命题及其关系、充分条件与必要条件知识点与题型归纳.pdf
高考明方向 1.理解命题的概念 2.了解“若p,则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系 3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.备考知考情 常用逻辑用语是新课标高考命题的热点之一,考查形式以选择题为主,试题多为中低档题目,命题的重点主要有两个：一是命题及其四种形式,主要考查命题的四种形式及命题的真假判断；二是以函数、数列、不等式、立体几何中的线面关系等为背景考查充要条件的判断,这也是历年高考命题的重中之重命题的热点是利用关系或条件求解参数范围问题,考查考生的逆向思维.一、知识梳理名师一号 P4 知识点一 命题及四种命题 1、命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的,可以判断真假 的陈述句叫做命题其中判断为真的语句叫真命题,判断为假的语句叫假命题 注意：命题必须是陈述句,疑问句、祈使句、感叹句 都不是命题;2四种命题及其关系 1 四种命题间的相互关系 2 四种命题的真假关系 两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性无关 注意：补充 1、一个命题不可能同时既是真命题又是假命题 2、常见词语的否定 原词语 等于=大于 小于0,则x2xm0 有实根”的逆否命题；“若x123是有理数,则x是无理数”的逆否命题 A B C D 解析:中否命题为“若a0,则ab0”,正确；中逆命题不正确；中,14m,当m0 时,0,原命题正确,故其逆否命题正确；中原命题正确故逆否命题正确 答案 B 注意：名师一号 P5 高频考点 例 1 规律方法 在判断四个命题之间的关系时,首先要分清命题的条件与结论,再比较每个命题的条件与结论之间的关系 要注意四种命题关系的相对性,一旦一个命题定为 原命题,也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理,判定命题为假命题时只需举出反例即可 对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手 例 1.3 名师一号 P4 对点自测 2 2014 陕西卷原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|z2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是 A真,假,真 B假,假,真 C真,真,假 D假,假,假 解析 易知原命题为真命题,所以逆否命题也为真,设z134i,z243i,则有|z1|z2|,但是z1与z2不是共轭复数,所以逆命题为假,同时否命题也为假 注意：名师一号 P5 问题探究 问题 2 四种命题间关系的两条规律 1 逆命题与否命题互为逆否命题；互为逆否命题的两个命题同真假 2 当判断一个命题的真假比较困难时,可转化为判断它的逆否命题的真假 同时要关注“特例法”的应用 例 21 补充 2011 山东文 5 已知 a,b,cR,命题“若abc=3,则222abc3”的否命题是 A 若 a+b+c3,则222abc3 B 若 a+b+c=3,则222abc1”是“an为递增数列”的 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 规范解答 若q1,则当a11 时,anqn1,an为递减数列,所以“q1”错误!“an为递增数列”；若an为递增数列,则当an错误!n时,a1错误!,q错误!1”故选 D.例 1.3 名师一号 P6 特色专题 例 2 2014湖北卷设 U 为全集A,B 是集合,则“存在集合 C 使得 AC,BUC”是“AB”的 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 规范解答 如图可知,存在集合 C,使 AC,BUC,则有 AB.若 AB,显然存在集合 C.满足AC,BUC.故选C.例 1.4 名师一号 P4 对点自测 5 已知p：4k0,q：函数ykx2kx1 的值 恒为负,则p是q成立的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析:4k0k0,k24k0,函数ykx2kx1 的值恒为负,但反之不一定有4k1 B0a错误!错误!a1 Da1.由选项可知,使“a0 或a1”成立的充分条件为选项 D.注意：名师一号 P5 高频考点 例 3 规律方法 有关探求充要条件的选择题,解题关键是：首先,判断是选项“推”题干,还是题干“推”选项；其次,利用以小推大的技巧,即可得结论 务必审清题,明确“谁是条件”此题选项是条件 练习：补充 已知:3p x且2y,:5q xy,则p是q的 条件;答案:既不充分条件也不必要条件 例 3.名师一号 P6 特色专题 例 3 已知命题 p：关于 x 的方程 4x22ax2a50 的解集 至多有两个子集,命题 q：1mx1m,m0,若p是q的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围 规范解答 p是q的必要不充分条件,p 是 q 的充分不必要条件 对于命题 p,依题意知 2a2442a54a28a200,2a10,令 Pa|2a10,Qx|1mx1m,m0,由题意知PQ,错误!或错误!解得 m9.因此实数 m 的取值范围是m|m9 注意：补充 凡结合已知条件求参数的取值范围 是求满足条件的等价条件即充要条件 练习：补充 已知:210;:11(0)pxqmxm m .若p是q的必要但不充分条件,求实数m的取值范围 解：p是q的必要但不充分条件 即 p q 且 qp 等价于 q p pq 即 p是q的充分但不必要条件 令210Axx 11(0)Bxmxm m 则 AB 即 12110mm 解得 9m 所以实数m的取值范围是9m m 注：A 是 B 的真子集,须确保12110mm 中的等号不同时取得 例 4.补充 求证：关于x的方程ax22x10 至少有一个负根的 充要条件是a1.证明：充分性：当a0 时,方程为 2x10 的根为x错误!,方程有一个负根,符合题意 当a0,方程ax22x10 有两个不相等的实根,且错误!0,方程有一正一负根,符合题意 当 0a1 时,44a0,方程ax22x10 有实根,且错误!,故方程有两个负根,符合题意 综上：当a1 时,方程ax22x10 至少有一个负根 必要性：若方程ax22x10 至少有一个负根 当a0 时,方程为 2x10 符合题意 当a0 时,方程ax22x10 应有一正一负根或两个负根则错误!0 或错误!.解得a0 或 0a1.综上：若方程ax22x10 至少有一负根,则a1.故关于x的方程ax22x10 至少有一个负根的充要条件是a1.注意：补充 证明充要条件务必明确充分性和必要性并分别给予证明 练习：补充已知()f x是定义在 R 上的函数,求证：()f x为增函数的充要条件是任意的12121212()(),0f xf xxxRxxxx、且恒有 分析：设p：12121212()(),0f xf xxxRxxxx、且恒有 q：()f x为增函数；证明p是q的充要条件,只需分别证明充分性pq和必要性qp即可;课后作业 计时双基练 P209 基础 1-11、培优 1-4 课本 P2-4 变式思考 1、2、3；对应训练 1、2、3 预习 第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 补充作业：2010 安徽设数列na中的每一项都不为零,证明：数列na为等差 数 列 的 充 分 必 要 条 件 是：对 任 意*nN,都 有1223111111nnnna aa aa aa a.
