高中数学圆锥曲线点差法568.pdf
1 点差法及其应用 一、方法背景 弦的中点问题是解析几何中的一类经典问题，除了联立方程组，利用韦达定理并借助设而不求的方法实现问题的求解外，还可以借助点差法进行求解.点差法是解析几何中一种非常经典的思想方法，是体现解析几何核心思想设而不求的另一重要载体，在解题中占有重要地位，这种方法将直线与曲线的两个交点代入曲线方程，然后作差并进行因式分解运算，借助斜率与中点公式进行求解，这种方法尤其适用于解决圆锥曲线中涉及弦的中点问题 通过研究可发现，点差法不仅可以解决弦的中点问题，对其它相关问题也能较为圆满的解决，如涉及圆锥曲线弦的垂直平方线问题、圆锥曲线直径的斜率问题、切线问题等，并且可以类比点差法的思想方法，得到点乘法，解决一些圆锥曲线中的面积问题 二、方法介绍 1.椭圆中的点差法（1）设点BA,是椭圆)0(12222babyax上两点，点),(00yxP为弦AB的中点，若直线AB，OP的斜率存在，则OPABkk 证明：设),(),(2211yxByxA，则2212122121222222221221)()(11byyyyaxxxxbyaxbyax 2221212121abxxyyxxyyOPABkk 同理可得：（2）设点BA,是椭圆)0(12222babxay上两点，点),(00yxP为弦AB的中点，若直线AB，OP的斜率存在，则OPABkk 2.双曲线中的点差法（1）设点BA,是双曲线)0,0(12222babyax上两点，点),(00yxP为弦AB的中点，若直线AB，OP的斜率存在，则OPABkk 2（2）设点BA,是双曲线)0,0(12222babxay上两点，点),(00yxP为弦AB的中点，若直线AB，OP的斜率存在，则OPABkk 3.抛物线中的点差法（1）设点BA,是抛物线pxy22上两点，点),(00yxP为弦AB的中点，若直线AB的斜率存在，则ABk （2）设点BA,是抛物线pyx22上两点，点),(00yxP为弦AB的中点，若直线AB的斜率存在，则ABk 三典例分析 例1.（2014年江西卷理15）过点)1,1(M作斜率为21的直线，与椭圆C：)0(12222babyax 相交于BA,两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于 例 2.（2013 年全国卷理 10）已知椭圆E：)0(12222babyax的右焦点为)0,3(F，过点F的直线交E于BA,两点，若AB的中点坐标为)1,1(P，则E的方程为（）A.1364522yx B.1273622yx C.1182722yx D.191822yx 3 例 3.（2003 年江苏卷文 10 理 8）已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F，直线1 xy与其相交于NM,两点，MN的中点的横坐标为32，则此双曲线的方程是（）A.14322yx B.1342x C.12522yx D.15222yx 例 4.（2014 年浙江卷理 6）设直线)0(03mmyx与双曲线)0,0(12222babyax的两条渐近线分别交于点BA,，若点)0,(mP满足PBPA，则双曲线的离心率是 例 5.（2012 年浙江卷理 8）如图所示，21,FF分别是双曲线C：)0,0(12222babyax的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线BF1与C的两条渐近线分别交于QP,两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M，若221MFFF，则C的离心率是（）A.332 B.26 C.2 D.3 4 例 6.已知椭圆13422yx上存在两点关于直线mxy 2对称，则实数m的取值范围为 例 7.已知双曲线1322yx上存在两点BA,关于直线l：4 kxy对称，则实数k的取值范围为 5 例 8.（1992 年全国卷理 28）已知椭圆C：)0(12222babyax，BA,是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线l与x轴交于点)0,(0 xP，求证：abaxaba22022 例 9.（2006 年福建卷理 20）已知椭圆1222 yx的左焦点为F，O为坐标原点（1）求过点FO,且与椭圆的左准线l相切的圆的方程（2）如图所示，设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于BA,两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G的横坐标的取值范围 6 例 10.（2010 年天津卷文理 21）已知椭圆)0(12222babyax的离心率23e，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4（1）求椭圆的方程（2）设直线l与椭圆相交于不同的两点BA,，已知点A的坐标为)0,(a，),0(0yQ在线段AB的垂直平分线上，且4QBQA，求0y的值 例 11.