高考数学一轮复习题——第3节空间点、直线、平面之间的位置关系46.pdf
第 3 节 空间点、直线、平面之间的位置关系 【选题明细表】知识点、方法 题号 平面的基本性质 1,3,9,14 点、线、面的位置关系 5,7,10,11 截面问题 2,4,8 异面直线所成的角 6,11,12,13 基础对点练(建议用时:25 分钟)1.平面=l,点 A,点 B,且 Cl,C,又 ABl=R,如图所示,过 A,B,C 三点确定的平面为,则是(C)(A)直线 AC(B)直线 BC(C)直线 CR(D)直线 AR 解析:由已知条件可知,C,ABl=R,AB,所以 R.又因为 C,R,故 CR=.2.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,P,Q,R 分别是 AB,AD,B1C1的中点,那么正方体过 P,Q,R 的截面图形是(D)(A)三角形(B)四边形(C)五边形(D)六边形 解析:如图所示,作 RGPQ 交 C1D1于 G,连接 QP 并延长与 CB 延长线交于 M,且 QP 反向延长线与 CD 延长线交于 N,连接 MR 交 BB1于 E,连接 PE,则 PE,RE 为截面与正方体的交线,同理连接NG交DD1于F,连接QF,FG,则QF,FG为截面与正方体的交线,所以截面为六边形 PQFGRE.3.(2018鹤壁月考)已知 A,B,C,D 是空间四点,命题甲:A,B,C,D 四点不共面,命题乙:直线 AC 和 BD 不相交,则甲是乙成立的(A)(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件 解析:若 A,B,C,D 四点不共面,则直线 AC 和 BD 不共面,所以 AC 和 BD不相交,充分性成立;若直线 AC 和 BD 不相交,若直线 AC 和 BD 平行,则 A,B,C,D 四点共面,必要性不成立,所以甲是乙成立的充分不必要条件.4.(2018蚌埠模拟)在三棱柱 ABC-A1B1C1中,E,F 分别为棱 AA1,CC1的中点,则在空间中与直线 A1B1,EF,BC 都相交的直线(D)(A)不存在(B)有且只有两条(C)有且只有三条(D)有无数条 解析:在 EF 上任意取一点 M,直线 A1B1与 M 确定一个平面,这个平面与BC 有且仅有 1 个交点 N,当 M 的位置不同时确定不同的平面,从而与BC 有不同的交点 N,而直线 MN 与 A1B1,EF,BC 分别有交点 P,M,N,如图,故有无数条直线与直线 A1B1,EF,BC 都相交.5.如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点不共面的一个图是(D)解析:在 A 图中分别连接 PS,QR,易证 PSQR,所以 P,Q,R,S 共面;在 C 图中分别连接 PQ,RS,易证 PQRS,所以 P,Q,R,S 共面;在 B 图中过 P,Q,R,S 可作一正六边形,故四点共面;D 图中 PS 与 QR 为异面直线,所以四点不共面,故选 D.6.如图,已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,C是圆柱下底面弧AB的中点,C1是圆柱上底面弧A1B1的中点,那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为 .解析:取圆柱下底面弧 AB 的另一中点 D,连接 C1D,AD,因为 C 是圆柱下底面弧 AB 的中点,所以 ADBC,所以直线 AC1与 AD 所成角等于异面直线 AC1与 BC 所成角,因为 C1是圆柱上底面弧 A1B1的中点,所以 C1D圆柱下底面,所以 C1DAD.因为圆柱的轴截面 ABB1A1是正方形,所以 C1D=AD,所以直线 AC1与 AD 所成角的正切值为,所以异面直线 AC1与 BC 所成角的正切值为.答案:7.(2018厦门模拟)过正方体ABCD A1B1C1D1的顶点A作直线l,使l与棱 AB,AD,AA1所成的角都相等,这样的直线 l 可以作 条.解析:如图,连接体对角线 AC1,显然 AC1与棱 AB,AD,AA1所成的角都相等,所成角的正切值都为.