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    高中数学-椭圆的简单几何性质试题172.pdf

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    高中数学-椭圆的简单几何性质试题172.pdf

    1 椭圆的简单几何性质 一、知识点 1.椭圆的定义:到两个定点21,FF的距离之 等于 ()的点的轨迹叫椭圆,定点21,FF叫做椭圆的 2.椭圆的标准方程(1)焦点在x轴上的椭圆的标准方程为 (2)焦点在y轴上的椭圆的标准方程为 3.椭圆的简单几何性质 标准方程)0(12222babyax)0(12222babxay 图像 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 长短半轴长 离心率 cba,的关系 练习:已知椭圆方程为400251622yx,则它的长轴长是 ;短轴长是 ;焦距是 ;离心率等于 ;焦点坐标是 ;顶点坐标是 ;外切矩形的面积等于 2 例 1.求与椭圆14922yx有相同的焦点,且离心率为55的椭圆的标准方程 练习:已知椭圆19822ykx离心率为21e,求k的值 例 2.点),(yxM与定点)0,4(F的距离和它到直线l:425x的距离的比是常数54,求点M轨迹 变式 1:点),(yxM与定点)0,(cF的距离和它到直线l:cax2的距离的比是常数ac,求点M轨迹 探究:我们知道椭圆的定义:与两定点)0,(),0,(21cFcF 的距离之和为定值)2(221FFaa 的点的轨迹方程也为122222cayax,你能发现其中的原因吗?3 变式 2:点),(yxM与定点)0,(cF 的距离和它到直线l:cax2的距离的比是常数ac,求点M轨迹 4.椭圆的第二定义:到定点F的距离与到定直线l)(lF 的距离之 为 的点的轨迹叫做椭圆,其中定点F叫做椭圆的 ,定直线l叫做椭圆的 ,常数e叫做椭圆的 练习 1:平面内已知点M到定点F的距离与M到定直线l(点F不在l上)的距离的比为8.0,则动点M的轨迹是()A.圆 B.椭圆 C.直线 D.无法确定 2.点P与定点)0,2(F的距离和它到定直线l:322x的距离之比为5:3,则点的轨迹方程为 结论:椭圆的焦点、准线、离心率及其关系 1.(1)椭圆)0(12222babyax中:相应于左焦点)0,(cF 的准线方程为 ,叫椭圆的 相应于右焦点)0,(cF的准线方程为 ,叫椭圆的 (2)椭圆)0(12222babxay中:相应于下焦点),0(cF的准线方程为 ,叫椭圆的 相应于上焦点),0(cF的准线方程为 ,叫椭圆的 2.(1)椭圆上的任意一点到左焦点)0,(cF 的距离与它到左准线cax2的距离之比等于椭圆的 4(2)椭圆上的任意一点到右焦点)0,(cF的距离与它到右准线cax2的距离之比等于椭圆的 即椭圆上的点到焦点的距离与到 准线的距离之比等于椭圆的 例 3.设点),(00yxP是椭圆)0(12222babyax上任意一点,21,FF是其左右焦点,求证:01exaPF,02exaPF 结论:1.椭圆的焦半径公式:(1)设点),(00yxP是椭圆)0(12222babyax上任意一点,21,FF是其左右焦点,则 1PF ,2PF (2)设点),(00yxP是椭圆)0(12222babxay上任意一点,21,FF是其下上焦点,则 1PF ,2PF 2.(1)椭圆上的点到左焦点的距离的最大的点为 ,最大值为 ,最小的点为 ,最小值为 (2)椭圆上的点到中心的距离的最大的点为 ,最大值为 ,最小的点为 ,最小值为 练习:已知椭圆1204522yx,P为椭圆在第一象限内的点,它与两焦点的连线互相垂直,求P点的坐标 5 例 4.(1)已知椭圆的两条准线方程为9y,离心率为31,求此椭圆的标准方程(2)若椭圆13610022yx上一点P到椭圆左准线的距离为10,求点P到椭圆右焦点的距离 例 5.椭圆14922yx的焦点为21,FF,点P是椭圆上的动点,若21PFF是钝角,求点P的横坐标的取值范围 例 6.