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上数学知识点整理 IMB standardization office【IMB 5AB-IMBK 08-IMB 2C】第一单元分数乘法（一）、分数乘法的计算法则：1、分数与整数相乘：分子与整数相乘的积做分子，分母不变。（整数和分母约分）2、分数与分数相乘：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。3、为了计算简便，能约分的要先约分，再计算。注意：当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。（二）、规律：（乘法中比较大小时）一个数（0 除外）乘大于 1 的数，积大于这个数。一个数（0 除外）乘小于 1 的数（0 除外），积小于这个数。一个数（0 除外）乘 1，积等于这个数。（三）、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。（四）、整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也同样适用。乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc)乘法分配律：（a+b）c=ac+bcac+bc=（a+b）c 二、分数乘法的解决问题（如果单位 1 是已知的,要求它的几分之几，就用乘法）1、找单位“1”：在分率句中分率的前面；或“占”、“是”、“比”的后面 2、求一个数的几倍：一个数几倍；求一个数的几分之几是多少：一个数几分之几。3、写数量关系式技巧：（1）“的”相当于“”“占”、“是”、“比”相当于“=”（2）分率前是“的”：单位“1”的量分率=分率对应量（3）分率前是“多或少”的意思：单位“1”的量（1+-分率）=分率对应量 第二单元位置与方向 1 位置是相对的，要指出一个物体的位置，必须以另一个物体为参照物。以谁为参照物，就以谁为观测点。2 东偏北 30。也可说成北偏东 60。，但在生活中一般先说与物体所在方向离得较近（夹角较小）的方位。3 确定一个物体的准确位置，只知道方向或距离是不可以的，要同时知道这两个条件才行。4 根据方向和距离确定物体位置的方法：（1）确定好方向并用量角器测量出被测物体所在的方向（角度）；（2）用直尺测量出被测物体和观测点之间的图上距离，结合单位长度计算出实际距离；（3）根据方向（角度）和距离准确判断或描述被测物体的位置。5 要标出物体的位置必须先确定方向，再确定在这一方向上的距离。6 绘制平面图时，要根据实际距离确定好单位长度，即代表多长距离。7 在平面图上标出物体位置的方法：先确定方向，再以选定的单位长度为基准来确定距离，最后找出物体的具体位置，标上名称。8 描述物体的位置与观测点有关，观测点不同，物体位置的描述就不同。两地的位置具有相对性，方向相反（其夹角度数不变），距离相同。9 两地的位置关系具有相对性，以这；两个不同地点为观测点描述对方所在的方向时，方向正好相反（甲在乙东偏南 30100米，则乙在甲西偏北 30100米）10描述路线图时，要先按行走路线确定每一个观测点，然后以每一个观测点为参照物，再描述到下一个目标所行走的方向和路程。11 在平面图上确定物体的位置与方向关键要做到三点：（1）确定好观测点及单位长度；（2）找准方向；（3）线段上每一段的长度要与单位长度统一。12 以谁为观测点就以谁为中心画出方向标，然后判断出另一点所在的方向和距离 13 绘制路线图的步骤 画出北，确定方向标和单位长度比例尺()确定起点的位置。根据描述，从起点出发，找好方向和距离，一段一段地画。画每一段都要以每一段新的起点为观测点 以谁为观测点，就以谁为中心画出“十字”方向标，然后判断下一点的方向和距离。标出数据、名称、角度。(绘制的路线图只有一条线，所作的线是首尾相连的)第三单元 分数除法 1、倒数的意义：乘积是 1 的两个数互为倒数。强调：互为倒数，即倒数是两个数的关系，它们互相依存，倒数不能单独存在。（要说清谁是谁的倒数）。2、求倒数的方法：（1）、求分数的倒数：交换分子分母的位置。（2）、求整数的倒数：把整数看做分母是1 的分数，再交换分子分母的位置。（3）、求带分数的倒数：把带分数化为假分数，再求倒数。（4）、求小数的倒数：把小数化为分数，再求倒数。3、1的倒数是 1；0没有倒数。因为 11=1；0乘任何数都得 0，（分母不能为 0）4、对于任意数 a(a0)，它的倒数为。非零整数 a的倒数为。分数的倒数是 5、真分数的倒数大于 1；假分数的倒数小于或等于 1；带分数的倒数小于 1。一、分数除法 1、分数除法的意义：分数除法与整数除法的意义相同，表示已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。2、分数除法的计算法则：除以一个不为 0的数，等于乘这个数的倒数。3、规律（分数除法比较大小时）：当除数大于 1，商小于被除数；当除数小于 1（不等于），商大于被除数；当除数等于 1，商等于被除数。4、“”叫做中括号。一个算式里，如果既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。