八上培优半角模型.pdf

八上培优5 半角模型 方法：截长补短 图形中，往往出现 90 套 45 的情况，或者 120 套 60 的情况。还有2 套 的情况。求 证的结论一般是线段的和与差。解决的方法是：截长补短构造全等三角形。旋转移位造全等，翻 折分割构全等。截长法，补短法。勤学早和新观察均有专题。勤学早在第 49 页，新观察在第 34 页，新观察培优也有涉及，在第 27 页 2 两个例题，29 页有习题。这些题大同小异，只是图形略有变化而已。证明过程一般要证明两 次全等。下面是新观察第 34 页 14 题 1 如图，四边形 ABCD 中，Z A=Z C=90 ,Z D=60 ,AB=BC,E、F,分别在 AD、CD 上，且 Z EBF=60 .求证：EF=AE+CF.2 如图 2,在上题中，若 E、F 分别在 AD、DC 的延长线上，其余条件不变，求证：AE=EF+CF.3 如图，匕 A=Z B=90 ,CA=CB=4,Z ACB=120，匕 ECF=60 ,AE=3,BF=2,求五边形 ABCDE 的面积.4.如图 1.在四边形 ABCD 中.AB=AD,Z B+/D=180,E、F 分别是边 BC、CD 上的点,且 Z BAD=2 Z EAF.(1)求证：EF=BE+DF;(2)在(1)问中，若将 AEF 绕点 A 逆时针旋转，当点 E、F 分别运动到 BC、CD 延长线上时,如图 2所示，试探究 EF、BE、DF 之间的数量关系.3 如图 3,在四边形 ABDC中，ZB+Z C=180,DB=DC,Z BDC=120，以 D 为顶点作一个 60。的角，角的两边分别交 AB、AC于 E、F 两点，连接 EF,探索线段BE、CF、EF之间的数量 关系，并加以证明.勤学早第 40 页试题 1.(1)如图，已知 AB=AC,Z BAC=90 ,Z MAN=45 ,过点 C 作 NC AC 交 AN 于点 N,过点 B 作 BM垂直 AB交AM于点 M,当Z MAN在Z BAC 内部时，求证：BM+CN=MN;证明：延长 MB 到点 G，使 BG=CN,连接 AG，证 ABGA ACN(SAS),.AN=AG,Z BAG=，/NAC.L.Z GAM=Z GAB+Z BAM=Z CAN+Z BAM=45 =L Z MAN,MAAMNA AMG(SAS),!.MN=MG=BM+BG=BM 十 NC.证明二：(此证明方法见新观察培优第 27 页例 3)(2)如图，在(1)的条件下，当 AM 和 AN 在 AB 两侧时,(1)的结论是否成立？青说明理由 BM,T-解:不成立，结论是:MN=CN 基本模型二 120 套 60 2.如图，ABC 中,CA=CB,Z ACB=120 ,E 为 AB 上一点，Z DCE=60，/DAE=120 求证：DE=BE 证明：（补短法）延长 EB 至点 F,使 BF=AD,连接 CFA CBF CAD,CED CEF,.DE-AD=EF-BF=BE.3 如图，ABC 中,CA=CB,Z ACB=120，点 E 为 AB 上一点，Z DCE=Z DAE=60 求证:AD+DE=BE.证明：（截长法）在 BE 上截取 BF=AD,连接 CF,易证 CBF CAD,CED 丝 ACEF,DE=EF,AD+DE=BF+EF=BE.比较：新观察培优版 27 页 例 4 如 图，ABC 是边长为 1 的等边三角形，BDC 是顶角，/BDC=120 的等腰三角形，以 D 为顶点作一个 60 角，角的两边分别交 AB、AC 于 M、N,连结 MN,试求 AMN 的周长.分析：由于 Z MDN=60，/BDC=120 ,所以 Z BDM 十 Z CDN=60 ,注意到 DB=DC,考虑运用“旋转法”将 Z BDM 和 Z CDN 移到一起，寻找全等三角形。另一方面，AMN 的周长 AM+AN+MN=AB+AC+MN-BM-CN,猜想 MN=BM+CN,证三角形全等解决.新观察培优 68 页 例 5 如图，点 A、B(2,0)在 x 轴上原点两侧，C 在 y 轴正半轴上，OC 平分 Z ACB.(1)求 A 点坐标；(2)如图 1,AQ 在 Z CAB 内部，P 是 AQ 上一点，满足 Z ACB=ZAQB,AP=BQ.试判断 CPQ 的 形状，并予以证明；(3)如图 2.BD BC 交 y 轴负半轴于 D./BDO=60 ,F 为线段 AC 上一动点，E 在 CB 延长线上，满足 Z CFD+/E=180 .当 F 在 AC 上移动时，结论：CE+CF 值不变；CE-CF 值不变，其中 只有一个正确结论，请选出正确结论并求其值 分析:(1)由 Z A0C BOC 得 AO=BO=2,A(-2,0).