(完整版)职高数学各章节知识点汇总.pdf

1 第一章 集合 一、集合的概念 1、集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性。2、元素与集合的关系：AaAa,3、常用数集 集合名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 表示 N N或N*Z Q R 二、集合之间的关系 注：1、子集:一个集合中有 n 个元素，则这个集合的子集个数为n2，真子集个数为12 n。2、空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。三、集合之间的运算 1、交集：BxAxxBA且|2、并集：BxAxxBA或|3、补集：AxUxxACU,|且 四、充要条件：qp，p是q的充分条件，q是p的必要条件。qp，p是q的充要条件，q是p的充要条件。第二章 不等式 一、不等式的基本性质：1、加法法则：2、乘法法则：3、传递性：4、移项：二、一元二次不等式的解法 acb42 0 0 0 二次函数的图象)0(2acbxaxy y x o x1 x2 y x o y x o x1=x2 2 注：当0a时，可先把二次项系数a化为正数，再求解。三、含有绝对值不等式的解法：axaaaxaxaxaax)0(|)0(|或 第三章 函数 一、函数的概念：1、函数的两要素：定义域、对应法则。函数定义域的条件：（1）分式中的0分母；（2）偶次方根的被开方数0；（3）对数的真数0，底数10 且；（4）零指数幂的底数0。2、函数的性质：（1）单调性：一设二求三判定 设：21,xx是给定区间（）上的任意两上不等的实数 函数为减函数函数为增函数00)()(1212xyxyxfxfyxxx （2）奇偶性：判断方法：先判断函数的定义域是否关于原点对称，再看)(xf与)(xf 的关系：)()(xfxf偶函数；)()(xfxf奇函数；)()(xfxf非奇非偶 图象特征：偶函数图象关于y轴对称，奇函数图象关于原点对称。二、一次函数 1、)0(kbkxy 一元二次方程的根)0(02acbxax 有两个不等的实根)(,2121xxxx 有两个相等的实根 abxx221 无实根 的解集)0(02acbxax 21|xxxxx或 abxx2|R 的解集)0(02acbxax 21|xxxx 3 当0b时kxy 为正比例函数、奇函数，图象是过原点的一条直线。2、一次函数的单调性 四象限。，减函数，图象定过二象限。增函数，图象定过一三0,0kk 三、二次函数：1、解析式：)0()()(2122axxxxaykhxaycbxaxy两点式：顶点式：一般式：2、二次函数)0(2acbxaxy的图象和性质)0(2acbxaxy 0a 0a 图象 开口方向 向上 向下 开口大小|a越大，开口越小；|a越小，开口越大 顶点坐标)44,2(2abacab 对称轴 abx2 单调性 在区间2,(ab上是减函数 在区间),2ab上是增函数 在区间2,(ab上是增函数 在区间),2ab上是减函数 最大值与最小值 当abx2时，abacy442min 当abx2时，abacy442max 奇偶性 当0b时，caxy2是偶函数，图象关于y轴对称 第四章 指数函数和对数函数 一、有理指数 y x y x 4 1、零指数幂 规定：)0(10aa 2、负整指数幂 aa11；nnaa1 （Nna,0）3、分数指数幂 nnaa1；nmnmaa ),(为既约分数且nmNnm 4、实数指数幂运算法则 nmnmaaa；mnmnaaa；mnnmaa)(；mmmbaab)(（nmba,0,0为任意实数）二、指数函数 函数 指数函数)1,0(aaayx且 a的范围 1a 10 a 图象 定义域 R 值域),0(性质（1）过点（0，1）（2）在 R 上是增函数（3）当0 x时，1y 当0 x时，10 y（1）过点（0，1）（2）在 R 上是减函数（3）当0 x时，10 y 当0 x时，1y 三、对数 1、对数的性质：对数恒等式NaNlog；1 的对数是零 01loga；底的对数是 1 1logaa 2、对数的换底公式：)0,1,0,1,0(logloglogNbbaaaNNbba 3、积、商、幂的对数：NMMNaaaloglog)(log；NMNMaaalogloglog；MpMapaloglog 4、常用对数和自然对数：常用对数NNlglog10；自然对数)71828.2(lnlogeNNe 四、对数函数 y x