二、分数除法解决问题（已知单位“1”的几分之几是多少，单位“1”的量是要求的问题。就用除法）1、数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：（1）分率前是“的”：单位“1”的量分率=分率对应量（2）分率前是“多或少”的意思：单位“1”的量（1+-分率）=分率对应量 2、解法：（建议：最好用方程解答）（1）方程：根据数量关系式设未知量为，用方程解答。（2）算术（用除法）：分率对应量对应分率=单位“1”的量 3、求一个数是另一个数的几分之几：就一个数另一个数 4、求一个数比另一个数多（少）几分之几：求多几分之几：大数小数1求少几分之几：1-小数大数 或求多几分之几(大数-小数)比后面的数求少几分之几(大数-小数)比后面的数 求的不是单位“1”单位“1”的量对应分率单位“1”的量对应分率 求的是单位“1”分率对应量对应分率分率对应量对应分率 第四单元比和比的应用（一）、比的意义 1、比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。2、在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。例如 15：10=1510=（比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示）前项比号后项比值 3、比可以表示两个相同量的关系，即倍数关系。也可以表示两个不同量的比，得到一个新量。例：路程速度=时间。4、区分比和比值 比：表示两个数的关系，可以写成比的形式，也可以用分数表示。比值：相当于商，是一个数，可以是整数，分数，也可以是小数。5、根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式。6、比和除法、分数的联系：联系（相当于）不同点 三个性质 比 前项 比号：后项（不为0）比值 一种关系 比的基本性质 除法 被除数 除号 除数（不为0）商 一种运算 商不变性质 分数 分子 分数线 分母（不为0）分数值 一个数量 分数的基本性质 7、根据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为 0。体育比赛中出现两队的分是 2：0等，这只是一种记分的形式，不表示两个数相除的关系。（二）、比的基本性质 1、根据比、除法、分数的关系：商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时（0除外），分数值不变。比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)，比值不变。2、最简整数比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数比。3、根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。4.化简比：化简比和求比值的区别 化简比和求比值是两种不同的运算，它们的区别主要表现在以下三点：意义不同 运算方法不同 结果不同 求比值 求比值就是用比的前项除以比的后项 求比值是前项除以比的后项 求比值的结果是一个数 化简比 化简比把两个数的比化成最简整数比 化简 b比是根据比的基本性质运算 化简比的结果是一个比（4）、方法 总结归纳：整数比的化简方法：把比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。小数比的化简方法：先把比的前项和后项同时向右移动相同的位数，变成整数比，再进行化简。.分数比的化简方法：A、把比的前项和后项中含有分数的，把比的前项和后项同时乘它们分母的最小公倍数，变成整数比，再进行化简。.B、利用求比值的方法也可以化简分数比，但结果必须写成比的形式。6、路程一定，速度比和时间比成反比。（如：路程相同，速度比是 4：5，时间比则为5：4）工作总量一定，工作效率和工作时间成反比。（如：工作总量相同，工作时间比是 3：2，工作效率比则是 2：3）第五单元 圆 1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。一般用字母 O表示。它到圆上任意一点的距离都相等 3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母 r表示。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母 d表示。直径是一个圆内最长的线段。5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。6、在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。所有的半径都相等，所有的直径都相等。7在同圆或等圆内，直径的长度是半径的 2倍，半径的长度是直径的 用字母表示为：d2r或 rd 8、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。（经过圆心的任意一条直线或直径所在的直线）9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。