高中数学-三角函数知识点总结437.pdf

1 三角函数知识点 一、三角函数知识点 1.角的定义：（1）000360角的定义：从一点O出发的两条射线OBOA,所形成的图形叫做角，这点O叫做角的顶点，射线OBOA,叫做角的两边（2）任意角的定义：角可以看成是平面内一条射线绕着它的端点O从一个位置OA旋转到另一个位置OB所形成的图形，端点O叫做角的顶点，射线OA叫做角的始边，射线OB叫做角的终边 2.规定：（1）正角：按逆时针方向旋转形成的角叫正角（2）负角：按顺时针方向旋转形成的角叫负角（3）零角：一条射线不作任何旋转形成的角叫零角 这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角，负角，零角 注：角的度量需注意：既要考虑旋转方向，又要考虑旋转量 3.终边相同的角：所有与终边相同的角连同在内组成的集合ZkkS,3600 4.象限角和轴线角：将角放在直角坐标系中，让角的顶点与原点重合，角的始边与x轴非负半轴重合，则（1）象限角：角的终边落在第几象限，则称该角为第几象限角（2）轴线角：角的终边落在坐标轴上，则称该角为轴线角 5.1的角的定义：规定周角的3601为 1 度的角，记作：01，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制 6.1 弧度角的定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，记作 1rad，读作：1 弧度，这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制 7.弧度数（1）我们规定，正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零（2）半径为R的圆的圆心角所对的弧长为l，则角的弧度数为Rl，角的正负由 2 终边的旋转方向决定 注：弧度制与角度制区别：（1）弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制，1 弧度1度（2）1 弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小，而 1 度是周角的3601所对的圆心角的大小（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实数表示，而角度制是六十进制；（4）以弧度和度为单位的角，都是一个与半径无关的定值 8.弧度制与角度制的换算（1）弧度制与角度制下的一些特殊角 角度制下零度的角：00，弧度制下零度的角：0rad ，区别数值相同，单位不同 角度制下平角：0180，弧度制下平角：rad 角度制下周角：0360，弧度制下平角：2rad （2）弧度制与角度制的换算 角度化成弧度：0360 2，0180 2，01 01745.0 弧度化成角度：2 0360，0180，rad1 01857 注：角度和弧度互化 角度 00 030 045 060 090 0120 弧度 0 6 4 3 2 32 角度 0135 0150 0180 0210 0225 0240 弧度 43 65 67 45 34 角度 0270 0300 0315 0330 0360 弧度 23 35 47 611 2 3 9.扇形的弧长公式和面积公式（1）角度制下扇形的弧长公式：180Rnl；扇形的面积公式：3602RnS（2）弧度制下扇形的弧长公式：Rl；扇形的面积公式：RlRS21212 10.角度制下和弧度制下轴线角和象限角的集合（1）轴线角的集合 终边在x轴的非负半轴上Zkkxx,3600Zkkxx,2 终边在x轴的非正半轴上Zkkxx,18036000Zkkxx,2 终边在x轴上Zkkxx,1800Zkkxx,终边在y轴的非负半轴上Zkkxx,9036000Zkkxx,2 终边在y轴的非正半轴上Zkkxx,9036000Zkkxx,2 终边在y轴上Zkkxx,9018000Zkkxx,2 终边在坐标轴上Zkkxx,900Zkkxx,2（2）象限角的集合 第一象限角的集合Zkkxkx,90360360000Zkkxkx,222 第二象限角的集合Zkkxkx,180360903600000Zkkxkx,222 第三象限角的集合Zkkxkx,2703601803600000Zkkxkx,2322 第四象限角的集合Zkkxkx,3603602703600000Zkkxkx,22232 Zkkxkx,36090360000Zkkxkx,222 4 11.