第八章电磁感应电磁场习题解答感生电场习题.pdf

第八章电磁感应 电磁场习题解答 8 6 一铁心上绕有线圈100匝,已知铁心中磁通量与时间的关系为58.0 10sin100(Wb)t,求在21.0 10st 时,线圈中的感应电动势 分析 由于线圈有N 匝相同回路,线圈中的感应电动势等于各匝回路的感应电动势的代数和,在此情况下,法拉第电磁感应定律通常写成ddddNtt ,其中N 称为磁链 解 线圈中总的感应电动势 d2.51cos(100)dNtt 当21.0 10st 时,2.51V 8 7 有两根相距为d 的无限长平行直导线,它们通以大小相等流向相反的电流,且电流均以dIdt 的变化率增长若有一边长为d 的正方形线圈与两导线处于同一平面内,如图所示求线圈中的感应电动势 分析 本题仍可用法拉第电磁感应定律ddt 来求解由于回路处在非均匀磁场中,磁通量就需用=SdBS来计算其中B 为两无限长直电流单独存在时产生的磁感强度B1 与B2 之和 为了积分的需要,建立如图所示的坐标系 由于B 仅与x 有关,即()BB x,故取一个平行于长直导线的宽为x、长为d 的面元S,如图中阴影部分所示,则ddSd x,所以,总磁通量可通过线积分求得若取面元dd dySx,则上述积分实际上为二重积分本题在工程技术中又称为互感现象,也可用公式ddMlEMt 求解 解1 穿过面元S 的磁通量为 0012dddddd2()2=d xd xxdxBS=BS+BS=因此穿过线圈的磁通量为 220003ddd2()224=dddddddxxlnxdx 再由法拉第电磁感应定律,有 0d3 dI=d24 ddlntt 解2 当两长直导线有电流I 通过时,穿过线圈的磁通量为 0324=dIln 线圈与两长直导线间的互感为 0324=dMlnI 当电流以ddIt 变化时,线圈中的互感电动势为 0d3d24dIMlnt 8 10 如图所示,把一半径为R 的半圆形导线OP 置于磁感强度为B的均匀磁场中,当导线以速率v 水平向右平动时,求导线中感应电动势E 的大小,哪一端电势较高 分析 本题及后面几题中的电动势均为动生电动势,除仍可由ddt 求解外必须设法构造一个闭合回路,还可直接用公式()dlvBl求解 在用后一种方法求解时,应注意导体上任一导线元l 上的动生电动势d()dvBl.在一般情况下,上述各量可能是l 所在位置的函数 矢量v B的方向就是导线中电势升高的方向 解1 如图所示,假想半圆形导线OP 在宽为2R 的静止形导轨上滑动,两者之间形成一个闭合回路设顺时针方向为回路正向,任一时刻端点O 或 端点P 距 形导轨左侧距离为x,则 2122RxRB=即 dd2ddxvRBR Btt 由于静止的 形导轨上的电动势为零,则 2RvB式中负号表示电动势的方向为逆时针,对OP 段来说端点P 的电势较高 解2 建立如图c所示的坐标系,在导体上任意处取导体元l,则 d()dsin90 cos dcosdvvBlBR lvBl=/2/2=dcos d2vvBRR B 由矢量v B的指向可知,端点P 的电势较高 解3 连接OP 使导线构成一个闭合回路由于磁场是均匀的,在任意时刻,穿过回路的磁通量=BS常数.由法拉第电磁感应定律ddt 可知,0 又因 OP PO 即 OP PO 2RvB 由上述结果可知,在均匀磁场中,任意闭合导体回路平动所产生的动生电动势为零；而任意曲线形导体上的动生电动势就等于其两端所连直线形导体上的动生电动势 上述求解方法是叠加思想的逆运用,即补偿的方法 8 12 如图所示,长为L 的导体棒OP,处于均匀磁场中,并绕OO轴以角速度旋转,棒与转轴间夹角恒为,磁感强度B 与转轴平行求OP 棒在图示位置处的电动势 分析 如前所述,本题既可以用法拉第电磁感应定律ddt 计算此时必须构造一个包含OP导体在内的闭合回路,如直角三角形导体回路OPQO,也可用()dlvBl来计算由于对称性,导体OP 旋转至任何位置时产生的电动势与图示位置是相同的 解1 由上分析,得()dOPOPvBl cosdlBsin90lv)cos()dlB90l(lsin 2201d(sin)2LBl lB Lsin 由矢量()Bv的方向可知端点P 的电势较高 解2 设想导体OP 为直角三角形导体回路OPQO 中的一部分,任一时刻穿 过回路的磁通量为零,则回路的总电动势 ddOPPQQOt 显然,QO 0,所以 21()2OPPQQPB