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决策理论和方法习题 第一章 概论 一、什么是决策?什么是决策分析?决策问题的特点是什么?决策问题有什么要素?二、用决策树表示下列问题:1.火灾保险 2.易腐品进货问题 3.油井钻探问题:某公司拥有一块可能有油的土地,该公司能够自己钻井,也能够出租给其它公司开采;若出租土地,租约有两种形式,无条件出租,租金 45 万元 有条件出租,租金依产量而定:产量在 20 万桶或者以上时,每桶提成 5 元;产量不足 20 万桶时不收租金.设钻井费用为 75 万元,有油时需另加采油设备费 25 万元,油价为 15 元/桶.(为 了简化,能够将油井产量离散化,分为4种状态:无油,产油5万桶,产油20万桶,产油 50 万桶)三、*设油井钻探问题如下:每次钻井费用 10 万元,有油时售油收入 100 万元,有油的概率为 0.2,无油的概率为 0.8.问无油时该继续钻井否?若该,钻几次仍无油时停止钻井?第二章 主观概率与先验分布(Subjective Probability&Prior Distribution)一、为什么要引入主观概率?试比较主、客观概率的异同.如何设定先验分布?二、1.阅读 6.3.4 2.两人一组,一人充当决策人,一人充当决策分析人,就来年国民经济增长率的先验分布进行对话,并画出对话所得的图形曲线.互换角色,就就来年通涨率的先验分布进行对话.三、设某个决策人认为产品售出 400 件的可能性是售出 800 件的可能性的 1/3,是售出1200 件的可能性的 1/2,与售出1600 件的可能性相同,售出 800 件的可能性售出1200件的可能性的两倍,是售出 1600 件的可能性的3 倍;售出 1200 件的可能性比售出 1600 件的可能性的大 2 倍.求该决策人关于产品销售量的主观概率分布.第三章 效用、缺失与风险(Utility、Loss&Risk)一、什么是效用?基数效用与序数效用有何区别?使用效用进行决策分析有何利弊?二、某人请 3 个朋友吃饭,他不明白毕竟能来几人.设各类状态的主观概率如下表所示.设此人的效用函数u=x-2y-z2.其中x是为朋友预订的客饭有人吃的份数,y 状态i 1 2 3 4 来客人数 0 1 2 3 ()i 1/8 1/4 1/4 3/8 是来了吃不到饭的客人数,z是预订了客饭没有人吃的份数,求他该为朋友订几份客饭?(设每人吃一份,不得分而食之)三、某人有资产 1000 用于购买股票,A 种股票有 70%的机会增值一倍30%的可能连本丢掉;B 种股票有 60%的机会增值一倍 40%的可能连本丢掉.设此人的效用 U 与收益 X 的函数关系是 U(x)=ln(x+3000).决策人用 m 购 A 种股票,1000-m 购 B 种股票.求 m.四、某厂考虑两种生产方案产品 A 能够 0.3 的概率获利 5 万元,以 0.2 的概率获利 8 万元,以 0.5 的概率获利 9 万元;产品 B 确信能够获利 8 万元.决策人甲的效用函数为线性,即 U1(x)=x;决策人乙的效用函数 U2(x)=x2/5 当 0 x5 4x-10-x2/5 当 5x10 1.画出两个决策人的效用曲线.2.甲乙两个决策人分别作何选择?3.若生产 AB 两种产品均需另加 5 万元的固定成本,甲乙两个决策人又该作何选择?五、画出你的关于货币的效用曲线并作简要说明.六、把一副扑克牌的四张 A 取出,牌面向下洗匀后排在桌面上.你能够从下列两种玩法中任选一种:先任意翻开一张再决定:a)付出 35 元,叫停;或者者 b)继续翻第二张,若第二张为红你可收入 100 元,第二张为黑则付出 100 元;任意翻开一张,若此牌为红你可收入 100 元,为黑则付出 100 元;1.画出此问题的决策树 2.设某决策人的效用函数 u=ln()1200 x,他该选何种玩法?七、(Peterberg Paradox)一个人付出 C 元即可参加如下的赌博:抛一枚硬币,若第 N 次开始出现正面,则由庄家付给 2N元.在这种赌博中,参加者的期望收益为 21NNNp=2121NN=但是,很少有人愿意出较大的 C.试用效用理论对此加以证明.第四章 贝叶斯分析(Bayesean Analysis)一、1.风险型与不确定型决策问题的区别何在?各有什么求解方法?2.什么是贝叶斯分析?贝叶斯分析的正规型与扩展型有何区别?二、用 Molnor 的六项条件逐一衡量下列原则:MinmaxMinminHurwitzSavage-HiehansLaplace 三、不确定型决策问题的缺失矩阵如下表.用上题所列五种原则分别求解.(在用 Hurwitz原则求解时,讨论的取值对结果的影响)a1 a2 a3 a4 1-4-10-12-8 2-18-24-6-13 3-6 0-6-10 4-14-8-10-4 四、某决策问题的收益矩阵如下表.