这些图形都是轴对称图形。10、只有 1 一条对称轴的图形有：角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。只有 2 条对称轴的图形是：长方形 只有 3 条对称轴的图形是：等边三角形 只有 4 条对称轴的图形是：正方形;有无数条对称轴的图形是：圆、圆环。二、圆的周长 1、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母 C 表示。2、圆周率实验：在圆形纸片上做个记号，与直尺 0刻度对齐，在直尺上滚动一周，求出圆的周长。发现一般规律，就是圆周长与它直径的比值是一个固定数（）。3圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。用字母（pai）表示。（1）、一个圆的周长总是它直径的 3倍多一些，这个比值是一个固定的数。圆周率是一个无限不循环小数。在计算时，一般取。（2）、在判断时，圆周长与它直径的比值是倍，而不是倍。（3）、世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。4、圆的周长公式：C=d 或 C=2r d=Cr=C2 5、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。6、区分周长的一半和半圆的周长：（1）周长的一半：等于圆的周长2 计算方法：2r2 即r（2）半圆的周长：等于圆的周长的一半加直径。计算方法：r2r 三、圆的面积 1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。用字母S 表示。2、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。3、圆面积公式的推导：（1）、用逐渐逼近的转化思想：体现化圆为方，化曲为直；化新为旧，化未知为已知，化复杂为简单，化抽象为具体。（2）、把一个圆等分（偶数份）成的扇形份数越多，拼成的图像越接近长方形。（3）、拼出的图形与圆的周长和半径的关系。圆的半径=长方形的宽 圆的周长的一半=长方形的长 因为：长方形面积=长宽 所以：圆的面积=圆周长的一半圆的半径 S圆=rr 圆的面积公式:S圆=r2 4、环形的面积：一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是 r。（Rr环的宽度）S环=R22 或S环=（R22）5、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。例如：在同一个圆里，半径扩大 3倍，那么直径和周长就都扩大 3 倍，而面积扩大 9 倍。6、两个圆：半径比=直径比=周长比；而面积比等于这比的平方。例如：两个圆的半径比是 23，那么这两个圆的直径比和周长比都是 23，而面积比是 49 7、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，即：4 8、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形面积最小。反之，面积相同时，长方形的周长最长，正方形居中，圆周长最短。三、圆的面积 1、在硬纸上画一个圆，把圆分成若干(偶数)等份,解开后用这些近似于等腰三角形的小纸片拼一拼，分得分数越多，每一份就会越小，拼成的图形就会越接近一个长方形。这个 长方形的长近似于 1/2C，宽近似于 r。因为长方形的面积等于长宽，所以圆的面积等于 1/2Cr=r2。如果用 S 表示圆的面积，那么圆的面积计算公式就是：=r2 2、C 半圆=r+2r 3、环形=（R2-r2）4、部分环形=（R2-r2）/360（表示圆心角度数）、S 扇形=r2/360（表示圆心角度数）、外方内圆：S 圆:S 正方形=157:200S 正方形=4r2、外圆内方：S 圆:S 正方形=157:100S 正方形=2r2、周长相等的长方形、正方形、圆形中，S 圆S 正S 长、两个圆甲和乙：甲 ：乙 半径比 ：b 直径比 ：b 周长比 ：b 面积比 a2：b2 四、确定起跑线 相邻跑道起跑线相差=跑道宽2 圆周率倍数表 1=2=3=4=5=6=7=8=9=10=11=12=14=15=16=18=19=20=24=25=24=28=36=64=12=22=32=42=52=62=72=82=92=102=314 152=202=1256 252=C 长=(a+b)2a=C2-bb=C2-a C 正=a4a=C4 S 长=aba=Sbb=Sa S 正=aaS 圆=r2 C 圆=dC 圆=2rr=d2d=Cr=C2 圆周长的一半=rr=圆周长的一半半圆周长=(+2)r r=半圆周长(+2)S 环=(R22)L弧=rC 扇=r+2rS 扇=r2 12、常用平方数结果 112=121122=144132=169142=196152=225 162=256172=289182=324192=361202=400 第六单元百分数（一）一、百分数的意义和写法 1、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。