高中数学-集合论试题4(解析版)299.pdf

试卷第 1 页，共 4 页 高一上数学周测 4 一、单选题 1已知集合21Axx，2,1,0B ，则AB（）.A2,1,0,1 B1,0,1 C1,0 D2,1,0 2已知命题p：有的长方形是正方形，则（）Ap：有的长方形不是正方形 Bp：所有长方形都不是正方形 Cp：所有的长方形都是正方形 Dp：不是长方形的图形都不是正方形 3已知函数2f x的定义域为3,4，则函数 31fxg xx的定义域为（）A1,43 B1,23 C1,63 D1,13 4把下列命题中的“”改为“”，结论仍然成立的是（）A如果=a b，0c，那么=abcc B如果=a b，那么=ab C如果=a b，cd，那么=ac bd D如果=a b，cd，那么adbc 5设已知函数 ,f xg x如下表所示：x 1 2 3 4 5 x 5 4 3 2 1 f x 5 4 3 2 1 g x 4 3 2 1 5 则不等式 f g xg f x的解集为（）A 1,3 B 5,3 C2,3,4 D5 6函数2()32f xxx的单调递减区间为（）A3(,)2 B3(,)2 C(,1)D(2,)7一只蚂蚁从正方形的一个顶点A出发，沿着正方形的边逆时针运动一周后回到A点，假设蚂蚁运动过程中的速度大小不变，则蚂蚁与点A的距离s随时间t变化的大致图象为（）ABCD 试卷第 2 页，共 4 页 8已知0a，0b，21ab，则212baab的最小值为（）A132 B252 C610 D310 二、多选题 9设集合|626532Mx xkkNx xkkPx xkkZZZ，则（）AMN BMNP CMP DPMN 10下列对应中是函数的是（）Axy，其中21yx，1,2,3,4x，|10,Nyx xx Bxy，其中2yx，0,x，Ry Cxy，其中 y为不大于 x 的最大整数，Rx，Zy Dxy，其中1yx，Nx，Ny 11已知函数 f x的定义域是0,，且 f xyf xfy，当1x 时，0f x，21f，则下列说法正确的是（）A 10f B函数 f x在0,上是减函数 C 1111232021202220222022202132ffffffff D不等式132ffxx的解集为4,12已知a，b均为正实数，且1ab，则（）Aab的最大值为14 B2bab的最小值为2 2 C221155ab的最小值为15 D2221abab的最小值为14 三、填空题 13命题“12x，230 xa”为真命题的一个充分不必要条件是_ 14已知函数 fx对于任意的x都有 21 2fxxf x ，则 f x _.15在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于 3002m的内接矩形花园（阴影部分），则其一边长 x（单位 m）的取值范围是_.试卷第 3 页，共 4 页 16定义区间（,a b），（,a b，,a b的长度均为dba，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如（1，2）3，5）的长度 2 15 33d，设 ,1f xxxg xx，其中x表示不超过x的最大整数，例如1.3=1，-1.4=-2；3=3，x=x-x.若用d表示不等式 f xg x解集区间的长度，则当x-2021，2021时，d=_；四、解答题 17已知非空集合121,25Px axaQxx.(1)若3a，求RPQ；(2)若“xP”是“xQ”的充分不必要条件，求实数a的取值范围 18设2(1)2ymxm xm.(1)若不等式2y 对一切实数 x恒成立，求实数 m 的取值范围；(2)在（1）的条件下，求2251mmm的最小值；19已知函数 1axbf xx，且 14f，22f (1)求 f x的解析式；(2)判断 f x在1,上的单调性，并用定义证明 试卷第 4 页，共 4 页 20已知函数 221xfxx(1)求函数 yf x的值域；(2)当1 1,xm n0,0mn时，函数 10g xt f xt 的值域为23,23mn，求实数 t的取值范围 212020 年 11 月 5 日至 10 日，第三届中国国际进口博览会在上海举行，经过三年发展，进博会让展品变商品，让展商变投资商，交流创意和理念，联通中国和世界，国际采购、投资促进、人文交流，开放合作四大平台作用不断凸显，成为全球共享的国际公共产品.在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场.已知该产品年固定研发成本为 150 万元，每生产 1 万台需另投入 380 万元.设该企业一年内生产该产品x万台且全部售完，每万台的销售收入为()R x万元，且25002,020()21406250370,20 xxR xxxx.(1)写出年利润S（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式；（利润=销售收入成本）(2)当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大？并求出最大年利润.22已知函数 22122f xxxaa，22122g xxxaa，Ra设函数 ,f xf xg xM xg xg xf x.