艺术生高考数学专题讲义：考点5函数的性质——单调性、奇偶性与周期性380.pdf

考点五 函数的性质单调性、奇偶性、周期性 知识梳理 1函数的单调性(1)单调函数的定义 一般地，设函数 f(x)的定义域为 I：如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1、x2，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是单调增函数 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1、x2，当 x1f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是单调减函数 从图象来看，增函数图象从左到右是上升的，减函数图象从左到右是下降的，如图所示：（2）单调性与单调区间 如果一个函数在某个区间 M 上是单调增函数或是单调减函数，就说这个函数在这个区间 M上具有单调性(区间 M 称为单调区间)2函数的奇偶性(1)奇函数、偶函数的概念 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x)f(x)，那么函数 f(x)就叫做偶函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x)f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称(2)判断函数的奇偶性的步骤与方法 判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是：考察定义域是否关于原点对称 考察表达式 f(x)是否等于 f(x)或f(x)：若 f(x)f(x)，则 f(x)为奇函数；若 f(x)f(x)，则 f(x)为偶函数；若 f(x)f(x)且 f(x)f(x)，则 f(x)既是奇函数又是偶函数；若 f(x)f(x)且 f(x)f(x)，则 f(x)既不是奇函数又不是偶函数，既非奇非偶函数 3函数的周期性 (1)周期函数的概念：对于函数 yf(x)，如果存在一个不为零的常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，f(xT)f(x)都成立，则称 yf(x)为周期函数，非零常数 T 叫做函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作 f(x)的最小正周期(3)一般地，如果 T 为函数 f(x)的周期，则 nT（nZ）也是函数 f(x)的周期，即有 f(xnT)f(x)(4)最小正周期是指是函数值重复出现的自变量 x 要加上的最小正数，这个正数是相对 x 而言的并不是所有的周期函数都有最小正周期，比如常数函数 f(x)C（C 为常数）就没有最小正周期 典例剖析 题型一 函数单调性的判断 例 1 下列函数中，在区间(0，)上为增函数的是_.(填序号)y x1 y(x1)2 y2x ylog0.5(x1)答案 解析 由基本初等函数的性质得，选项中的函数在(0，1)上递减，选项，中的函数在(0，)上为减函数，选.变式训练 下列函数中，满足“f(xy)f(x)f(y)”的单调递增函数是_.(填序号)f(x)x12 f(x)x3 f(x)12x f(x)3x 答案 解析 f(x)x12，f(xy)(xy)12x12y12，不满足 f(xy)f(x)f(y)，不满足题意 f(x)x3，f(xy)(xy)3x3y3，不满足 f(xy)f(x)f(y)，不满足题意 f(x)12x，f(xy)12xy12x12y，满足 f(xy)f(x)f(y)，但 f(x)12x不是增函数，不满足题意 f(x)3x，f(xy)3xy3x3y，满足 f(xy)f(x)f(y)，且 f(x)3x是增函数，满足题意 解题要点 确定函数单调性的常用方法：(1)定义法：先求定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论(2)图象法：若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、降写出它的单调性(3)转化法：转化为已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，再根据“增增得增”“减减得减”“同增异减”得待确定函数的单调性 (4)导数法：先求导，再确定导数值的正负，由导数的正负得函数的单调性 题型二 函数单调性的应用 例 2 如果函数 f(x)ax22x3 在区间(，4)上是单调递增的，则实数 a 的取值范围是_.答案 14a0 解析 当 a0 时，f(x)2x3，在定义域 R 上是单调递增的，故在(，4)上单调递增；当 a0 时，二次函数 f(x)的对称轴为 x1a，因为 f(x)在(，4)上单调递增，所以 a0，且1a4，解得14a0，则 x3.函数 ylog13(x24x3)的定义域为(，1)(3，)又 ux24x3 的图象的对称轴为 x2，且开口向上，ux24x3 在(，1)上是减函数，在(3，)上是增函数 而函数 ylog13u 在(0，)上是减函数，ylog13(x24x3)的单调递减区间为(3，)，单调递增区间为(，1)解题要点 1.求单调区间的常用方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)导数法 2求复合函数 yf(g(x)的单调区间的步骤：(1)确定定义域；(2)将复合函数分解成基本初等函数：yf(u)，ug(x)；(3)分别确定这两个函数的单调区间；(4)若这两个函数同增或同减，则 yf(g(x)为增函数；若一增一减，则 yf(g(x)为减函数，即“同增异减”3求单调区间时需注意两点：最终结果写成区间的形式；不可忽视定义域 题型四 判断函数的奇偶性 例 4 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)x3x；(2)f(x)(x1)1x1x；(3)f(x)3x2 x23.