(2)由 ACP BCQ 得 CP=CQ.由 BD BC,Z BDO=60 ,可证得等边 ABC.由角平分线和 DB_ BC 的条件，运用对称性知 DA AC,连结 DA,加上条件 Z CFD+/E=180,可证得 ADF BDE,于是 CE+CF=2AC=2AB=8.基本模型三 2 套 4.(1)如图 1,在四边形 ABCD中，AB=AD,/B+/D=180 ,E,F分别是 BC,CD上的点，且 Z EAF=1 Z BAD,求证:EF=BE+DF;2(2)如图 2,在(1)的条件下 若将 AEF 绕点 A 逆时针旋转，当点 E,F 分别运动到 BC,CD 延长线上时,贝 U EF,BE,DF之间的数量关系是 EF=BE-DF G 解:(1)EF=BE+DF,延长 FD 到点 G,使 DG=BE,连接 AG,证 ABEA ADG(SAS),.AE=AG,Z BAE=Z DAG,Z EAF=-Z BAD,2 Z GAF=Z DAG+Z DAF=Z BAE+Z DAF=Z BAD-Z EAF=Z EAF,.Z EAF=Z GAF,心AEFAGAF(SAS),/.EF=FG,v FG=DG+DF=BE+DF,二 EF=BE+DF;(2)EF=BE DF.外地试题：4.探究：如图，点 E、F 分别在正方形 ABCD 的边 BC、CD 一 证：EF=BE+DF.应用：如图，在四边形 ABCD 中，点 E、F 分别在 BC、CD 上,原题：如图 1,点 E、F 分别在正方形 ABCD 的边 BC、CD 上，.EF=BE+DF.(1)思路梳理 AB=AD，把 ABE 绕点 A 逆时针旋转 90 至 ADG,可使,/EAF=45。，连结 EF,求 AB=AD,Z B+/D=90 ,/5.通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的 充完整.卜面是一个案例，请补:EAF=45。，连接 EF,求证:AB 与 AD 重合.EAF=-匕 BAD，若 EF=3,BE=2，贝 U DF=.Z ADG=Z B=90 ,Z FDG=Z ADG+Z ADC=180 ,则点 F、D、G 共线.根据，易证 AFG 丝，从而得 EF=BE+DF;(2)类比引申 如图 2,四边形 ABCD 中，AB=AD,/BAD=90。点 E、F 分别在边 BC、CD 上，/EAF=45 .若/B、/D 都不是直角，但当/B 与 Z D 满足等量关系 时，仍有 EF=BE+DF,请给出证明；(3)联想拓展 如图 3,在 ABC 中，/BAC=90 ,AB=AC，点 D、E 均在边 BC 上，且 Z DAE=45 ,猜想 BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程.7.(1)如图 1,在四边形 ABCD 中，AB=AD,Z B=/D=90 ,E、F 分别是边 BC、CD 上的点，且 AE=AF,/EAF=1/BAD.现有三种添加辅助线的方式：延长 EB 至 G,使 BG=BE,连 2 接 AG;延长 FD 至 G,使 DG=BE，连接 AG;过点 A 作 AG EF,垂足为 G;选择其中一 种方法添加辅助线，求证：EF=BE+FD;(2)如图 2,在四边形 ABCD 中，AB=AD，若 Z B+/D=180 ,/EAF=-/BAD，证明(1)2 中结论是否还成立？(3)如图 3,在四边形 ABCD 中，AB=AD,Z B+Z ADC=180 ,E、F 分别是边 BC、CD 延长 线上的点，且/EAF=【/BAD,(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请 2 写出它们之间的数量关系，并证明.8.(1)如图 1,在四边形 ABCD 中，AB=AD,Z B=/D=90 ,E、F 分别是边 BC、CD 上的点，且 Z EAF=-/BAD.求证：EF=BE+FD.2(2)如图 2,在四边形 ABCD 中，AB=AD,Z B+/D=180 ,E、F 分别是边 BC、CD 上的点，且 Z EAF=1 Z BAD,(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出线段 EF、2 BE、FD 它们之间的数量关系，并证明.(3)如图 3,在四边形 ABCD 中，AB=AD,Z B+/ADC=180 ,E、F 分别是边 BC、CD 延长 线上的点，且/EAF=【/BAD,(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请 2 写出线段 EF、BE、FD 它们之间的数量关系，并证明.