两角的终边对称结论（1）与的终边关于x轴对称Zkk,2（2）与的终边关于y轴对称Zkk,2（3）与的终边关于原点轴对称Zkk,2 （4）与的终边共线Zkk,（5）与的终边关于直线xy 对称Zkk,22 （6）与的终边关于直线xy对称Zkk,232 （7）与的终边互相垂直Zkk,2 12三角函数定义：（1）任意角的三角函数定义 1：设角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角的终边上任意一点P的坐标为),(yx，它到原点的距离022yxr，则 比值ry叫做角的正弦，记作sin，即sinry 比值rx叫做角的余弦，记作cos，即cosrx 比值xy叫做角的正切，记作tan，即tanxy 比值yx叫做角的余切，记作cot，即cotyx（2）任意角的三角函数定义 2：设角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角的终边与单位圆的交点为P),(yx，则 siny cosx tanxy cotyx 三角函数都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，又由于角与实数是一一对应的，所以三角函数也可以看作是以实数为自变量的函数 5 13.三角函数的定义域和值域 三角函数 定义域 值域 siny R 1,1 cosy R 1,1 tany Zkkxx,2 R coty Zkkxx,R 14.三角函数值在各象限的符号 sin cos tan 记法 1：正弦上正，余弦右正，正切一三正 记法 2：一全正，二正弦，三正切，四余弦 15.诱导公式：公式一：终边相同的角的同一三角函数值相等 角度制下 弧度制下)360sin(0ksin )2sin(ksin)360cos(0kcos )2cos(kcos)360tan(0ktan )2tan(ktan)360cot(0kcot )2cot(kcot 公式二：角度制下 弧度制下)180sin(0sin )sin(sin)180cos(0cos )cos(cos)180tan(0tan )tan(tan)180cot(0cot )cot(cot 6 公式三：角度制下 弧度制下)180sin(0sin )sin(sin)180cos(0cos )cos(cos)180tan(0tan )tan(tan)180cot(0cot )cot(cot 公式四：角度制下 弧度制下 )sin(sin )sin(sin )cos(cos )cos(cos )tan(tan )tan(tan )cot(cot )cot(cot 公式五：角度制下 弧度制下)90sin(0cos )2sin(cos)90cos(0sin )2cos(sin)90tan(0cot )2tan(cot)90cot(0tan )2cot(tan 公式六：角度制下 弧度制下)90sin(0cos )2sin(cos)90cos(0sin )2cos(sin)90tan(0tan )2tan(tan)90cot(0cot )2cot(cot 公式七：角度制下 弧度制下)270sin(0cos )23sin(cos)270cos(0sin )23cos(sin 7)270tan(0cot )23tan(cot)270cot(0tan )23cot(tan 公式八：角度制下 弧度制下)270sin(0cos )23sin(cos)270cos(0sin )23cos(sin)270tan(0cot )23tan(cot)270cot(0tan )23cot(tan 记忆口诀：奇变偶不变符号看象限 16.部分特殊角的三角函数：角度 00 030 045 060 090 0120 弧度 0 6 4 3 2 32 sin 0 21 22 23 1 23 cos 1 23 22 21 0 21 tan 0 33 1 3/3 角度 0135 0150 0180 0210 0225 0240 弧度 43 65 0 67 45 34 sin 22 21 0 21 22 23 cos 22 23 1 23 22 21 tan 1 33 0 33 1 3 角度 0270 0300 0315 0330 0360 弧度 23 35 47 611 2 sin 1 23 22 21 0 8 cos 0 21 22 23 1 tan/3 1 33 0 17.三角函数线：（1）有向线段：当角的终边不在坐标轴上时，我们把MP、OM、AT都看成带有方向的线段，这种带方向的线段叫有向线段 规定：与坐标轴相同的方向为正方向（2）这几条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线 注：（1）正弦线、余弦线、正切线分别解释了正弦函数xysin，余弦函数xycos、正切函数xytan的几何意义（2）正弦线、余弦线、正切线的方向与坐标轴正方向相同时，对应的三角函数值为正，与坐标轴正方向相反时，对应的三角函数值为负 18.同角三角函数的关系：（1）平方关系：1cossin22（2）商数关系：tancossin、cotsincos（3）倒数关系：1cottan 注意公式的变形：（1）1cossin22xxxx22cos1sin、xx22sin1cos（2）cossintansincostan、sincoscotcossincot（3）cossin,cossin,cossin的关系：9 2)cos(sincossin21 2)cos(sincossin21 22)cos(sin)cos(sin2 19.