(1)若1a，求 M x的最小值；(2)若 M x的最小值小于52，求a的取值范围 答案第 1 页，共 13 页 参考答案：1C【分析】直接根据交集的概念运算可得结果.【详解】因为21Axx，2,1,0B ，所以AB 1,0.故选：C 2B【分析】根据特称命题的否定，可得答案.【详解】由题意，p：存在一个长方形，该长方形是正方形，p：所有长方形都不是正方形.故选：B.3C【分析】根据抽象函数的定义域的求解，结合具体函数单调性的求解即可.【详解】因为函数2f x的定义域为3,4，所以 fx的定义域为1,6.又因为310 x，即13x，所以函数 g x的定义域为1,63.故选：C.4D【分析】对于，利用不等式的性质判断得解；对于，举反例判断得解.【详解】解：把下列命题中的“=”改为“”,对于，如果,0ab c，那么abcc，若0c 时，abcc不成立，所以该命题错误；对于，如果ab，那么|ab，如 1,2ab，命题不成立，所以该命题错误；对于，如果,ab cd，那么ac bd，取1,0ab，0,1cd，此时acbd，所以此时命题错误；对于，如果,ab cd，那么adbc，根据不等式的性质可知：acbd，即adbc正确，所以该命题成立.故选：D 5C【分析】代入1,2,3,4,5x，根据表格，依次验证即可 答案第 2 页，共 13 页【详解】由题意，当1x 时，(1)(5)1,(1)(5)4f gfg fg，不满足 f g xg f x；当2x 时，(2)(1)5,(2)(4)3f gfg fg，满足 f g xg f x；当3x 时，(3)(2)4,(3)(3)2f gfg fg，满足 f g xg f x；当4x 时，(4)(3)3,(4)(2)1f gfg fg，满足 f g xg f x；当5x 时，(5)(4)2,(5)(1)5f gfg fg，不满足 f g xg f x；故不等式 f g xg f x的解集为2,3,4 故选：C 6C【分析】根据二次根式的定义，结合二次函数的单调性、复合函数的单调性进行求解即可.【详解】函数232yxx的对称轴为：32x，所以有2320132xxxx，故选：C 7A【分析】设蚂蚁的速度为v，正方形的边长为a，则40atv，分别求出蚂蚁位于线段AB、BC、CD，AD时，s关于t的表达式，利用排除法即可求解.【详解】设蚂蚁的速度为v，正方形的边长为a，则40atv，当蚂蚁位于线段AB上，即0atv 时，svt，其图象为线段；当蚂蚁位于线段BC上，即2aatvv 时，22Savta，其图象为曲线；当蚂蚁位于线段CD上，即23aatvv 时，223Saavt，其图象为曲线；当蚂蚁位于线段AD上，即34aatvv 时，4Savt，其图象为线段；结合选项可知：选项 A 符合题意，故选：A.答案第 3 页，共 13 页 8D【分析】根据条件得12ab，代入式子化简，结合基本不等式即可求得最小值.【详解】因为21ab，所以12ab 即21111121111122224224422babaabababababababba 51151152344442baabababab 5323102b aa b，当且仅当5221baabab，即2 10534103ab时，等号成立.所以min231120baab 故选:D.9BD【分析】112233|626532Mx xkkNx xkkPx xkkZZZ，对 A，由1212162652kkkk，等式不成立即可判断；对 BCD，当3k为奇数时，令3221kk，则323265kk；当3k为偶数时，令132kk，则313262kk即可判断【详解】112233|626532Mx xkkNx xkkPx xkkZZZ，对 A，由1212162652kkkk，等式不成立，故MN，A 错；对 BCD，当3k为奇数时，可令3221kk，则323265kk；当3k为偶数时，可令132kk，则313262kk.答案第 4 页，共 13 页 故MNP，且PNM，BD 对 C 错；故选：BD 10AC【分析】根据给定条件，利用函数的定义逐项分析判断作答.【详解】对于 A，对集合1,2,3,4中的每个元素 x，按照21yx，在|10,Nx xx中都有唯一元素 y与之对应，A 是；对于 B，在区间0,内存在元素 x，按照2yx，在 R 中有两个 y 值与这对应，如1x，与之对应的1y ，B 不是；对于 C，对每个实数 x，按照“y为不大于 x 的最大整数”，都有唯一一个整数 y与之对应，C是；对于 D，当1x 时，按照1yx，在N中不存在元素与之对应，D 不是.故选：AC 11ABD【分析】利用赋值法求得 10f，判断 A；根据函数的单调性定义结合抽象函数的性质，可判断函数的单调性，判断 B;利用 f xyf xfy，可求得 C 中式子的值，判断 C；求出1112422fff，将132ffxx转化为11134fffxx，即可解不等式组求出其解集，判断 D.