百分数是指两个数的比，因此也叫百分率或百分比。2、千分数：表示一个数是另一个数的千分之几。3、百分数和分数的主要联系与区别：（1）联系：都可以表示两个量的倍比关系。（2）区别：、意义不同：百分数只表示两个数的倍比关系，不能表示具体的数量，所以不能带单位；分数既可以表示具体的数，又可以表示两个数的关系，表示具本数时可以带单位。、百分数的分子可以是整数，也可以是小数；分数的分子不能是小数，只能是除 0以外的自然数。4、百分数的写法：通常不写成分数形式，而在原来分子后面加上“”来表示。二、百分数和分数、小数的互化 （一）百分数与小数的互化：1、小数化成百分数：把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。2.百分数化成小数：把小数点向左移动两位，同时去掉百分号。（二）百分数的和分数的互化 1、百分数化成分数：先把百分数化成分数，先把百分数改写成分母是否 100的分数，能约分要约成最简分数。2、分数化成百分数：用分数的基本性质，把分数分母扩大或缩小成分母是 100的分数，再写成百分数形式。先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再把小数化成百分数。（三）常见的分数与小数、百分数之间的互化=50%=25%=75%=20%=40%=60%=80%=%=%=%=%=%=5=4=2 三、用百分数解决问题（一）一般应用题 1、常见的百分率的计算方法：合格率=合格产品数/产品总数100%发芽率=发芽种子数/种子总数100%出勤率=出勤人数/总人数100%达标率=达标人数/总人数100%成活率=成活数量/总数量100%出粉率=粉的重量/出粉物的重量100%出米率=米的数量/出米物的重量出油率=油的重量/出油物的重量数100%烘干率=烘干后的重量/烘干前的重量100%含水率=(烘干前的重量-烘干后的重量)/烘干前的重量100%含水率=(水的质量/水与物体的总质量)100%含糖率=糖的重量/糖水的重量 100%含盐率=盐的重量/盐水的重量100%近视率=近视人数/总人数100%命中率=命中的次数/投篮次数100%百分率表示两个数的比，是没有单位名称的 一般来讲，出勤率、成活率、合格率、正确率能达到 100%，出米率、出油率达不到100%，完成率、增长了百分之几等可以超过 100%。（一般出粉率在 70、80%，出油率在30、40%。）2、已知单位“1”的量，求单位“1”的百分之几是多少的问题（用乘法）：数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：（1）分率前是“的”：单位“1”的量分率=分率对应量（2）分率前是“多或少”的意思：单位“1”的量（1+-分率）=分率对应量 3、未知单位“1”的量（用除法），已知单位“1”的百分之几是多少，求单位“1”。解法：（建议：最好用方程解答）（1）方程：根据数量关系式设未知量为，用方程解答。（2）算术（用除法）：分率对应量对应分率=单位“1”的量 4、求一个数比另一个数多（少）百分之几的问题：两个数的相差量单位“1”的量100%求多几分之几(大数-小数)比后面的数 求少几分之几(大数-小数)比后面的数 第七单元扇形统计图 一、扇形统计图的意义：用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间的关系。也就是各部分数量占总数的百分比（因此也叫百分比图）。二、常用统计图的优点：1、条形统计图：可以清楚的看出各种数量的多少。2、折线统计图：不仅可以看出各种数量的多少，还可以清晰看出数量的增减变化情况。3、扇形统计图：能够清楚的反映出各部分数量同总数之间的关系。三、扇形的面积大小：在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形越大。（因此扇形面积占圆面积的百分比，同时也是该扇形圆心角度数占圆周角度数的百分比。）补充：高级单位化低级单位：高级单位的数它们之间的进率 低级单位聚高级单位：低级单位的数它们之间的进率 长度单位换算 kmmdmcmmm 1 千米=1000米 1 米=10 分米 1 分米=10 厘米 1 米=100 厘米 1 厘米=10 毫米 面积单位换算 km2m2dm2cm2mm2 1 平方千米=100公顷 1 公顷=10000平方米 1 平方米=100平方分米 1 平方分米=100平方厘米 1 平方厘米=100平方毫米 体(容)积单位换算 LmLm3dm3cm3 1 立方米=1000立方分米 1 立方分米=1000立方厘米 1 升=1000 毫升 1 立方米=1000升 1 立方分米=1升 1 立方厘米=1毫升 质量单位换算 tk 1 吨=1000千克 1 千克=1000 克 1 千克=1公斤 人民币单位换算 1 元=10角 1 角=10分 1 元=100分 时间单位换算 hmins 1 世纪=100年 1 年=12 月大月(31 天)有:135781012 月小月(30 天)的有:46911月 平年 2 月 28天,闰年 2月 29 天平年全年 365 天,闰年全年 366天 1 日=24小时 1 时=60 分 1 分=60 秒 1 时=3600 秒