正多边形和圆及圆的有关计算520.pdf
正多边形和圆及圆的有关计算 1/5 正多边形和圆及圆的有关计算 一、知识梳理：1、正多边形和圆 各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。定理：把圆分成 n(n3）等分：（l）依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内按正多边形；（2）经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正 n 边形。定理:任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.正多边形的外接(或内切)圆的圆心叫正多边形的中心。外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距。正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等,叫正多边形的中心角.正 n 边形的每个中心角等于n360 正多边形都是轴对称图形,一个正 n 边形共有 n 条对称轴,每条对称轴都通过正 n 边形的中心。若 n 为偶数，则正 n 边形又是中心对称图形,它的中心就是对称中心。边数相同的正多边形相似，所以周长的比等于边长的比,面积的比等于边长平方的比.2、正多边形的有关计算 正 n 边形的每个内角都等于nn180)2(定理：正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分成 2n 个全等的直角三角形。正多边形的有关计算都归结为解直角三角形的计算。3、画正多边形 （1）用量角器等分圆 （2)用尺规等分圆 正三、正六、正八、正四及其倍数（正多边形）。正五边形的近似作法（等分圆心角)4、圆周长、弧长 （1）圆周长 C2R；(2)弧长180RnL 5、圆扇形，弓形的面积 (l)圆面积：2RS；（2）扇形面积：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。在半径为 R 的圆中，圆心角为 n的扇形面积 S扇形的计算公式为：3602RnS扇形 注意:因为扇形的弧长180RnL。所以扇形的面积公式又可写为LRS21扇形 （3)弓形的面积 由弦及其所对的弧组成的圆形叫做弓形。弓形面积可以在计算扇形面积和三角形面积的基础上求得。如果弓形的弧是劣弧,则弓形面积等于扇形面积减去三角形面积.若弓形的弧是优弧，则弓形面积等于扇形面积加上三角形面积。（4）圆柱和圆锥的侧面展开图 a、圆柱的侧面展开图 圆柱可以看作是由一个矩形旋转得到的，如把矩形 ABCD 绕边 AB 旋转一周得到的图形是一个圆柱。（如图所示）正多边形和圆及圆的有关计算 2/5 AB 叫圆柱的轴，圆柱侧面上平行轴的线段 CD，CD，都叫圆柱的母线。圆柱的母线长都相等，等于圆柱的高.圆柱的两个底面是平行的。圆柱的侧面展开图是一个长方形，如图 617，其中 AB=高，AC=底面圆周长。S侧面=2Rh 圆柱的轴截面是长方形一边长为 h，一边长为 2R R 是圆柱底半径，h 是圆柱的高。如图所示 b、圆锥的侧面展开图 圆锥可以看作由一个直角三角形旋转得到。如图所示,把 RtOAS 绕直线 SO 旋转一周得到的图形就是圆锥。旋转轴 SO 叫圆锥的轴，连通过底面圆的圆心，且垂直底面。连结圆锥顶点和底面圆的任意一点的 SA、SA、都叫圆锥的母线，母线长都相等。圆锥的侧面展开图如所示是一个扇形 SAB 半径是母线长，AB 是 2R。(底面的周长)，所以圆锥侧面积为 S侧面=RL.二、典型例题:1.如图，六边形ABCDEF是正六边形,曲线FK1K2K3K4K5K6K7叫做“正六 边形的渐开线”，其中1FK,12K K，23K K,34K K,45K K，56K K,的圆心 依次按点A，B，C,D，E，F循环,其弧长分别记为l1，l2，l3，l4，l5,l6，。当AB1 时,l2 011等于（）A。20112 B.20113C.20114D。20116 2.如图，一张半径为 1 的圆形纸片在边长为(3)a a 的正方形内任意移动,则在该正方形内,这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（）A.2a B。2(4)a C.D。4 3。如图，直径AB为 6 的半圆,绕A点逆时针旋转 60,此 时点B到了点 B，则图中阴影部分的面积是(）。A.3 B。6C。5 D。4 4。以数轴上的原点O为圆心，3为半径的扇形中，圆心角90AOB，另一个扇形 是以点P为圆心，5为半径,圆心角60CPD，点P在数轴上表示实数a，如图,如果两个扇形的圆弧部分（AB和CD）相交，那么实数a的取值范围是_。5。