2020-2021学年高考高考真题理科数学(全国卷甲卷(ⅱ))-含解析.pdf

2020-2021 普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项：1.本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分.第卷 1 至 3 页，第卷 3 至 5 页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知(3)(1)izmm在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m 的取值范围是（A）3 1，（B）1 3，（C）1,+（D）3-，【解析】A 30m，10m，31m，故选 A （2）已知集合1,23A,，|(1)(2)0BxxxxZ，则AB （A）1 （B）12，（C）0 123，（D）10 123，【解析】C 120ZBx xxx，12Zxxx，0 1B，0 1 23AB，故选C （3）已知向量(1,)(3,2)amb，=，且()abb，则 m=（A）8 （B）6 （C）6 （D）8【解析】D 42abm，()abb，()122(2)0abbm 解得8m，故选 D （4）圆2228130 xyxy的圆心到直线10axy 的距离为 1，则 a=（A）43 （B）34 （C）3 （D）2【解析】A 圆2228130 xyxy化为标准方程为：22144xy，故圆心为1 4，24111ada，解得43a，故选 A （5）如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 （A）24 （B）18 （C）12 （D）9【解析】B EF有6种走法，FG有3种走法，由乘法原理知，共6 3 18 种走法 故选 B（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 （A）20 （B）24 （C）28 （D）32【解析】C 几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h 由图得2r，24cr，由勾股定理得：2222 34l，212Srchcl表416828，故选 C （7）若将函数 y=2sin 2x 的图像向左平移12个单位长度，则平移后图象的对称轴为（A）26kxkZ （B）26kxkZ（C）212Zkxk （D）212Zkxk【解析】B 平移后图像表达式为2sin212yx，令2+122xk，得对称轴方程：26Zkxk，故选 B （8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2x，2n，依次输入的 a 为 2，2，5，则输出的s （A）7 （B）12 （C）17 （D）34【解析】C 第一次运算：0 222s ，第二次运算：2 226s ，第三次运算：6 2517s ，故选 C （9）若3cos45，则sin2=（A）725 （B）15 （C）15 （D）725【解析】D 3cos45，27sin2cos22cos12425，故选 D （10）从区间0,1随机抽取 2n 个数1x,2x，nx，1y，2y，ny，构成 n 个数对11,x y，22,xy，,nnxy，其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为（A）4nm （B）2nm （C）4mn （D）2mn【解析】C 由题意得：12iixyin，在如图所示方格中，而平方和小于 1 的点均在 如图所示的阴影中 由几何概型概率计算公式知41mn，4mn，故选 C（11）已知1F，2F是双曲线 E：22221xyab的左，右焦点，点 M 在 E 上，1MF与x轴垂直，sin2113MF F,则 E 的离心率为（A）2 （B）32 （C）3 （D）2【解析】A 离心率1221FFeMFMF，由正弦定理得1221122 2sin321sinsin13FFMeMFMFFF 故选 A （12）已知函数 Rf xx满足 2fxf x，若函数1xyx与 yf x图像的交点 为11xy，22xy，mmxy，则1miiixy（）（A）0 （B）m （C）2m （D）4m【解析】B 由 2f xf x得 f x关于0 1，对称，而111xyxx 也关于0 1，对称，对于每一组对称点0iixx=2iiyy，111022mmmiiiiiiimxyxym，故选 B 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分第 1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 2224 题为选考题，考生根据要求作答（13）ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若4cos5A，5cos13C，1a，则b 【解析】2113 4cos5A，5cos13C，3sin5A，12sin13C，63sinsinsincoscossin65BACACAC，由正弦定理得：sinsinbaBA解得2113b （14），是两个平面，m，n 是两条线，有下列四个命题：如果mn，m，n，那么 如果m，n，那么mn 如果a，m，那么m 如果mn，那么 m 与所成的角和 n 与所成的角相等【解析】（15）有三张卡片，分别写有 1 和 2，1 和 3，2 和 3甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是【解析】(1,3)由题意得：丙不拿（2，3），若丙（1，2），则乙（2，3），甲（1，3）满足，若丙（1，3），则乙（2，3），甲（1，2）不满足，故甲（1，3），（16）若直线ykxb是曲线ln2yx的切线，也是曲线ln1yx的切线，b 【解析】1 ln2 ln2yx的切线为：111ln1yxxx（设切点横坐标为1x）ln1yx的切线为：22221ln111xyxxxx 122122111ln1ln11xxxxxx 解得112x 212x 1ln11ln 2bx 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（17）（本小题满分 12 分）nS为等差数列 na的前 n 项和，且11a，728S 记lgnnba，其中 x表示不超过 x 的最大整数，如0.90，lg991（）求1b，11b，101b；（）求数列 nb的前1000项和【解析】设 na的公差为d，74728Sa，44a，4113aad，1(1)naandn 11lglg10ba，1111lglg111ba，101101101lglg2ba 记 nb的前n项和为nT，则1000121000Tbbb 121000lglglgaaa 当0lg1na 时，129n，；当1lg2na 时，101199n，；当2lg3na 时，100101999n，；当lg3na 时，1000n 1000091 9029003 11893T （18）（本小题满分 12 分）某险种的基本保费为 a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数 