PQ 由上可知,导体棒OP 旋转时,在单位时间内切割的磁感线数与导体棒QP 等效后者是垂直切割的情况 8 13 如图所示,金属杆AB 以匀速12.0m sv平行于一长直导线移动,此导线通有电流I 40A求杆中的感应电动势,杆的哪一端电势较高 分析 本题可用两种方法求解1 用公式()dlE Blv求解,建立图a所示的坐标系,所取导体元ddlx=,该处的磁感强度02=IBx2 用法拉第电磁感应定律求解,需构造一个包含杆AB 在内的闭合回路 为此可设想杆AB在一个静止的形导轨上滑动,如图所示 设时刻t,杆AB 距导轨下端CD的距离为y,先用公式dSBS求得穿过该回路的磁通量,再代入公式ddt,即可求得回路的电动势,亦即本题杆中的电动势 解1 根据分析,杆中的感应电动势为 1.15000.1()ddln113.84 10V22vvmABABmIIElx=x vB=式中负号表示电动势方向由B 指向A,故点A 电势较高 解2 设顺时针方向为回路ABCD 的正向,根据分析,在距直导线x 处,取宽为x、长为y 的面元S,则穿过面元的磁通量为 0ddd2=Iy xxBS=穿过回路的磁通量为 1.1000.1dydln1122=mSmIIyx=x 回路的电动势为 500dd=ln11=3.84 10Vd2d2vIIytxt=由于静止的形导轨上电动势为零,所以 53.84 10VAB 式中负号说明回路电动势方向为逆时针,对AB 导体来说,电动势方向应由B 指向A,故点A 电势较高 8 17 半径为R 2.0 cm 的无限长直载流密绕螺线管,管内磁场可视为均匀磁场,管外磁场可近似看作零若通电电流均匀变化,使得磁感强度B 随时间的变化率dBdt 为常量,且为正值,试求：1 管内外由磁场变化激发的感生电场分布；2 如10.010T sdBdt,求距螺线管中心轴r 50 cm处感生电场的大小和方向 分析 变化磁场可以在空间激发感生电场,感生电场的空间分布与场源变化的磁场包括磁场的空间分布以及磁场的变化率dBdt 等密切相关,即kSSddt BElS.在一般情况下,求解感生电场的分布是困难的 但对于本题这种特殊情况,则可以利用场的对称性进行求解无限长直螺线管内磁场具有柱对称性,其横截面的磁场分布如图所示由其激发的感生电场也一定有相应的对称性,考虑到感生电场的电场线为闭合曲线,因而本题中感生电场的电场线一定是一系列以螺线管中心轴为圆心的同心圆若电场线是其他类型的曲线则与其对称性特点不符,同一圆周上各点的电场强度Ek 的大小相等,方向沿圆周的切线方向图中虚线表示r R和r R 两个区域的电场线 电场线绕向取决于磁场的变化情况,由楞次定律可知,当0dBdt时,电场线绕向与B 方向满足右螺旋关系；当0dBdt 时,电场线绕向与前者相反 解 如图所示,分别在r R 和r R 的两个区域内任取一电场线为闭合回路l半径为r 的圆,依照右手定则,不妨设顺时针方向为回路正向 1 r R,2kkddBdE2 r=drdtdt ElBS 2kr dBEdt r R,22kkddBdErdRdtdt ElBS 22kR dBEr dt 由于0dBdt,故电场线的绕向为逆时针 2 由于r R,所求点在螺线管外,因此 22kR dBEr dt 将r、R、dBdt 的数值代入,可得514.0 10V mkE ,式中负号表示Ek的方向是逆时针的 8 18 在半径为R 的圆柱形空间中存在着均匀磁场,B 的方向与柱的轴线平行如图所示,有一长为l 的金属棒放在磁场中,设B 随时间的变化率dBdt为常量试证：棒上感应电动势的大小为 分析 变化磁场在其周围激发感生电场,把导体置于感生电场中,导体中的自由电子就会在电场力的作用下移动,在棒内两端形成正负电荷的积累,从而产生感生电动势 由于本题的感生电场分布与上题所述情况完全相同,故可利用上题结果,由kdEl 计算棒上感生电动势此外,还可连接OP、OQ,设想PQOP 构成一个闭合导体回路,用法拉第电磁感应定律求解,由于OP、OQ 沿半径方向,与通过该处的感生电场强度Ek 处处垂直,故0kdEl=,OP、OQ 两段均无电动势,这样,由法拉第电磁感应定律求出的闭合回路的总电动势,就是导体棒PQ 上的电动势 证1 由法拉第电磁感应定律,有 22()22PQddBdB llSRdtdtdt=证2 由题 17可知,在r R 区域,感生电场强度的大小2kr dBEdt 设PQ 上线元x 