已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置,搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转,使它的直径紧贴地面,再将它沿地面平移 50m，半圆的直径为 4m，则圆心 O所经过的路线长是 m。（结果用 表示）正多边形和圆及圆的有关计算 3/5 6。如图，在正方形ABCD内有一折线段,其中AEEF，EFFC,并且 AE=6，EF=8，FC=10,则正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面 积为_.7。如图，将边长为a的正六边形A1A2A3A4A5A6在直线l上由图 1 的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当A1第一次滚动到图 2 位置时，顶点A1所经过的路径的长为_。8。如图 3，自行车的链条每节长为 2。5cm,每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为 0。8cm，如果某种型号的自行车链条共有 60 节，则这根链条没有安装时的总长度为_。9.如图,已知O的半径为 2，弦AB半径OC，沿AB将弓形ACB翻折，使点C与圆心O重合，则月牙形(图中实线围成的部分)的面积是_.10。如图，在扇形OAB中,AOB90,半径OA6.将扇形OAB 沿过点B的直线折叠,点O恰好落在AB上点D处，折痕交OA于点C，求整个阴影部分的周长和面积 11。阅读下列材料，然后解答问题 经过正四边形(即正方形）各顶点的圆叫作这个正四边形的外接圆，圆心是正四边形的对称中心，这个正四边形叫作这个圆的内接正四边形 如图，已知正四边形ABCD的外接圆O，O的面积为1S，正四边形ABCD的面积为2S以圆心O为顶点作MON，使90MON将MON绕点O旋转,OMON、分别与O相交于点EF、，分别与正四边形ABCD的边相交于点GH、设由OEOF EF、及正四边形ABCD的边围成的图形（图中的阴影部分）的面积为S（1）当OM经过点A时（如图）,则12SSS、之间的关系为：S（用含12SS、的代数式表示)；（2）当OMAB时(如图），点G为垂足，则（1)中的结论仍然成立吗？请说明理由；(3）当MON旋转到任意位置时（如图)，则（1）中的结论仍然成立吗?请说明理由 正多边形和圆及圆的有关计算 4/5 三、巩固练习：1.如图,在ABCD中，AD2，AB4,A30，以点A为圆心,AD的长 为半径画弧交AB于点E，连结CE，则阴影部分的面积是_ 2.如图所示，A是半径为 1 的O外一点，OA2，AB是O的切线,B为切点，弦BCOA，连结AC，阴影部分的面积为_。3。一个扇形的圆心角为 120,半径为 3,则这个扇形的面积为_ 4.在半径为错误!的圆中,45的圆心角所对的弧长等于。5.已知圆锥的高是 30cm,母线长是 50cm，则圆锥的侧面积是 cm2。6。如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，则半径为 2“等边扇形的面积为_。7.如图，RtABC中，ACB90，ACBC2错误!,若把 RtABC绕边AB所在直线旋转一周，则所得几何体的体积为_.8.如图,ABC是等腰直角三角形，ACB90，ACBC.把ABC绕点A按 顺时针方向旋转 45后得到ABC，若AB2，则线段BC在 上述旋转过程中所扫过部分(阴影部分)的面积是_ 9.如图，扇形OAB，AOB90,P与OA、OB分别相切于点F、E，并且与弧AB相切于点C,则扇形OAB的面积与P的面积比是_ 10。如图，P内含于O,O的弦AB切P于点C,且ABOP.若阴影部分的面积为 9，则弦AB的长为_ 11。如图，在正方形ABCD中，AB4，O为对角线BD的中点，分别以OB、OD 为直径作O1、O2。（1)求O1的半径；（2）求图中阴影部分的面积 12.已知：如图，在 RtABC中，C90，BAC的角平分线AD交BC边于D。(1)以AB边上一点O为圆心，过A，D两点作O(不写作法，保留作图痕迹）,再判断直线BC与O的位置关系，并说明理由(2)若（1）中的O与AB边的另一个交点为E，AB6,BD2错误!,求线段BD，BE与劣弧DE所围成的图形面积（结果保留根号和)正多边形和圆及圆的有关计算 5/5 13.某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成如图，在O1和扇形O2CD中，O1与O2C、O2D分别相切于点A、B.已知CO2D60，E、F是直线O1O2与O1、扇形O2CD 的两个交点，且EF24cm,设O1的半径为xcm.（1）用含x的代数式表示扇形O2CD的半径；（2）若O1和扇形O2CD两个区域的制作成本分别为 0。45 元/cm2和 0.06 元/cm2，当O1的半径为多少时，该玩具的制作成本最小？