0 1 2 3 4 5 保 费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数 0 1 2 3 4 5 概 率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05（）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值【解析】设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A，()1()1(0.300.15)0.55P AP A 设续保人保费比基本保费高出60%为事件B，()0.100.053()()0.5511P ABP B AP A 解：设本年度所交保费为随机变量X X 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a P 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 平均保费 0.850.300.151.250.201.50.201.750.1020.05EXaaaaa 0.2550.150.250.30.1750.11.23aaaaaaa，平均保费与基本保费比值为1.23 （19）（本小题满分 12 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，5AB，6AC，点 E，F 分别在 AD，CD 上，54AECF，EF 交 BD 于点 H.将DEF 沿 EF 折到DEF的位置10OD.（I）证明：DH平面 ABCD；（II）求二面角BDAC的正弦值.【解析】证明：54AECF，AECFADCD，EFAC 四边形ABCD为菱形，ACBD，EFBD，EFDH，EFDH 6AC，3AO；又5AB，AOOB，4OB，1AEOHODAO，3DHDH，222ODOHD H，D HOH 又OHEFH，D H 面ABCD 建立如图坐标系Hxyz 500B，130C，003D，130A，430AB，133AD ，060AC，设面ABD法向量1nxyz，由1100nABnAD得430330 xyxyz，取345xyz，1345n，同理可得面AD C的法向量2301n，1212957 5cos255 210n nn n，2 95sin25 （20）（本小题满分 12 分）已知椭圆 E:2213xyt的焦点在x轴上，A 是 E 的左顶点，斜率为(0)k k 的直线交 E 于 A，M 两点，点 N在 E 上，MANA.（I）当4t，AMAN时，求AMN 的面积；（II）当2 AMAN时，求 k 的取值范围.【解析】当4t 时，椭圆 E 的方程为22143xy，A 点坐标为20，则直线 AM 的方程为2yk x 联立221432xyyk x并整理得，2222341616120kxk xk 解得2x 或228634kxk，则2222286121213434kAMkkkk 因为AMAN，所以2221121211413341ANkkkkk 因为AMAN，0k，所以2221212114343kkkkk，整理得21 440kkk，2440kk无实根，所以1k 所以AMN的面积为22111214411223449AM 直线 AM 的方程为yk xt，联立2213xytyk xt并整理得，222223230tkxt tk xt kt 解得xt 或2233t tktxtk，所以22222361133t tkttAMktktktk 所以2613tANktkk 因为2 AMAN 所以2226621133ttkkttkkk，整理得，23632kktk 因为椭圆 E 的焦点在 x 轴，所以3t，即236332kkk，整理得231202kkk 解得322k（21）（本小题满分 12 分）(I)讨论函数2(x)e2xxfx的单调性，并证明当0 x时，(2)e20;xxx(II)证明：当0,1)a 时，函数 2e=(0)xaxag xxx 有最小值.设 g x的最小值为()h a，求函数()h a的值域.【解析】证明：2e2xxf xx 22224ee222xxxxfxxxx 当x 22,，时，0fx f x在 22,，和上单调递增 0 x时，2e0=12xxfx 2 e20 xxx 24e2exxa xxaxagxx 4e2e2xxx xaxax 322e2xxxaxx 01a，由(1)知，当0 x时，2e2xxf xx的值域为1，只有一解 使得2e2ttat，02t，当(0,)xt时()0g x，()g x单调减；当(,)xt时()0g x，()g x单调增 222e1ee1e22tttttta tth attt 记 e2tk tt，在0,2t时，2e102ttk tt，k t单调递增 21e24h ak t，请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号（22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，在正方形 ABCD，E，G 分别在边 DA，DC 上（不与端点重合），且 DE=DG，过 D 点作 DFCE，垂足为F.(I)证明：B，C，G，F 四点共圆；(II)若1AB，E 为 DA 的中点，求四边形 BCGF 的面积.【解析】（）证明：DFCE RtRtDEFCED GDFDEFBCF DFCFDGBC DEDG，CDBC DFCFDGBC GDFBCF CFBDFG 90GFBGFCCFBGFCDFGDFC 180GFBGCB B，C，G，F 四点共圆（）E 为 AD 中点，1AB，12DGCGDE，在RtGFC中，GFGC，连接GB，RtRtBCGBFG，1112=21=222BCGBCGFSS 四边形 （23）（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 在直线坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为22625xy（I）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程；（II）直线 l 的参数方程是cossinxtyt（t 为参数），l 与 C 交于 A、B 两点，10AB，求 l 的斜率【解析】解：整理圆的方程得2212 110 xy，由222cossinxyxy可知圆C的极坐标方程为212 cos110 记直线的斜率为k，则直线的方程为0kxy，由垂径定理及点到直线距离公式知：226102521kk，即22369014kk，整理得253k，则153k （24）（本小题满分 10 分），选修 45：不等式选讲 已知函数 1122f xxx，M 为不等式 2f x 的解集.（I）求 M；（II）证明：当 a，bM时，1abab【解析】解：当12x时，11222f xxxx，若112x ；当1122x 时，111222f xxx 恒成立；当12x 时，2f xx，若 2f x，112x 综上可得，|11Mxx 当1 1ab，时，有22110ab，即22221a bab，则2222212a babaabb，则221abab，即1abab，证毕