已知椭圆C：)0(12222babyax的左右焦点分别为21,FF，离心率为21，A为椭圆上一动点（异于左右顶点），21FAF的面积的最大值为3（1）求椭圆C的方程（2）设过点1F的直线l（l的斜率存在且不为0）与椭圆C相交于BA,两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点P，试判断ABPF1是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由 7 注：设圆锥曲线的离心率为e，过其焦点F且不与轴垂直的弦AB的垂直平分线交焦点所在的轴于点P，则ABFP 例 12.（2011 年江苏卷文理 18）在平面直线坐标系xOy中，NM,是椭圆12422yx的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于AP,两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC并延长，交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k（1）当直线PA平分线段MN时，求k的值（2）当2k时，求点P到直线AB的距离d（3）对任意0k，求证：PBPA 8 例 13.（2015 年上海卷理 21）已知椭圆1222yx，过原点的两条直线1l和2l分别与椭圆交于点BA,和DC,，记得到的平行四边形ACBD的面积为S（1）设),(),(2211yxCyxA，用CA,的坐标表示点C到直线1l的距离，并证明：12212yxyxS（2）设21,ll的斜率之积为21，求S的值 9 例 14.（2013 年山东卷文 22）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为22（1）求椭圆C的方程（2）BA,为椭圆C上满足AOB的面积为46的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C于点P，设OEtOP，求实数t的值 1 0 例 15.（2011 年山东卷理 21）已知动直线l与椭圆C：12322yx交于两不同点),(11yxP，),(22yxQ，且OPQ的面积26OPQS，其中O为坐标原点（1）证明：2221xx 和2221yy 均为定值（2）设线段PQ的中点为M，求PQOM 的最大值（3）椭圆C上是否存在点GED,，使得26OEGODGODESSS？若存在，判断DEG的形状；若不存在，请说明理由 1 1 练习：例 1.（2010 年全国新课标卷理 12）已知双曲线E的中心为原点，)0,3(F是E的焦点，过F的直线l与E相交于BA,两点，且AB的中点为)15,12(N，则E的方程为（）A.16322yx B.15422yx C.13622yx D.14522yx 例 2.（2006 年北京卷文 19）椭圆C：)0(12222babyax的两个焦点为21,FF，点P在椭圆C上，且211FFPF，341PF，3142PF（1）求椭圆C的方程（2）若直线l过圆02422yxyx的圆心M，交椭圆C于BA,两点，且BA,关于点M对称，求直线l的方程 1 2 例 3.（2014 年浙江卷理 21）如图所示，设椭圆C：)0(12222babyax，动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限（1）已知直线l的斜率为k，用kba,表示点P的坐标（2）若过原点O的直线1l与l垂直，证明：点P到直线1l的距离的最大值为ba 例 4.（2015 年陕西卷理 20）已知椭圆E：)0(12222babyax的半焦距为c，原点O到经过两点),0(),0,(bc的直线的距离为c21（1）求椭圆E的离心率（2）如图所示，AB是圆M：25)1()2(22yx的一条直径，若椭圆E经过BA,两点，求椭圆E的方程 1 3 例 5.（2019 年全国 II 卷理 21）已知),(),0,2(),0,2(yxMBA 为坐标系内任意一点，且满足直线MA和MB的斜率之积为21，设M的轨迹为曲线C（1）求C的方程，并说明表示什么曲线（2）过坐标原点的直线交C于QP,，点P在第一象限，PEx轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G（i）证明：PQG为直角三角形（ii）求PQG面积的最大值 1 4 例 6.（2012 年湖北卷文理 21）设A是单位圆122 yx上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足0(mDAmDM，且)1m，当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标（2）过原点且斜率为k的直线交曲线C于QP,两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的0k，都有PHPQ 若存在，求m的值；若不存在，请说明理由