o(0,1)y x o(0,1)5 函数 指数函数)1,0(logaaxya且 a的范围 1a 10 a 图象 定义域),0(值域 R 性质（1）过点（1，0）（2）在),0(上是增函数（3）当1x时，0y 当10 x时，0y（1）过点（1，0）（2）在),0(上是减函数（3）当1x时，当10 x时，0y 第五章 三角函数 一、三角函数的有关概念 1、所有与 a 角终边相同的角表示为Zkk,360/2、象限角：a 为第一象限角，Zkkk,222 a 为第二象限角，Zkkk,222 0y a 为第三象限角，Zkkk,2232 a 为第四象限角，Zkkk,22223 3、任意角三角函数定义：已知角终边上任意一点的坐标（，），（22yx）则xyarxaryatan,cos,sin 4特殊角的三角函数值表 角 a 00 030 045 060 090 0180 0270 0360 弧度 6 4 3 2 23 2 sina 21 22 23 cosa 23 22 21 0 y x o(1,0y x o(1,0)6 tana 33 3 不存在 不存在 二、同角的三角函数关系式 平方关系式：1cossin22aa 商数关系式：aaacossintan 三、诱导公式：为偶数）k(sin)sin(aka 为奇数）k(sin-)sin(aka 为偶数）k(cos)(cosaka 为奇数）k(-cos)(cosaka 为整数）k(tan)(tanaka 四、两角和与差的三角函数 sincoscossin)sin(aaa sinsincoscos)cos(aaa tantan1tantan)tan(aaa 五、二倍角公式 aaacossin22sin aaaaa2222sin211cos2sincos2cos aaa2tan1tan22tan 六、正弦定理：CcBbAasinsinsin 应用范围：（）已知两角与一边（）已知两边及其中一边的对角（两解，一解或无解）七、余弦定理：Abccbacos2222，Bbccabcos2222，Cbcbaccos2222 应用范围：（）已知三边（）已知两边及其夹角 八、三角形面积公式 21sinC=21bcsinA=21acsinB 九、三角函数性质：函数 sinx y=cosx y=tanx 定义域 )2,2(kk 值域【,】【,】周期 2 2 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 7 单调性 增函数,22,22kk减函数,223,22kk 增函数,2,2kk 减函数,2,2kk)2,2(kk上是增函数 最值 当kx22时取最大值 当kx22时取最小值-当kx2时取最大值 当kx2时取最小值-无最值 图像 第六章 等差数列等比数列 名称 等差数列 等比数列 定义 daann1(从第二项起)0(1qqaann 通项公式 an=a1+(n-1)d an=a1q1n(q0)前 n 项和公式 Sn=2)(1naan=a1n+2)1(nnd 当 q1 时，Sn=qqan1)1(1 当 q=1 时，Sn=na1 中项 如果 a,A,b 三个数成等差数列 等差中项公式 A=2ba 如果 a,G,b 三个数成等比数列 等比中项公式：G2=ab 判定 定义法：a1n-an=d(常数)中项法：a1n+a1n=2 an(n2)定义法：nnaa1=q(常数)中项法：a1na1n=a2n(n2）性质 若 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq mnaadmn 若 m+n=p+q,则 aman=apaq sn与 s1n的关系)2()1(11nSSnSannn 三个数的设法 daadx,)0(,qaqaqa 8 第七章 平面向量（一）有关概念 向量：既有大小又有方向的量 向量的大小：有向线段的长度。向量的方向：有向线段的方向。大小和方向是确定向量的两个要素。零向量：长度为 0 的向量叫做零向量，零向量没有确定的方向，记作0。（二）向量的加法,减法 (三)向量的运算律 （四）向量的内积 已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，我们把a b cos叫做a和b的内积，记作ab 即 ab=a b cos 注意：内积是一个实数，不在是一个向量。