【详解】对于 A，令1xy，得 11121ffff，所以 10f，故 A 正确；对于 B，令10yx，得 110ffxfx，所以 1ff xx，任取12,0,x x，且12xx，则 2212111xf xf xf xffxx，因为211xx，所以210 xfx，所以 21f xf x，所以 f x在0,上是减函数，故 B 正确；对于 C，111123202120222022202132ffffffff 11112022202132111102022202132ffffffff，故C 错误；答案第 5 页，共 13 页 对于 D，因为 21f，且 1ff xx，所以 1212ff，所以1112422fff，所以132ffxx等价于11134fffxx，又 f x在0,上是减函数，且 f xyf xfy，所以113410103x xxx，解得4x，故 D 正确,故选:ABD 12ACD【分析】对 A，利用基本不等式即可解得；对 B，将 2 换成2 ab，进而利用基本不等式得到答案；对 C，将原式化简为2221215525a babab，进而根据1ab代换，然后得到答案；对 D，将原式变化为22221 121abab，进而化简，然后设2,1satb，而后用114st进行代换，最后用基本不等式得到答案.【详解】因为a，b均为正实数，且1ab，对 A,2124abab，当且仅当12ab时取“=”，正确；对 B，22222222 22abbbbabaabababab，当且仅当221,22baabab时取“=”，错误；对 C，2222222221111121555255525aba baba babab 2221211115525555a babab，当且仅当15ab 时取“=”，正确；对 D，2222221 1412412212121abababababab 41221ab，设2,14satbst ，答案第 6 页，共 13 页 则上式1 41141412525224444tst sstststst，当且仅当21=2,33stab时取“=”，正确；故选：ACD.13,2（答案不唯一）【分析】根据全称命题为真命题等价转化为不等式恒成立问题，再利用二次函数的性质及充分不必要条件的定义即可求解.【详解】由“12x，230 xa”为真命题，等价于23ax在1,2上恒成立，所以2min3ax，1,2x即可.设2()3f xx，1,2x，则 由二次函数的性质知，对称轴为0 x，开口向上，所以()f x在1,2上单调递增.当1x 时，()f x取得最小值为2(1)3 13f，即3a，所以3a的一个充分不必要条件是,3的真子集，则2a 满足条件.故答案为：,2（答案不唯一）.14213x 【分析】由 21 2fxxf x 可得 21 2f xfxx，联立消去fx整理求解.【详解】21 2fxxf x ，则 21 2f xfxx 联立 212212fxfxfxxf xx ，消去fx整理得：213f xx 故答案为：213x.1510，30【分析】设矩形的另一边长为y，由三角形相似得出 x，y的关系，再根据矩形的面积公式建立不等式，解之可求得答案.【详解】解：设矩形的另一边长为y，由三角形相似得404040 xy且0,0,40,40 xyxy，答案第 7 页，共 13 页 所以40 xy，又矩形的面积300 xy，所以40300 xx，解得1030 x，所以其一边长 x（单位 m）的取值范围是10，30.故答案为：10，30.162023【分析】根据 1xxx将 f xg x化为 211xxx，对 1x 按三种情况进行分类讨论求得不等式的解集，从而可求得d.【详解】因为 x表示不超过x的最大整数，所以 01xx，即 1xxx，不等式 f xg x即 1xxxx等价于 21x xxx，即 21111xxxxx（*），当 10 x ，即2x 时，不等式（*）化为 1xx，即 1xx，不成立.当 10 x ，即12x时，不等式（*）恒成立.当 10 x ，即1x 时，不等式（*）化为 1xx恒成立.所以不等式 f xg x在区间2021,2021上的解集为2021,2，220212023d .故答案为：2023【点睛】函数新定义的题目，解题关键点是围绕着新定义的概念和运算进行分析.17(1)24xx(2)02aa 【分析】（1）根据补集及交集运算法则计算出答案；（2）根据“xP”是“xQ”的充分不必要条件，得到非空集合 P是 Q 是真子集，得到不等式组，求出实数a的取值范围.（1）因为 P是非空集合，所以211aa，即0a.当 a=3 时，P=x|4x7，R4Px x或7x，25Qxx，所以R24PQxx.答案第 8 页，共 13 页（2）“xP”是“xQ”的充分不必要条件，即非空集合 P是 Q 是真子集，所以12215121aaaa 或12215121aaaa ，解得：02a，即实数 a的取值范围为 02aa.18(1)1,3(2)4 【分析】（1）不等式2y 对一切实数 x 恒成立，即2(1)0mxm xm恒成立，分0m 和0m 两种情况讨论，即可得解；（2）22142541111mmmmmmm，利用基本不等式即可得出答案.（1）解：不等式2y 对一切实数 x恒成立，即2(1)0mxm xm恒成立，当0m 时，0 x 不恒成立；当0m 时，则有220140mmm，解得13m，综上所述，实数 m 的取值范围为1,3；（2）解：2214254412141111mmmmmmmmm，当且仅当411mm，即1m 时，取等号，所以2251mmm的最小值为 4.19(1)2101xf xx；(2)单调递增，证明见解析.