试用最大可能值原则Bayes 原则E-V原则贝努里原则(U=0.1C2)分别求解 i 1 2 3 4 5 6 7(i)0.1 0.2 0.3 0.1 0.1 0.1 0.1 a1 2 3 7 6 1 2 1.5 a2 4 8 6 9 3 4 2 a3 6 4 3 10 12 6 5 五、油井钻探问题(续第二章二之 3)1.设各类状态的主观概率分布如下表且决策人风险中立,决策人该选择什么行动?产油量 50 万桶 20 万桶 5 万桶 无油 i 1 2 3 4(i)0.1 0.15 0.25 0.5 2.若能够通过地震勘探(试验费 12 万元)获得该地区的地质构造类型xj(j=1,2,3,4)的信息.设已知 P(x|)如下表 i xj x1 x2 x3 x4 1 7/12 1/3 1/12 0 2 9/16 3/16 1/8 1/8 3 11/24 1/6 1/4 1/8 4 3/16 11/48 13/48 5/16 求后验概率;画决策树;进行贝叶斯分析,求贝叶斯规则;讨论正规型贝叶斯分析的求解步骤;求完全信息期望值 EVPI 与采样信息期望值 EVSI.六、1.医生根据某病人的症状初步诊断病人可能患A、B、C 三种病之一,得这三种病的概率分别是 0.4、0.3、0.3.为了取得进一步的信息,要求病人验血,结果血相偏高.得 A、B、C 三种病血相偏高的可能性分别是 0.8、0.6、0.2.验血后医生推断患者得 A、B、C 三种病的概率各是多少?2.(续 1)若得 A、B、C 三种病的白血球计数的先验分布分别是在8000,1000、7000,9000、6000,8500区间上的均匀分布,化验结果是 8350-8450.求如今病人患三种病的可能性各是多少?七、某公司拟改变产品的包装,改变包装后产品的销路不能确定,公司经理的估计是 销路差1 销路通常2 销路好3()0.2 0.3 0.5 销路与收益的关系如下表 1 2 3 改变包装-40 0 600 包装不变 0 0 0 为了对销路的估计更有把握,公司先在某个地区试销改变了包装的产品.根据以往的经验,试销的结果与产品在将来的实际销路有如下关系:x i i x1 x2 x3 1 0.8 0.2 0 2 0.2 0.4 0.4 3 0 0.1 0.9 1.画出该决策问题的决策树;2.确定与各类试销结果相应的贝叶斯行动;3.分析试销费用与是否试销的关系.第五章 随机优势(Stochastic Dominance)一、用随机优势原则求解决策问题有何利弊?二、决策人面临两种选择:在-1,1上均匀分布;在-A,B上均匀分布其中A=B=2;A=0.5,B=1.5;A=2,B=3.试用 FSD 与 SSD 判别在上述三种情况下与何者占优势.(设决策人的效用函数 uU2)三、已知收益如下表,用优势原则筛选方案.(设决策人的效用函数 uU2)i(i)a1 a2 a3 a4 1 0.1 2-1-1-1 2 0.2 1 2 1 2 3 0.3 0 1 1 0 4 0.4 4 0 1 0 四、决策人的效用函数 uUd.试分析他对下表所示的决策问题应作何选择.1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 a1 0 3 3 1 3 3 a2 2 1 4 2 2 2 第二篇 多准则决策分析(MCDM)第八章 多属性效用函数（Multi-attribution utility function）一、某企业拟在若干种产品中选一种投产，每种产品的生产周期均为两年.现仅考虑两种属性:第一年的现金收益 X 与第二年的现金收益 Y.设现金收益能够精确估计;企业的偏好是 X、Y 是互相偏好独立的;x x xxx;y y yyy(100,400)(200,300),(0,600)(100,200).设有下列产品对:(1).(0,100)(100,100)(2).(0,400)(200,200)(3).(100,500)(200,300)(4).(0,500)(150,200)每对产品只能生产其中之一.企业应该作何选择,为什么?二、表一、表二分别给出了两个不一致的二属性序数价值函数.分别推断X 是否偏好独立于Y,Y是否偏好独立于X.表一 表二 Y Y y1 y2 y3 y4 y1 y2 y3 y4 x1 8 10 9 12 x1 12 9 8 5 X x2 2 11 9 14 X x2 13 11 10 9 x3 1 3 2 4 x3 10 8 7 4 x4 7 6 5 2 三、某人拟从甲地到乙地.他考虑两个因素,一是费用 C,一是旅途花费的时间 t,设他对 c、t 这两个属性是互相效用独立的,费用及时间的边际效用都是线性的,且边际效用随费用与时间的增加而减少,他认为(20,4)(10,5),(20,5)(10,618);1.求此人的效用函数 2.