)x y，B22(,)xy,则2121(,)ABOBOAxx yy.(4)设 a=(,),x yR，则a=(,)xy.(5)设 a=11(,)x y,b=22(,)x y，则 ab=1212()x xy y.8.两向量的夹角公式 1 21222221122cosx xy yxyxy(a=11(,)x y,b=22(,)x y).9.平面两点间的距离公式(A11(,)x y，B22(,)x y).,ABd=|ABAB AB222121()()xxyy 10.向量的平行与垂直 设 a=11(,)x y,b=22(,)xy，且 b0，则 A|bb=a 12210 x yx y.ab(a0)ab=012120 x xy y.11.“按向量平移”：点(,)P x y按向量 a=(,)h k平移后得到点(,)P xh yk.23.直线方程（重点章节）看 132 至 135 页例 1、2、3 1.直线的五种方程 （1）点斜式 11()y yk x x (直线l过点111(,)P x y，且斜率为k)（2）斜截式 y kx b(b 为直线l在 y 轴上的截距).（3）两点式(12yy)(111(,)P x y、222(,)P xy(12xx).112121yyxxyyxx(4)截距式1x ya b(ab、为直线横纵截距，0a b、（5）一般式0Ax By C(其中 A、B 不同时为 0).2.两条直线的平行和垂直 (1)若111:lyk xb，222:lyk xb 121212|,llkk bb;12121llk k.(2)若1111:0lA xB yC,2222:0lA xB y C,且 A1、A2、B1、B2都不为零,11112222|ABCl lABC；1212120llA AB B；3.点到直线的距离 0022|AxByCdAB(点00(,)P xy,直线l：0AxByC).4.圆的四种方程 做一做第 153 页练习 1、2、3（1）圆的标准方程 222()()xaybr.（2）圆的一般方程 220 xyDxEyF(224DEF0).5.直线与圆的位置关系 直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种:0相离rd;0相切rd;0相交rd.其中22BACBbAad.二基础知识:(一)椭圆及其标准方程 p159 例 1、例 2 1.椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点1F、2F的距离的和大于|1F2F|这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|1F2F|，则这样的点不存在；若距离之和等于|1F2F|，则动点的轨迹是线段1F2F.2.椭圆的标准方程：（ab0）12222byax 12222bxay 3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果2x项的分母大于2y项的分母，则椭圆的焦点在 x 轴上，反之，焦点在 y 轴上.3 椭圆的简单几何性质（ab0）.椭圆的几何性质：设椭圆方程12222byax 线段1A2A、1B2B分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于 2a 和 2b，离心率：ace 221bea 0e1.e 越接近于 1 时，椭圆越扁；反之，e 越接近于 0 时，椭圆就越接近于圆.4 双曲线及其标准方程 p167 例 1、例 2 双曲线的定义：平面内与两个定点1F、2F的距离的差的绝对值等于常数 2a（小于|1F2F|）的动点M的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件 2a|1F2F|，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若 2a=|1F2F|，则动点的轨迹是两条射线；若 2a|1F2F|，则无轨迹.若1MF2MF时，动点M的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若1MF2MF时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x项的系数是正数，则焦点在 x 轴上；如果2y项的系数是正数，则焦点在 y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于 b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.5.双曲线的简单几何性质 双曲线12222byax实轴长为 2a，虚轴长为 2b，离心率ace 221ba离心率 e 越大，开口越大.双曲线12222byax的渐近线方程为xaby或表示为02222byax.若已知双曲线的渐近线方程是xnmy，即0 nymx，那么双曲线的方程具有以下形式：kynxm2222，其中 k 是一个不为零的常数.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222byax渐近线方程：22220 xyabxaby.(2)若渐近线方程为xaby0byax双曲线可设为2222byax.(3)若双曲线与12222byax有公共渐近线，可设为2222byax（0，焦点在 x 轴上，0，焦点在 y 轴上）.抛物线 p175 页表格，176 页例 1、例 2、例 4