答案第 9 页，共 13 页【分析】（1）由题可得 +1=422+2=23a bfa bf即可求出,a b，得到 f x的解析式；（2）根据单调性的定义即可判断证明.（1）由题意，得 +1=422+2=23a bfa bf，即+=82+=6a ba b,解得：=2a，10b 故 2101xf xx（2）方法一：f x在1,上单调递增 证明：1x，21,x ，且12xx，则 21122121212121212101210112210210111111xxxxxxxxf xf xxxxxxx 由211xx，得210 xx，210 x ，10 x，所以 210f xf x，即 21f xf x故 f x在1,上单调递增 方法二：f x在1,上单调递增 证明：1x，21,x ，且12xx，则 211221212121212121212101210121021011111211xxxxxxf xf xxxxxyxxxxxxxxx 由211xx，得210 x ，10 x，所以0yx故 f x在1,上单调递增 20(1),1(2)0,1t 【分析】（1）分离常数后，根据2x在定义域内的取值范围求出函数的值域；答案第 10 页，共 13 页（2）由题意判断函数 g x的单调性，结合题意可知,m n是方程2123ttxx 的两个不相等的正根，进而2310txxt有两个不相等的正根，利用根与系数的关系即可求解（1）2221110 xf xxxx，又20 x，所以210 x，则211,1x，故值域为,1（2）2211111tg xt fxttxx 在0,上单调递增，因为1 1,0,0 xmnm n时，值域为23,23m，所以123123gmmgnn ，22123123ttmmttnn ，所以,m n是方程2123ttxx 的两个不相等的正根，所以2310txxt有两个不相等的正根，所以 94 101030ttttt且0t，解得：01t，所以0,1t 21(1)22120150,0206250101990,20 xxxSxxx 答案第 11 页，共 13 页(2)当年产量为 25 万台时，该企业获得的年利润最大，最大为 1490 万元 【分析】（1）分020 x和20 x 两种情况，由利润=销售收入成本，知()(380150)SxR xx，再代入()R x的解析式，进行化简整理即可，（2）当020 x时，利用配方法求出S的最大值，当20 x 时，利用基本不等式求出S的最大值，比较两个最大值后，取较大的即可（1）当020 x时，()(380150)SxR xx 25002380150 xxx 22120150 xx，当20 x 时，()(380150)SxR xx 62503702140380150 xxx 6250101990 xx，所以年利润S（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式为 22120150,0206250101990,20 xxxSxxx（2）当020 x时，2221201502(30)1650Sxxx ，所以函数S在(0,20上单调递增，所以当20 x时，S取得最大值 1450，当20 x 时，62506250101990(10)1990Sxxxx 62502 10199050019901490 xx ，当且仅当625010 xx，即25x时取等号，此时S取得最大值 1490，因为14901450，所以当年产量为 25 万台时，该企业获得的年利润最大，最大为 1490 万元 22(1)52(2)1,1 答案第 12 页，共 13 页【分析】（1）当1a 时，求出 M x的解析式，作出 M x的图象，由图可知 M x的最小值；（2）求出 M x的解析式，且 f x，g x图象的对称轴分别为直线1x，1x 讨论21a，121a ，21a得出 M x的单调性，即可求出 M x的最小值，解出 M x的最小值小于52时a的取值范围，即可得出答案.（1）由题意可得，当 f xg x时，2222112224022fxg xxxaaxxaaxa，当 f xg x时，2222112224022fxg xxxaaxxaaxa，所以 ,2,2.fxxaM xg xxa 当1a 时，2213,2,211,2.2xxxM xxxx 作出 M x的图象，如图 1：由图可知 M x的最小值为 512f （2）222212,2,212,2,2xxaa xaM xxxaa xa 且 f x，g x图象的对称轴分别为直线1x，1x 如图 2，当21a，即12a 时，M x在,1 上随x的增大而减小，在1,上随答案第 13 页，共 13 页 x的增大而增大，所以 2min1122M xfaa，由215222aa，解得31a，故112a 如图 3，当121a ，即1122a时，M x在,2a 上随x的增大而减小，在2,a上随x的增大而增大，所以 2min23M xfaa，则2532a，解得303066a，故1122a 如图 4，当21a，即12a 时，M x在,1上随x的增大而减小，在1,上随x的增大而增大，所以 2min1122M xgaa，由215222aa，解得13a，故112a 综上，a的取值范围为1,1