若此人面临 3 种选择:a,乘火车,3 小时到达,30 元钱;b,自己开车,有 3/4的 机会 4 小时到达化汽油费 10 元,1/4 的机会 6 小时到达化汽油费 12 元;c,先化 2 元乘公共汽车到某地搭便车,1/4 的机会 5 小时到达,1/2 的机会 6 小时到达,1/4 的机会 8 小时到达.求他应作何种选择.第十章 多属性决策问题(Multi-attribution Decision-making Problem)即:有限方案的多目标决策问题(MCDP with finite alternatives)一、现拟在 6 所学校中扩建一所.通过调研与分析,得到两个目标的属性值表如下:(费用与学生平均就读距离均愈小愈好)方案序号 1 2 3 4 5 6 费用(万元)60 50 44 36 44 30 就读距离(km)1.0 0.8 1.2 2.0 1.5 2.4 1.试用加权与法分析应扩建哪所学校,讨论权重的选择对决策的影响.2.设 w1=2w2,用 TOPSIS 法求解.二、(续上题)若在目标中增加一项,教学质量高的学校应优先考虑.但是各学校教学质量的高低难以定量给出,只能给出各校教学质量的优先关系矩阵如下表.设 w1=w2=w3,用基于相对位置的方案排队法求解.1 2 3 4 5 6 1 1 1 0 1 1 1 2 0 1 0 0 0 1 3 1 1 1 1 1 1 4 1 1 0 1 1 1 5 0 0 0 0 1 0 6 0 0 0 0 1 1 三、某人拟在六种牌号的洗衣机中选购一种.各类洗衣机的性能指标如下表所(表中所列为洗 5kg 衣物时的消耗).设各目标的重要性相同,试用适当的方法求解.序号 价格(元)耗时(分)耗电(度)用水(升)1 1018 74 0.8 342 2 850 80 0.75 330 3 892 72 0.8 405 4 1128 63 0.8 354 5 1094 53 0.9 420 6 1190 50 0.9 405 四、六方案四目标决策问题的决策矩阵如下表.各目标的属性值越大越好.W=(0.3,0.2,0.4,0.1)T,=0.7,d1=15,d3=2.0106.用 ELECTRE 法求解.序号 y1 y2 y3 y4 1 20 0.3 1.3106 3 2 13 0.5 4.0106 3 3 15 0.1 2.2106 5 4 30 0.7 1.0106 2 5 5 0.9 4.0106 7 6 40 0 1.0106 1 第十一章 多目标决策问题(Multi-objective Decision-making Problem)一、风险型决策问题有三个属性四个备选方案两种自然状态,后果如下表:i(i)a1 a2 a3 a4 1 1/3(40,4,250)(30,5,500)(20,8,300)(45,6,300)2 2/3(20,5,400)(40,7,600)(45,1,500)(30,8,600)各属性的边际效用如下图 设决策人认为属性 x 最重要,属性 y 次之,试用字典序法求解并讨论解的合理性.二、P219 之例 11.1,若决策人的目的改为 MinP yP yP yy1123322()试求解并作图.三、试画出逐步进行法(STEM)的计算机求解的程序框图.四、举一随机性多目标决策问题的实例.五、多目标规划问题 max f1=2x1+x2 f1=-4x1+x2 -2x1+x21 -x1+2x28 x1+x210 2x1-x28 4x1+3x28 x1,x20 1.画出可行域 X 与 X 在目标空间的映象 Y 的图形.2.求出所有非劣解;3.在目标空间标出理想点;4.设1=2求x1,x2,x及最佳调与解.六、MADP 与 MODP 各有什么特点?什么方法能够同时适用于求解这两类问题?第十二章 群决策(Group Decision)一、1.Arrow 不可能定理有什么现实意义?2.什么是投票悖论?3.什么是策略行为?二、群由 30 人构成,现要从 a、b、c、d 四个候选人中选出一人担任某职务.已知群中成员的偏好是:其中 8 位成员认为 abcd 其中 4 位成员认为 bcda 其中 6 位成员认为 bdac 其中 5 位成员认为 cdab 其中 5 位成员认为 dacb 其中 2 位成员认为 dcba 1.用你所明白的各类方法分别确定由谁入选.2.你认为选谁合适?为什么?三、某个委员会原有编号为 1、2、3 的三个成员,备选方案集为a,b,c.三个成员的偏好序分别是:c1b1a b2a2c a3c3b 1.求群体序.2.若委员会新增两个成员(编号为 4,5),原先成员的偏好序不变,新增的两个成员应如何表达偏好?3.原先成员的偏好序不变时,成员4,5联合能否操纵委员会的排序结果?为什么?四、谈判问题的可行域与现况点如图所示.试用下列方法求解:1.Nash 谈判模型;2.K-S 模型;3.中间-中间值法;4.给出均衡增量法的求解步骤.五、简述群决策与多目标决策的异同.