半角模型问题放到平面直角坐标系中是什么样子？1.如图 1,在平面直角坐标系中，AOB 为等腰直角三角形，A(4,4)图 1 图2 图 3 (1)求 B 点坐标；(2)如图 2,若 C 为 x 正半轴上一动点，以 AC 为直角边作等腰直角 ACD,Z ACD=90 ,连 接 OD,求 Z AOD 的度数；(3)如图 3,过点 A 作 y 轴的垂线交 y 轴于 E,F为 x 轴负半轴上一点，G 在 EF 的延长线上，以 EG 为直角边作等腰 RtA EGH，过 A 作 x 轴垂线交 EH 于点 M，连 FM,等式 AM=FM+OF 是 否成立？若成立，请说明；若不成立，说明理由.解：(1)如图所示，作 AE OB 于 E,-A(4,4),.OE=4,AOB 为等腰直角三角形，且 AE OB,.OE=EB=4,.OB=8,B(8,0);(2)如图所示，作 AE OB 于 E,DF OB 于 F,(3)AM=FM+OF 成立，理由：如图所示，在 AM 上截取 AN=OF，连 EN.-A(4,4),AE=OE=4,又.EAN=Z EOF=90 ,AN=OF,.EAN EOF(SAS),Z OEF=/AEN,EF=EN,又 EGH 为等腰直角三角形，.Z GEH=45，即 Z OEF+Z OEM=45【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定、等腰三角形的性质和坐标与图形性质的综 合应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.2.如图，直线 L 交 x 轴、y 轴分别于 A、B 两点，A(a,0)B(0,b),且(a-b)2+|b-4|=0(1)求 A、B 两点坐标；ACD 为等腰直角三角形，AC=DC,/ACD=90 即 Z ACF+Z DCF=90 ,/FDC+/DCF=90 ,/ACF=/FDC,又.DFC=Z AEC=90 ,.DFCA CEA(AAS),EC=DF=4,FC=AE,-A(4,4),AE=OE=4,FC=OE，即 OF+EF=CE+EF OF=CE,OF=DF,/DOF=45 ,AOB 为等腰直角三角形，/AOB=45 ,.Z AOD=Z AOB+Z DOF=90 Z AEN+Z OEM=45 又.AEO=90 ,Z NEM=45 =Z FEM,又.EM=EM,.NEM FEM(SAS),MN=MF,AM-MF=AM-MN=AN,AM-MF=OF,即 AM=FM+OF;(2)C 为线段 AB 上一点，C 点的横坐标是 3,P 是 y 轴正半轴上一点，且满足 Z OCP=45 ,求 P 点坐标；(3)在(2)的条件下，过 B 作 BD OC,交 OC、OA 分别于 F、D 两点，E 为 OA 上一点，且/CEA=/BDO，试判断线段 OD 与 AE 的数量关系，并说明理由.(1)解：.(a-b)2+|b-4|=0,-a-b=0,b-4=0,-a=4,b=4,.A(4,0),B(0,4);(2)3.如图，已知 A(a,b),ABy 轴于 B,且满足|a-2|+(b-2)2=0,(1)求 A 点坐标；(2)如图 1,分别以 AB,AO 为边作等边三角形 ABC 和 AOD，试判定线段 AC 和 DC 的数 量关系和位置关系，并说明理由；(3)如图 2,过 A 作 AE x 轴于 E,点 F、G 分别为线段 OE、AE 上两个动点，满足 Z FBG=45 试探究OF AG的值是否发生变化?如果不变，求其值；如果变化，请说明理由.FG 2017-2018 江汉期中 如图点 2为左ABC 的外角/BCD 的平分线上一点，PA=PB(1)求证：Z PACW PBC(2)作 P 乩 BCT E,若 AC=5 BC=11,求，PCE SA PBE(3)若 M N 分别是边 AG BC 上的点，且/MPN=1/APR 则线段 AM MN BN 之间有何数量关 2 系，并说明理由.=-CFX PF:1 AC X PF 2 2=CF:AC=3:(3+5)=3:8;（3）如图 3,在 BC 上截取 BQ=AM,在 PMA 和 PQB 中，PA=PB PAM=PBQ MA=BQ,.PMAA PQB,PM=PQ,Z MPA=QPB,Z APM+Z QPA=Z APQ+Z QPB,即：Z APB=Z MPQ,.Z MPN=1 Z APB,2 Z MPN=1/MPQ,2 Z MPN=Z QPN,在 MPN 和 QPC 中，PN=PN MPN=QPN MP=QP,.MPNA QPC,MN=QN,BN=AM+MN.