规定：零向量与任一向量的数量积是a0=0 a=（a，1,a2,）b=(b1,b2)ab=a1b1+a2b2 (五)向量内积的运算律 ab=ba （a）b=（ab）=a（b）（a+b）c=ac+bc （六）向量内积的应用a=（a，1,a2,）b=(b1,b2)向量的模：aaa|2221|aaa a 与b的夹角:|cosbaba 222122212211cosbbaababa (七)平面向量的坐标运算 设 a=（a，1,a2,）b=(b1,b2)则 a+b=（a1+b1,a2+b2）a-b=（a1-b1,a2-b2）a=(a1,a2)数乘运算律）（a=（）a)(ba=a+b （）a=a+a（-1）a=-a 加法运算律 a+b=b+a（a+b）+c=a+（b+c）a+0=0+a=a a+（-a）=（-a）+a=0 9 ab=a1b1+a2b2 (八)两向量垂直，平行的条件 设 a=（a，1,a2）b=(b1,b2)则 向量平行的条件：aba=b ab a，1b2-a2b1=0 向量垂直的条件：abab=0 ab a，1b1+a2b2=0 解析几何 直线 一、直线与直线方程 1、直线的倾斜角、斜率和截距 （1）直线的倾斜角：一条直线向上的方向与 x 轴正向所成的最小正角，叫这条直线的倾斜角。（2）、倾斜角的范围：1800 2、直线斜率 BAxxyyk1212tan(其中0,2,12Bxx)注：任何直线都有倾斜角，但不一定有斜率，当倾斜角为90时，斜率不存在。3、直线的截距 在x轴上的截距，令0y求x 在y轴上的截距，令0 x求y 注：截距不是距离，是坐标，可正可负可为零。4、直线的方向向量和法向量 （1）方向向量：平行于直线的向量,一个方向向量为),(),1(ABaka或(2)法向量：垂直于直线的向量，一个法向量为),(BAn 二、直线方程的几种形式 名称 已知条件 直线方程 说明 斜截式 k和在y轴上的截距b bkxy k存在，不包括y轴和平行于y轴的直线 点斜式),(00yxP和k)(00 xxkyy k存在，不包括y轴和平行于y轴的直线 一般式 CBA,的值 0CByAx BA,不能同时为 0 几种特殊的直线：（1）x 轴：0y 1 0 （2）Y 轴：0 x（3）平行于 X 轴的直线：)0(bby（4）平行于 Y 轴的直线：)0(aax（5）过原点的直线；kxy（不包括 Y 轴和平行于 Y 轴的直线）三、两条直线的位置关系 位置关系 斜截式 一般式 222111:bxkylbxkyl 0:0:22221111CyBxAlCyBxAl 平行 2121,bbkk 212121CCBBAA 重合 2121,bbkk 212121CCBBAA 相交 21kk 2121BBAA 垂直 121kk 02121BBAA 与直线0CByAx平行的直线方程可设为：)(0mCmByAx 与直线0CByAx垂直的直线方程可设为：0mAyBx 四、点到直线的距离公式：1、点),(00yx到直线0CByAx的距离2200|BACByAxd 2、两平行线0:0:2211CByAxlCByAxl间的距离2212|BACCd 五、两点间距离公式和中点公式 1、两点间距离公式：212212)()(|yyxxAB 2、中点公式:22210210yyyxxx 圆 一、圆方程 方程 圆心坐标 半径 圆的标准方程 222)()(rbyax),(ba r 1 1 圆的一般方程 022FEyDxyx)04(22FED)2,2(ED 2422FEDR 二、圆与直线的位置关系：1、圆心到直线的距离为d，圆的半径为r 相切 相交 相离 rd rd rd 2、过圆222ryx上点),(00yx的切线方程：200ryyxx 3、圆中弦长的求法：（1）222drl（d是圆心到弦所在直线的距离）（2）直线方程与圆方程联立4)(1(212212xxxxkl 椭圆的标准方程及性质 标准 方程 （）（）图像 范围 byax，aybx，对称轴 关于 x 轴 y 轴成轴对称;关于原点成中心对称 顶点坐标 A1（-a，0）A2(a，0)，B1(0，-b)B2(0，b)A1(0，-a)A2(0，a)B1（-b，0）B2(b，0)焦点坐标 F1(-c，0),F2(c，0)F1(0，-c),F2(0，c)半轴长 长半轴长是 a，短半轴长是 b 焦距 焦距是 2c ab，c 的关系 a2=b2+c2 b2=a2-c2 离心率)10(122eabace 双曲线的标准方程及性质 标准 方程 (a0,b0)(a0,b0)1 2 图像 渐近线 xaby xbay 对称轴 关于 x 轴 y 轴成轴对称 顶点坐标 A1（-a，0），A2 (a，0)A1(0，-a)，A2(0，a)焦点坐标 F1(-c，0),F2(c，0)F1(0，-c),F2(0，c)离心率 221abace(e1)ab，c 的关系 c2=a2+b2 b2=c2-a2 a2=c2-b2 ca0,cb0 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 0,2p 2px 0,2p 2px 2,0p 2py 2,0p 2py 抛物线的标准方程及性质 注意：一次变量定焦点，开口方向看负正，焦点准线要互异，四倍关系好分析。