已知椭圆15922yx的右焦点为2F,点)1,1(A,若P为椭圆上一动点(1)求2PFPA 的最大值和最小值 (2)求223PFPA 的最小值 6 例 7.设椭圆)0(12222babyax的左右顶点为BA,,点P是椭圆上不同于点BA,的任意一点,则22abkkPBPA 例 8.已知BA,是椭圆)0(12222babyax上关于中心对称的两点,点P是椭圆上任意不同于BA,的点,若直线PBPA,的斜率存在,则22abkkPBPA 二、点、直线与椭圆的位置关系 1.点),(00yxP与椭圆12222byax的位置关系:点P在椭圆上 点P在椭圆上 点P在椭圆上 2.直线与椭圆的位置关系 相离:直线与椭圆有 公共点 相切:直线与椭圆有 公共点 相交:直线与椭圆有 公共点 7 3.直线与椭圆位置关系的判定:代数法:将直线与椭圆的方程联立,消y或x后得关于x或y的一元二次方程:直线与椭圆相交 直线与椭圆相切 直线与椭圆相离 例 1.直线1 kxy与椭圆1522myx恒有公共点,求m的取值范围 练习 1.k为何值时,直线2 kxy和曲线63222 yx有两个公共点?有一个公共点?没有公共点?2.无论k为何值,直线2 kxy和曲线14922yx交点情况满足()A.没有公共点 B.一个公共点 C.两个公共点 D.有公共点 例 2.已知椭圆192522yx,直线l:04054 yx,椭圆上是否存在一点,到直线l的距离最小?最小是多少?8 4.弦长问题:设斜率为k的直线与椭圆交于),(),(2211yxByxA两点,则 AB 例 3.已知斜率为 1 的直线l过椭圆1422 yx的右焦点2F,交椭圆于BA,两点,求弦AB的长 结论:焦点弦长(1)设过焦点的直线交椭圆12222byax于),(),(2211yxByxA两点,则 过左焦点的弦长AB 过右焦点的弦长AB (2)设过焦点且倾斜角为的直线交椭圆12222byax于BA,两点,则 过左焦点的弦长AB 过右焦点的弦长AB 练习:过椭圆 4222yx的左焦点作倾斜角为030的直线交椭圆于BA,两点,则弦长AB 9 例 4.设过椭圆的右焦点F且倾斜角为060的直线交椭圆12222byax于BA,两点,若FBAF2,则离心率为 例 5.求证:以椭圆的焦点弦为直径的圆与椭圆相应的准线相离 例 6.已知点21,FF是椭圆1222 yx的左右焦点,过2F倾斜角为045直线与椭圆交于BA,两点,求1ABF的面积 1 0 5.中点弦(弦的中点)问题 例 7.已知椭圆141622yx过点)1,2(P引一弦,使弦AB在这点被平分,求此弦AB所在直线l的方程 结论:椭圆中点差法结论:(1)设椭圆)0(12222babyax不与轴垂直的弦AB的中点为P,则OPABkk (2)椭圆设)0(12222babxay不与轴垂直的弦AB的中点为P,则OPABkk 练习.已知椭圆1222 yx及椭圆外一点)2,0(M,过这点引直线交椭圆于BA,两点,求AB中点P的轨迹方程 6.以弦为直径的圆的问题 例 8.已知直线1xy椭圆142222bybx交于BA,两点,若OBOA,求椭圆方程 1 1 7.对称问题 例 9.已知椭圆13422yx上存在两点BA,关于直线l:mxy 2对称,求实数m的取值范围 练习:已知椭圆1422 yx上存在两个不同的点NM,关于直线1 kxy对称,求实数k的取值范围 例10.已 知M是 椭 圆12222byax上 一 点,21,FF为 其 左 右 焦 点,若,15,75012021FMFFMF,求椭圆的离心率 注:已 知M是 椭 圆12222byax上 一 点,21,FF为 其 左 右 焦 点,若,1221FMFFMF,则e 1 2 8.椭圆的切线问题 例 11.求证:过椭圆12222byax上一点),(00yxP切线方程为12020byyaxx 9.椭圆的切点弦 例 13.求证:过椭圆12222byax外一点),(00yxP作椭圆的切线PBPA,,切点弦 AB 所在直线的方程为12020byyaxx

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