【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全 等三角形的判定和性质，角平分线定理和角平 分线的定义，解（1）的关键是判断出 PE=PF,解（2）的关键是求出 CE=CF=3，解（3）的关 键是构造全等三角形判断出/APB=/MPQ,是一道中等难度的中考常考题.PC 平分 Z DCB,.PE=PF,在 Rt PAF 和 RtA PEB 中,PF=PE PA=PB,Rt PAF 丝 RtA PEB,Z PAC=Z PBC,.PE BC,CP 是 Z BCD 的平分线,.PE=PF,Z PCF=/PCE,.PC=PC,.PCFA PCE,.CF=CE,由(1)知，RtA PAF 丝 Rt PEB,.AF=BE,.AF=AC+CF,BE=BC-CE,.AC+CF=BC-CE,.5+CF=11-CE,.CE=CF=3,.PFCA PEC,SA PFC=SA PEC,Rt PAF 丝 RtA PEB,SAPAF=SAPEB,SAPCE:PBE=S APFC:PFA 2015-2016 江岸八上期末 已知在 ABC 中，AB=AC，射线 BM、BN 在 Z ABC 内部，分别交线段 AC 于点 G、H.(1)如图 1,若 Z ABC=60 、Z MBN=30，作 AE BN 于点 D,分别交 BC、BM 于点 E、F.求证：CE=AG;若 BF=2AF，连接 CF,求 Z CFE 的度数；(2)如图 2,点 E 为 BC 上一点，AE 交 BM 于点 F,连接 CF,若 Z BFE=Z BAC=2 Z CFE,直接 【分析】(1)由 AB=AC,/ABC=60 得到 ABC 为等边三角形，根据等边三角形的性质得到 Z BAC=Z ACB=60 ,AB=CA，求得 Z BFD=Z AFG=60，推出 Z EAC=Z GBA 证得 GBA 丝 EAC，根据全等三角形的性质即可得到结论；如图 1,取 BF 的中点 K 连接 AK,由 BF=2AF,“、，一一，.，-，一 1,推出 FAK 是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到 Z FAK=/FKA，求得/AKF=-Z 2 BFD=30 ,根据全等三角形的性质得到 AG=CE,BG=AE,Z AGB=/AEC，推出 GAK EFC,根据全等三角形的性质得到 Z CFE=Z AKF 即可得到结论；(2)如图 2,在 BF 上取 BK=AF，连接 AK,推出/EAC=/FBA，根据全等三角形的性质得到 S AABK=SAACF,/AKB=/AFC,证得 FAK 是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到 AF=FK,即 可得到结论.【解答】解：（1）AB=AC,Z ABC=60 ABC 为等边三角形，则/BAC=/ACB=60 ,AB=CA,.AD BN,/MBN=30 ,/BFD=/AFG=60 ,/ABF+Z BAF=60 ,Z BAF+Z EAC=60 /EAC=/GBA 在 GBA 与 EAC 中，Z GBA=Z EACZ GAB=Z ECA,.GBAA EAC,.CE=AG;如图 1,取 BF 的中点 K 连接 AK,.Z BFD=Z FAK+Z FKA=2 Z AKF,.ZBFD=60 ,Z AKF=-Z BFD=30。，2 V AGBAA EAC,AB=CA 1 AF=BK=FK=一 BF,2.FAK 是等腰三角形,.BF=2AF,写出立=.VACF AG=CE,BG=AE,/AGB=/AEC,KG=BG-BK=AE-AF=FE,在 GAK与 EFC中，AG=CE Z AGB=Z AEC KG=FE,.GAKA EFC,.Z CFE=Z AKF,.Z CFE=Z AKF=30 ;方法二：只要证明 ADB BFC 即可解决问 题；，连接 AK,Z BAF+Z ABF,ZBAC,Z EAC=Z BAF+ABF,/FBA,在 ABK 与 ACF 中,AB=AC/ABK=/FAC BK=AF,.ABKA AFC,SAABK=SAACF,ZAKB=/AFC,.Z BFE=2/CFE,/BFE=2/AKF,/BFE=2/AKF=/AKF+KAF,Z AKF=Z KAF,FAK 是等腰三角形，AF=FK,BK=AF=FK,SA ABK=S AFK,S ABF=SA ABK+S AFK=2S AABK=2SA ACF,昂 ABF =2 S/ACF(2)取 BK=AF/BFE=.Z BFE=Z BAF+Z EAC=如图 2,在 BF 上