处,Ek的方向如图b所示,则金属杆PQ 上的电动势为 22022(/2)cos222lPQkRlr dBEdxdxdtrdB llRdt 讨论 假如金属棒PQ 有一段在圆外,则圆外一段导体上有无电动势 该如何求解 8 23 如图所示,一面积为4.0 cm2 共50 匝的小圆形线圈A,放在半径为20 cm 共100 匝的大圆形线圈B 的正中央,此两线圈同心且同平面 设线圈A 内各点的磁感强度可看作是相同的求：1 两线圈的互感；2 当线圈B 中电流的变化率为50 A1 时,线圈A 中感应电动势的大小和方向 分析 设回路中通有电流I1,穿过回路的磁通量为21,则互感M M21 21I1；也可设回路通有电流I2,穿过回路的磁通量为12,则12122MMI 虽然两种途径所得结果相同,但在很多情况下,不同途径所涉及的计算难易程度会有很大的不同以本题为例,如设线圈B 中有电流I 通过,则在线圈A 中心处的磁感强度很易求得,由于线圈A 很小,其所在处的磁场可视为均匀的,因而穿过线圈A 的磁通量BS反之,如设线圈A 通有电流I,其周围的磁场分布是变化的,且难以计算,因而穿过线圈B 的磁通量也就很难求得,由此可见,计算互感一定要善于选择方便的途径 解 1 设线圈B 有电流I 通过,它在圆心处产生的磁感强度002BIBNR穿过小线圈A 的磁链近似为 002AAAABAIN B SN NSR 则两线圈的互感为 606.28 10H2AAABSMN NIR 243.14 10VAdIMdt 互感电动势的方向和线圈B 中的电流方向相同 8 24 如图所示,两同轴单匝线圈A、C 的半径分别为R 和r,两线圈相距为d若r很小,可认为线圈A 在线圈C 处所产生的磁场是均匀的 求两线圈的互感 若线圈C 的匝数为N 匝,则互感又为多少 解 设线圈A 中有电流I 通过,它在线圈C 所包围的平面内各点产生的磁 感强度近似为 20223/22()IRBRd 穿过线圈C 的磁通为 220223/22()CIRBSrRd 则两线圈的互感为 220223/22()r RMIRd 若线圈C 的匝数为N 匝,则互感为上述值的N 倍 8 26 一个直径为0.01 m,长为0.10 m 的长直密绕螺线管,共1 000 匝线圈,总电阻为 求：1 如把线圈接到电动势E V 的电池上,电流稳定后,线圈中所储存的磁能有多少 磁能密度是多少2 从接通电路时算起,要使线圈储存磁能为最大储存磁能的一半,需经过多少时间 分析 单一载流回路所具有的磁能,通常可用两种方法计算：1 如回路自感为L已知或很容易求得,则该回路通有电流I 时所储存的磁能212mWLI,通常称为自感磁能2 由于载流回路可在空间激发磁场,磁能实际是储存于磁场之中,因而载流回路所具有的能量又可看作磁场能量,即mmVWw dV,式中mw 为磁场能量密度,积分遍及磁场存在的空间由于22mBw,因而采用这种方法时应首先求载流回路在空间产生的磁感强度B 的分布 上述两种方法还为我们提供了计算自感的另一种途径,即运用212mVLIw dV 求解L 解 1 密绕长直螺线管在忽略端部效应时,其自感2N SLl,电流稳定后,线圈中电流EIR,则线圈中所储存的磁能为 22250213.28 10J22mN SEWLIlR 在忽略端部效应时,该电流回路所产生的磁场可近似认为仅存在于螺线管中,并为均匀磁场,故磁能密度mw 处处相等,34.17J mmmWwSL 2 自感为L,电阻为R 的线圈接到电动势为E 的电源上,其电流变化规律(1)RtLIeR,当电流稳定后,其最大值mIR 按题意12211 122 2mLILI,则22IR,将其代入(1)RtLIeR中,得 42ln 1ln(22)1.56 10s2LLtRR 8 31 设有半径R 0.20 m 的圆形平行板电容器,两板之间为真空,板间距离d 0.50 cm,以恒定电流I 2.0 A 对电容器充电求位移电流密度忽略平板电容器的边缘效应,设电场是均匀的 分析 尽管变化电场与传导电流二者形成的机理不同,但都能在空间激发磁场从这个意义来说,变化电场可视为一种“广义电流”,即位移电流在本题中,导线内存在着传导电流Ic,而在平行板电容器间存在着位移电流Id,它们使电路中的电流连续,即dcII 解 忽略电容器的边缘效应,电容器内电场的空间分布是均匀的,因此板间位移电流2ddddSIjRjS,由此得位移电流密度的大小 22215.9A mdcdIIjRR