艺术生高考数学专题讲义：考点19三角恒等变换600.pdf

考点十九 三角恒等变换 知识梳理 1两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin()sin cos cos sin (S()sin()sin cos cos sin (S()cos()cos cos sin sin (C()cos()cos cos sin sin (C()tan()tan tan 1tan tan (T()tan()tan tan 1tan tan (T()2二倍角公式 sin 22sin cos (S2)cos 2cos2sin22cos2112sin2(C2)tan 22tan 1tan2(T2)3公式的变形和逆用 在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等常见变形如下：降幂公式：cos21cos 22，sin21cos 22，升幂公式：1cos 22 cos2，1cos 22sin2 1cos 2cos22，1cos 2sin22.正切和差公式变形：tan tan tan()(1tan tan)，tan tan 1tan tan tantan tan tan1.配方变形：1sin(sin2cos2)2，1sin(sin2cos2)2.4辅助角公式 asin bcos a2b2sin()，其中 tan ba.典例剖析 题型一 给角求值 例 1(1)计算 cos 42 cos 18cos 48 cos 72的值为_(2)计算sin 110sin 20cos2155sin2155的值为_ 答案(1)12 (2)12 解析(1)cos 42 cos 18cos 48 cos 72cos 42 cos 18sin 42 sin 18 cos(4218)cos 6012.(2)cos2155sin2155cos 310cos 50.sin 110sin 20cos2155sin2155sin 70sin 20cos 310cos 20sin 20cos 5012sin 40sin 4012.变式训练 sin 47sin 17cos 30cos 17_ 答案 12 解析 原式sin3017sin 17cos 30cos 17 sin 30cos 17cos 30sin 17sin 17cos 30cos 17 sin 30cos 17cos 17sin 3012.解题要点 解题时先看角，观察是否有 30、60、90等特殊角，或是观察能否通过变形凑配出这些特殊角.再看所求式结构，选用合适的三角恒等式对原式进行变形处理.在解题时还要注意对公式进行正用、逆用，要掌握常见的变式.题型二 给值求值 例 2 已知 2，sin 55.(1)求 sin4 的值；(2)求 cos562 的值 解析 (1)因为 2，sin 55，所以 cos 1sin22 55.故 sin4 sin 4cos cos 4sin 222 5522551010.(2)由(1)知 sin 22sin cos 2552 5545，cos 212sin21255235，所以 cos562 cos56cos 2sin56sin 23235124543 310.题型三 利用角的凑配求值 例 3 已知 tan()25，tan414，那么 tan4等于_ 答案 322 解析 因为 44，所以 4()4，所以 tan4tan4tantan41tantan4322.变式训练 已知 cos 13，cos()13，且，0，2，则 cos()的值等于_ 答案 2327 解析 0，2，2(0，)cos 13，cos 22cos2179，sin 21cos224 29，而，0，2，(0，)，sin()1cos22 23，cos()cos2()cos 2cos()sin 2sin()79(13)4 292 232327.解题要点 1.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般凑配为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”2常见的凑配技巧：2()()，()，22，22，2(2)(2)等 题型四 辅助角公式 例 4(2015 安徽文)已知函数 f(x)(sin xcos x)2cos 2x.(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)在区间0，2上的最大值和最小值 解析(1)因为 f(x)sin2 xcos2 x2sin xcos xcos 2x 1sin 2xcos 2x 2sin2x41，所以函数 f(x)的最小正周期为 T22.(2)由(1)的计算结果知，f(x)2sin2x41.当 x0，2时，2x44，54，由正弦函数 ysin x 在4，54上的图象知，当 2x42，即 x8时，f(x)取最大值 21；当 2x454，即 x2时，f(x)取最小值 0.综上，f(x)在0，2上的最大值为 21，最小值为 0.变式训练 函数 f(x)3sin xcos(3x)的最大值为_ 答案 1 解析 f(x)3sin xcos 3cos xsin 3sin x12cos x32sin xsin(x6)f(x)max1.解题要点 利用辅助角公式将 asin xbcos x 化为 Asin(x)是常见的题型，转化时一定要严格对照和差公式，防止搞错辅助角对于计算形如 ysin(x),xa，b形式的函数最 值时，则务必注意角度范围，最好是画出函数图像，观察所给函数在指定范围内是否越过图像的“波峰”或“波谷”.当堂练习 1(2015 新课标理)sin 20cos 10cos 160sin 10_ 答案 12 解析 sin 20cos 10cos 160sin 10sin 20cos 10cos 20sin 10sin 3012.2若sincossincos12，则 tan2_ 答案 34 解析 由tan1tan112，得 tan3，tan22tan1tan234，选 B 项 3.已知 cos(6)33，则 sin(26)的值为_ 答案 13 解析 由 cos(6)33，得 cos(23)2(33)2113.所以 sin(26)sin(232)cos(23)13.4若函数 f(x)sin2(x4)cos2(x4)1，则函数 f(x)是_ 周期为 的偶函数 周期为 2 的偶函数 周期为 2 的奇函数 周期为 的奇函数 答案 解析 f(x)sin2(4x)sin2(4x)12sin2(4x)1cos(22x)sin2x 故正确 5(2015 北京理)已知函数 f(x)2sinx2cosx2 2sin2x2.(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)在区间，0上的最小值 解析(1)因为 f(x)22sin x22(1cos x)sinx422，所以 f(x)的最小正周期为 2.(2)因为x0，所以34x44.当 x42，即 x34时，f(x)取得最小值 所以 f(x)在区间，0上的最小值为 f34122.课后作业 一、填空题 1已知 cos35，cos()513，都是锐角，则 cos_ 答案 3365 解析 ，是锐角，0，又 cos()5130，20，(0，4)，4(4，2)，sin(4)2 23，coscos(44)cos(4)cos4sin(4)sin4246.11(2015 浙江理)函数 f(x)sin2xsin xcos x1 的最小正周期是_，单调递减区间是_ 答案 38k，78k(kZ)解析 f(x)1cos 2x212sin 2x1 22sin2x432，T22，由22k2x4322k，kZ，解得38kx78k，kZ，单调递减区间是38k，78k，kZ.二、解答题 12(2015 重庆理)已知函数 f(x)sin2x sin x 3cos2x.(1)求 f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论 f(x)在6，23上的单调性 解析(1)f(x)sin2x sin x 3cos2x cos xsin x32(1cos 2x)12sin 2x32cos 2x32sin2x332，因此 f(x)的最小正周期为，最大值为2 32.(2)当 x6，23时，02x3，从而 当 02x32，即6x512时，f(x)单调递增，当22x3，即512x23时，f(x)单调递减 综上可知，f(x)在6，512上单调递增；在512，23上单调递减 13若 sin34 513，cos4 35，且 0434，求 cos()的值 解析 0434，3434，240.又 sin34 513，cos4 35，cos34 1213，sin4 45，cos()sin2 sin34 4 sin34 cos4 cos34 sin4 3365.