第九章 立体几何 pxy220ppyx220ppyx220ppxy220p 1 3 mll直线与平面的位置关系 线在面外 线在面内 线面平行 线面相交 图形 l Al l 符号 l/Al l 证明线线平行 方法 用线面平行来实现 用面面平行来实现 用垂直来实现 图形 符号 mlmll/mlml/若ml,则ml/证明线面平行 方法 用线线平行实现。用面面平行实现。图形 符号/llmml/ll 证明线线垂直 方法 用线面垂直实现 三垂线定理及其逆定理 图形 符号 mlml POlOAlPAl lmmlmllAOP 1 4 证明线面垂直 方法 用线线垂直实现 用面面垂直实现 图形 符号 lpbabablal,llmlm,证明面面平行 方法 用线线平行实现 用线面平行实现 图形 符号/,/且相交且相交mlmlmmll/,/且相交mlml 证明面面垂直 方法 用线面垂直实现 计算所成二面角为直角 图形 符号 ll 空间角 名称 异面直线所成的角 直线与平面所成的角 平面一平面所成的角 图形 AOP nmlP lmmllmmll 1 5 范围 90,0(90,0 180,0 方法 1：平移，使它们相交，找到夹角。2：解三角形求出角。(常用到余弦定理)(计算结果可能是其补角)1：找（作）垂线，找出射影，斜线与射影所成的角即是线面角，并证明。2：解三角形，求出线面角。1：作出二面角的平面角(三垂线定理)，并证明。2：解三角形，求出二面角的平面角。1.若长方体的长宽高分别为 a、b、c，则体对角线长为222cba，体积为abc 2.hS底棱柱V hS31底椎体V 3.球的表面积公式：2R4球S。体积公式：3R34V球 第十章 排列组合与二项式定理（一）排列 1 排列的定义：从 n 个不同元素中，任取 m（mn）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。mn 叫选排列，m=n 叫全排列。（排列与顺序有关）2 排列数的定义：从 n 个不同元素中每次取出 m（mn）个元素进行排列，所有不同的排列个数，叫做从n 个不同元素中每次取出 m 个不同元素的排列数。记作 Amn 3 排列数的计算公式：Amn=n(n-1)(n-2)(n-m+1)其中(n,mN且 mn)Ann=n(n-1)(n-2)321 4 n 的阶乘 n!=n(n-1)(n-2)321 Amn=n(n-1)(n-2)(n-m+1)=)!(!mnn Ann=n!规定：0！=1（二）组合 1 组合的定义：从 n 个不同元素中，任取 m（mn）个元素，不管顺序并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合。（组合与顺序有关）2 排列数的定义：从 n 个不同元素中取出 m（mn）个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个不同元素的组合数。记作 Cmn 3 组合数的计算公式：Cmn=mmmnAA=!)1()2)(1(mmnnnn 其中(n,mN且 mn)规定：C0n=1 1 6 4 组合数的性质 Cmn=Cmnn Cmn 1=Cmn+C1mn（三）二项式定理 公式（a+b）n=C0nan+C1na1nb+C1nnab1n+Cnnbn(2)通项公式 T1r=Crnarnbr其中 Crn称为二项展开式中第 r+1 项的系数(3)二项展开式的性质 展开式共有 n+1 项；a 的指数由 n 逐渐递减 1 到 0.b 的指数由 0 逐渐递增 1 到 n；二项式系数依次为 C0n，C1n，C2n，Cnn，且第 r 项与倒数第 r 项的二项式系数相等；n 为偶数时，展开式的项数为奇数项，展开式的中间一项二项式系数最大；n 为奇数时，展开式的项数为偶数项，中间两项二项式系数最大；（4）两个等式 C0n+C1n+C2n+Cnn=2n（在二项式定理中，令 a=b=1 可得）C0n+C2n+C4n+Cnn=21n（奇数项的二项式系数之和，偶数项的二项式系数之和都为 21n）