解析 (1)定义域为 R，关于原点对称，又 f(x)(x)3(x)x3x(x3x)f(x)，函数为奇函数(2)由1x1x0 可得函数的定义域为(1,1 函数定义域不关于原点对称，函数为非奇非偶函数(3)因为 f(x)定义域为 3，3，所以 f(x)0，则 f(x)既是奇函数也是偶函数 解题要点 判断函数单调性的两个步骤：1.判断函数定义域是否关于原点对称；2.判断 f(x)与 f(x)关系.若 f(x)f(x)则函数为奇函数；若 f(x)f(x)则函数为偶函数 或是利用下列两个等价关系式进行判断：若 f(x)f(x)0 则函数为奇函数；若 f(x)f(x)0 则函数为偶函数 题型五 函数的周期性 例5 已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x2)1fx，当2x3时，f(x)x，则f(105.5)_.答案 2.5 解析 由已知，可得 f(x4)f(x2)21fx211fxf(x)故函数的周期为 4.f(105.5)f(4272.5)f(2.5)f(2.5)22.53，由题意，得 f(2.5)2.5.f(105.5)2.5.解题要点 关于函数周期性的三个常用结论：对 f(x)定义域内任一自变量的值 x：(1)若 f(xa)f(x)，则 T2a；(2)若 f(xa)1f（x），则 T2a；(3)若 f(xa)1f（x），则 T2a.题型六 函数性质的综合运用 例 6 已知偶函数 f(x)在区间0，)上单调递增，则满足 f(2x1)f13的 x 的取值范围是_ 答案 13，23 解析 偶函数满足 f(x)f(|x|)，根据这个结论，有 f(2x1)f13f(|2x1|)f13，进而转化为不等式|2x1|13，解这个不等式即得 x 的取值范围是13，23.当堂练习 1.函数 f(x)x3x 的图象关于_对称.答案 原点 解析 由 f(x)(x)3(x)x3xf(x)，知 f(x)是奇函数，则其图象关于原点对称 2已知定义在 R 上的奇函数 f(x)，满足 f(x4)f(x)，则 f(8)的值为_ 答案 0 解析 f(x)为奇函数且 f(x4)f(x)，f(0)0，T4，f(8)f(0)0.3已知 f(x)，g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数，且 f(x)g(x)x3x21，则 f(1)g(1)_ 答案 1 解析 因为 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以 f(1)g(1)f(1)g(1)(1)3(1)211.4函数 f(x)log12(x24)的单调递增区间是_ 答案(，2)解析 因为 ylog12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数 tx24 的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(，2)5函数 yf(x)是定义在2，2上的单调减函数，且 f(a1)2a，解得1a1.课后作业 一、填空题 1下列函数中，既是奇函数又是增函数的为_(填序号)yx1 yx2 y1x yx|x|答案 2函数 y11x1_(填序号)在(1，)上单调递增 在(1，)上单调递减 在(1，)上单调递增 在(1，)上单调递减 答案 3下列函数中，在区间(，0)上是减函数的是_(填序号)y1x2 yx2x y x yxx1 答案 4 下列函数 f(x)中，满足“对任意 x1，x2(0，)，都有fx2fx1x2x10”的是_(填序号)f(x)1x f(x)(x1)2 f(x)ex f(x)ln(x1)答案 解析 满足fx2fx1x2x10 其实就是 f(x)在(0，)上为减函数，故选.5已知 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且 f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，则 g(1)等于_ 答案 3 解析 f(x)为奇函数，f(1)f(1)，又 g(x)为偶函数，g(1)g(1)，f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，将两式相加得 2g(1)6，g(1)3.6下列函数中，既是偶函数又在(0，)单调递增的函数是_(填序号)yx3 y|x|1 yx21 y2|x|答案 7 若函数 yx2(2a1)x1 在区间(，2上是减函数，则实数 a 的取值范围是_ 答案 ，32 解析 由题意得2a122，得 a32.8 定义在 R 上的函数 f(x)的图象关于直线 x2 对称，且 f(x)在(，2)上是增函数，则 f(1)与 f(3)的大小关系是_ 答案 f(1)f(3)解析 依题意得 f(3)f(1)，且112，于是由函数 f(x)在(，2)上是增函数得 f(1)f(1)f(3)9函数 yx22x(x2,4)的增区间为_ 答案 2,4 10设 f(x)是以 2 为周期的函数，且当 x1,3)时，f(x)x2，则 f(1)_.答案 1 解析 由题知，f(1)f(12)f(1)121.11给出下列命题 y1x在定义域内为减函数；y(x1)2在(0，)上是增函数；y1x在(，0)上为增函数；ykx 不是增函数就是减函数 其中错误命题的个数有_ 答案 3 解析 错误，其中中若 k0，则命题不成立 二、解答题 12证明函数 g(x)2xx1在(1，)上单调递增 证明：任取 x1，x2(1，)，且 x1x2，则 g(x1)g(x2)2x1x112x2x212x1x2x11x21，因为 1x1x2，所以 x1x20，因此 g(x1)g(x2)0，即 g(x1)g(x2)故 g(x)在(1，)上是增函数 13 已知奇函数 f(x)的定义域为2,2，且在区间2,0上递减，求满足 f(1m)f(1m2)0的实数 m 的取值范围 解 f(x)的定义域为2,2 有 21m2，21m22，解得1m 3.又 f(x)为奇函数，且在2,0上递减，f(x)在2,2上递减，f(1m)m21，即2m1.综合可知，1m1.即实数 m 的取值范围是1,1)