联想正方体的其他体对角线,如连接 BD1,则 BD1与棱 BC,BA,BB1所成的角都相等,因为 BB1AA1,BCAD,所以体对角线 BD1与棱 AB,AD,AA1所成的角都相等,同理,体对角线A1C,DB1也与棱 AB,AD,AA1所成的角都相等,过 A 点分别作 BD1,A1C,DB1的平行线都满足题意,故这样的直线 l 可以作 4 条.答案:4 8.如图,在四面体 ABCD 中,AB=CD=2,AD=BD=3,AC=BC=4,点 E,F,G,H 分别在棱 AD,BD,BC,AC 上,若直线 AB,CD 都平行于平面 EFGH,则四边形EFGH 面积的最大值是 .解析:因为直线 AB 平行于平面 EFGH,且平面 ABC 交平面 EFGH 于 HG,所以 HGAB;同理:EFAB,FGCD,EHCD,所以 FGEH,EFHG.故四边形 EFGH 为平行四边形.又因为 AD=BD,AC=BC,可知 ABCD,所以四边形 EFGH 为矩形.设 BFBD=BGBC=FGCD=x(0 x1),则 FG=2x,HG=2(1-x),S四边形 EFGH=FGHG=4x(1-x)=-4(x2-x+-)=-4(x-)2+1.根据二次函数的性质可知四边形 EFGH 面积的最大值为 1.答案:1 9.(2018包头月考)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上,且 ABCD,则直线 EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 .解析:取 CD 的中点 H,连接 EH,FH(图略).在正四面体 CDEF 中,由于 CDEH,CDHF,所以CD平面EFH,所以AB平面EFH,则平面EFH 与正方体的左右两侧面平行,则 EF 也与之平行,与其余四个平面相交.答案:4 能力提升练(建议用时:25 分钟)10.(2018茂名一模)如图为一正方体的平面展开图,在这个正方体中,有下列四个命题:AFGC;BD 与 GC 是异面直线且夹角为 60;BDMN;BG 与平面 ABCD 所成的角为 45.其中正确的个数是(B)(A)1(B)2(C)3(D)4 解析:将正方体平面展开图还原成正方体,如图知AF与GC异面垂直,故正确;显然 BD 与 GC 是异面直线,连接 MB,MD.则 BMGC,在等边BDM 中,BD 与 BM 所成的 60角就是异面直线 BD与 GC 所成的角,故正确;显然 BD 与 MN 异面垂直,故错误;显然 GD平面ABCD,所以GBD 是 BG 与平面 ABCD 所成的角,RtBDG 不是等腰直角三角形.所以 BG 与平面 ABCD 所成的角不是 45,故错误.故选 B.11.(2018乐山模拟)如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1,E,F是线段 B1D1上的两个动点,且 EF=,则下列结论中错误的是(D)(A)ACBF(B)三棱锥 A BEF 的体积为定值(C)EF平面 ABCD(D)直线 AE 与 BF 所成的角为定值 解析:选项 A 中,如图,连接 BD,所以 ACBD,又 ACBB1,BDBB1=B,所以 AC平面 BDD1B1,因为 BF 平面 BDD1B1,所以 ACBF,故 A 正确;选项 B 中,因为 AC平面 BDD1B1,所以点 A 到平面 BEF 的距离不变,因为 EF=,点 B 到 EF 的距离为 1,所以BEF 的面积不变,所以三棱锥 A-BEF 的体积为定值,故 B 正确;选项 C 中,因为 EFBD,BD 平面 ABCD,EF平面 ABCD,所以 EF平面 ABCD,故 C 正确;选项 D 中,异面直线 AE 与 BF 所成的角不为定值,由图知,当 F 与 B1重合时,令上底面的中心为 O,则此时两异面直线所成的角是A1AO,当E与 D1重合时,此时点 F 与 O 重合,则两异面直线所成的角是OBC1,显然A1AO 与OBC1不相等,故异面直线AE 与BF 所成的角不为定值,故D 错误.故选 D.12.