正弦函数xysin、余弦函数xycos、正切函数xytan的图像和性质 函数 xysin xycos xytan 图形 定义域 R R Zkkxx,2 值域 1,1 1,1 R 最值 当Zkkx,22时，有最大值 当Zkkx,22时，有最大值 当Zkkx,2时，有最大值 当Zkkx,22时，有最大值 无最大值 无最小值 单调性 在Zkkk,22,22上递增 在Zkkk,232,22 上递减 在Zkkk,2,2上递增 在Zkkk,2,2 上递减 在Zkkk),2,2(上递增 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 周期性 2T 2T T 对称性 关于Zkkx,2对称 关于点Zkk),0,(中心对称 关于Zkkx,对称 关于点Zkk),0,2(中心对称 关于点Zkk),0,2(中心对称 1 0 渐近线/Zkkx,2 20.三角函数周期结论（1）函数BxAy)sin(其中0,A)的周期T2 函数BxAy)cos(其中0,A)的周期T2 函数)tan(xAy(其中0,A)的周期T（2）函数)sin(xAy(其中0,A)的周期T 函数)cos(xAy(其中0,A)的周期T 函数)tan(xAy(其中0,A)的周期T（3）函数BxAy)sin(（其中0,BA）的周期T2 函数BxAy)cos(（其中0,BA）的周期T2 21.函数BxAy)sin()0,0(A的图像的作法（1）图像变换法：函数BxAy)sin(的图像可由正弦函数xysin经过一系列的变换得到：先平移变换，再周期变换：xysin)sin(xy)sin(xy)sin(xAyBxAy)sin(先周期变换，再平移变换：xysin)sin(xy)sin(xy)sin(xAyBxAy)sin(（2）五点作图法：函数BxAy)sin(的图像画法：一个周期内起关键作用的五个点 1 1 的横坐标可由x2,23,2,0得到 22.函数变换结论：（1）平移变换 01左右平移：将函数)(xfy 的图象向左移a个单位得函数)(axfy的图象 将函数)(xfy的图象向左移a个单位得函数)(axfy的图象 02上下平移：将函数)(xfy 的图象向上移b个单位得函数bxfy)(的图象（2）伸缩变换 函数)(xfy的图象可由函数)(xfy 的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的1倍得到 函数)(xAfy 的图象可由函数)(xfy 的图象上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍得到（3）翻折变换 函数)(xfy 的图象可将函数)(xfy 的图像y轴右侧的图像保留，y轴左侧的图像由y轴右侧的图像沿y轴翻折得到 函数)(xfy 的图象可将函数)(xfy 的图像在x轴上方的图像保留，x轴下方的图像沿x轴翻折到x轴上方得到 23.两个函数的对称性结论（1）函数)(xfy与)(xfy 的图象关于x轴对称（2）函数)(xfy与)(xfy 的图象关于y轴对称（3）函数)(xfy与)(xfy 的图象关于原点对称（4）函数)(1xfy与)(xfy 的图象关于xy 对称（5）函数)2(xafy与)(xfy 的图象关于ax 对称 1 2 （6）函数)2(xafy与)(xfy 的图象关于点)0,(a对称 24.函数)sin(xAy和)cos(xAy)0,0(A的奇偶性结论 （1）函数)sin(xAy为奇函数Zkk,（2）函数)sin(xAy为偶函数Zkk,2（3）函数)cos(xAy为奇函数Zkk,2（4）函数)cos(xAy为偶函数Zkk,二、三角变换 25.两角和与差的正弦余弦正切公式：（1）)sin(sincoscossin，记作)(S（2）)sin(sincoscossin，记作)(S（3）)cos(sinsincoscos，记作)(C（4）)cos(sinsincoscos，记作)(C（5）)tan(tantan1tantan，记作)(T（6）)tan(tantan1tantan，记作)(T 26.二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）2sincossin2（2）2cos22sincos1cos222sin21（3）2tan2tan1tan2 注：二倍角公式的变形：（1）2)cos(sincossin21；2)cos(sincossin21 1 3 （2）升幂缩角公式：cos12cos22；cos12sin22（3）降幂扩角公式：2sin22cos1；2cos22cos1 2sin22cos1；2cos22cos1 27.半角公式：（1）2sin22cos1 2cos22cos1 2tan2cos12cos1（2）2tansincos1cos1sin 28.辅助角公式：（1）cossinba)sin(22xba，其中sin22bab，cos22baa（2）cossinba)cos(22xba，其中sin22baa，cos22bab 29.万能公式 2sin2tan1tan2 2cos22tan1tan1 2tan2tan1tan2 30.积化和差公式 cossin)sin()sin(21 1 4 sincos)sin()sin(21 coscos)cos()cos(21 sinsin)cos()cos(21 31.和差化积公式 sinsin2cos2sin2 sinsin2sin2cos2 coscos2cos2cos2 coscos2sin2sin2