(2016浙江卷)如图,已知平面四边形 ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD=,ADC=90.沿直线 AC 将ACD 翻折成ACD,直线 AC 与 BD所成角的余弦的最大值是 .解析:设直线 AC 与 BD所成角为.O 是 AC 中点,由已知得 AC=,如图,以 OB 为 x 轴,OA 为 y 轴,过 O 与平面 ABC 垂直的直线为 z 轴,建立空间直角坐标系,则 A(0,0),B(,0,0,),C(0,-,0),作 DHAC 于 H,翻折过程中,DH 始终与 AC 垂直,CH=,则 OH=,DH=,因此可设 D(cos,-,sin),则=(cos-,-,sin),与平行的单位向量为 n=(0,1,0),所以 cos=|=,所以 cos=1 时,cos 取最大值.答案:13.(2018榆林月考)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为2 的菱形,DAB=60,对角线 AC 与 BD 交于点 O,PO平面ABCD,PB 与平面 ABCD 所成角为 60.(1)求四棱锥的体积;(2)若 E 是 PB 的中点,求异面直线 DE 与 PA 所成角的余弦值.解:(1)在四棱锥 P-ABCD 中,因为 PO平面 ABCD,所以PBO 即为 PB 与平面 ABCD 所成的角,即PBO=60,在 RtABO 中,AB=2,OAB=30,所以 BO=1.因为 PO平面 ABCD,OB 平面 ABCD,所以 POOB.在 RtPOB 中,PO=BOtan 60=,易知底面菱形的面积 S=2 22=2,所以四棱锥 P-ABCD 的体积=2=2.(2)取 AB 的中点 F,连接 EF,DF,因为 E 为 PB 的中点,所以 EFPA.所以DEF 即为异面直线 DE 与 PA 所成的角(或其补角).在 RtAOB 中,AO=OP,所以 PA=,EF=.易知 DF=DE=,所以 cosDEF=,即异面直线 DE 与 PA 所成角的余弦值为.14.已知正方体 ABCD A1B1C1D1中,E,F 分别为 D1C1,C1B1的中点,ACBD=P,A1C1EF=Q.求证:(1)D,B,E,F 四点共面;(2)若 A1C 交平面 DBFE 于 R 点,则 P,Q,R 三点共线.证明:(1)如图所示,因为 EF 是D1B1C1的中位线,所以 EFB1D1.在正方体 ABCD A1B1C1D1中,B1D1BD,所以 EFBD.所以 EF,BD 确定一个平面.即 D,B,E,F 四点共面.(2)在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,设平面 A1ACC1确定的平面为,又设平面 BDEF 为.因为 QA1C1,所以 Q.又因为 QEF,所以 Q.则 Q 是与的公共点,同理,P 点也是与的公共点.所以=PQ.又因为 A1C=R,所以 RA1C,R且 R.则 RPQ,故 P,Q,R 三点共线.好题天天练(建议用时:10 分钟)(2017全国卷)a,b 为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直线与a,b 都垂直,斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转,有下列结论:当直线 AB 与 a 成 60角时,AB 与 b 成 30角;当直线 AB 与 a 成 60角时,AB 与 b 成 60角;直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45;直线 AB 与 a 所成角的最大值为 60.其中正确的是 .(填写所有正确结论的编号)解析:AB 绕 AC 旋转得圆锥,AB 为母线.因为 a,b 与 AC 都垂直,则 a,b 所在直线可平移到圆 C 面内,如图.对于,不妨设 BP 为直线 a,则 b 为 BE.若ABP=60,则ABP 为等边三角形,则ABE 为等边三角形,所以 AB 与 b 成角为 60,不对,对.对于,当 a 与 BB重合时,AB 与 a 所成角最小为 45,对.当BP 足够小时,ABP 趋向于 90,不对.答案:
