福建省龙岩市武平一中长汀一中漳平一中等六校2017_2018学年高二数学下学期期中试题理6892.pdf

.XX 省 XX 市武平一中、长汀一中、漳平一中等六校 2017-2018 学年高二数学下学期期中试题 理 考试时间：120 分钟 总分：150 分 第 I 卷选择题,共 60 分 一、选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求。1.复数2)12(i=A.i B.i C.1 i D.1 i 2设()f x是可导函数,当0h时,2)()(00hxfhxf则)(0 xf=A.2 B.21 C.-2 D.21 3.所有 9 的倍数都是 3 的倍数,某奇数是 9 的倍数,故某奇数是 3 的倍数.上述推理 A.大前提错 B.小前提错 C.结论错 D.正确 4.某天某校的校园卫生清扫轮到高二班,该班劳动委员把班级同学分为 5 个劳动小组,该校共有 A、B、C、D 四个区域要清扫,其中 A、B、C 三个区域各安排一个小组,D 区域安排 2 个小组,则不同的安排方法共有 A240 种 B.150 种 C.120 种 D.60 种 5.已知函数)()(2Raaaxxxf,求证：|)1(|f与|)2(|f中至少有一个不小于21。用反证法证明这个命题时,下列假设正确的是 A.假设21|)1(|f且21|)2(|f;B.假设21|)1(|f且21|)2(|f;C.假设|)1(|f与|)2(|f中至多有一个不小于21;D.假设|)1(|f与|)2(|f中至少有一个不大于21.6.由抛物线xy 2与直线2 xy所围成的图形的面积是 A.4 B.29 C.5 D.631 7.已知函数)(xf xy的图象如图 1 所示,其中)(xf 是函数)(xf的导函数,则函数)(xfy 的大致图象可以是 图1 B A.8.关于函数36931)(3xxxf,有下列说法：它的极大值点为-3,极小值点为 3；它的单调递减区间为-2,2；方程()f xa有且仅有 3 个实根时,a的取值范围是18,54.其中正确的说法有 个 A.0 B.1 C.2 D.3 9.已知定义在R上的函数)(xf,其导函数为)(xf,若1)()(xfxf,2)0(f,则不等式1)(xexf的解集是 A.B.C.0,+D.1,+10.有一个偶数组成的数阵排列如下：2 4 8 14 22 32 6 10 16 24 34 C.12 18 26 36 20 28 38 30 40 42 则第 20 行第 4 列的数为 A.546 B.540 C.592 D.598 11一只小青蛙位于数轴上的原点处,小青蛙每一次具有只向左或只向右跳动一个单位或者两个单位距离的能力,且每次跳动至少一个单位.若小青蛙经过 5 次跳动后,停在数轴上实数 2 位于的点处,则小青蛙不同的跳动方式共有种.A.105 B.95 C.85 D.75 12.已知1122(,)(,)A x yB xy、是函数2ln()xf xx与3()ag xx图像上两个不同的交点,则12()f xx的取值范围为 A.1(0,)2e B.22(ln,0)4ee C.221(ln,)42eee D.22(ln,)4ee 第 II 卷非选择题,共 90 分 二、填空题：本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.130211x dx_.14甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说：我没去过C城市；乙 说：我去过的城市比甲多,但没去过B城市；丙说：我们三人去过同一城市.由此可判断甲去过的城市为 15若三角形的周长为l、内切圆半径为r、面积为s,则有12slr.根据类比思想,若四面体的表面积为s、内切球半径为r、体积为V,则有V=_.16.对于曲线4()1xf xe其中e为自然对数的底数上任意一点处的切线1l,总存在在曲线221()ln2g xaxxxx上 一 点 处 的 切 线2l,使 得1l2l,则 实 数a的 取 值 范 围是_.三、解答题：本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.本题满分 10 分 已知复数22(232)()kkkk ikR在复平面内所对应的点在第二象限,求 k 的取值范围；已知4z是纯虚数,且|32(5)2(1)zzz,求复数z.18 本题满分 12 分某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y与销售价格x满足关系式210(8)5ayxx,其中58x,a为常数已知销售价格为 7 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克 求a的值；若该商品的成本为 5 元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大 19.本小题满分 12 分 已知函数21()()ln(2)2f xax fx()aR,()fx为()f x的导数.（1）若曲线()yf x在点11(,()22f处的切线方程为20 xy,求a的值；（2）已知2a ,求函数()f x在区间1,2 2e上的最大值与最小值.20.本小题满分 12 分 已知函数01()21xfxx,设()nfx为1()nfx的导数,nN.（1）求1()f x、2()fx、3()fx、4()fx的表达式;（2）猜想()nfx的表达式,并证明你的结论.21 本题满分 12 分已知函数()xf xeax()xR 若()f x的极小值为0,求a的值；若对任意0 x,都有21()12f xx 恒成立,求实数a的取值范围；22 本题满分 12 分函数2()(21)ln2.af xaxxx 讨论()f x的单调性;若()f x有三个零点,求a的取值范围.答案 112 ACDDB BACCA AB 13.14 14.A 15.13sr 16.2,1e 17.解：依题意得.0023222kkkk，2 分 即12201.kkk，或4 分 102k或12k.5 分 依题意设4()zbi bR,6 分 则4()zbi bR,4()zbi bR,7 分|32(5)2(1)zzz,|4|5bi8 分 3b ,9 分 43zi 10 分 18解：因为7x时,11y,所以11102a,2a.3 分 由1 知,该商品每日的销售量2210(8)5yxx,.所以商场每日销售该商品所获得的利润 222()(5)10(8)2 10(5)(8)(58)5f xxxxxxx6 分 2()10(8)2(5)(8)30(6)(8)fxxxxxx8 分 于是,当x变化时,)(xf,)(xf的变化情况如下表：x 5,6 6 )(xf 0 )(xf 单调增 极大值 单调减 10 分 由上表可得,x6 是函数)(xf在区间内的极大值点,也是最大值点所以,当x6 时,函数)(xf取得最大值,且最大值等于 42.所以,当销售价格为 6 元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大12 分 19.解：121()()ln(2)2f xax fx,11()2()2fxaxfx,11()()222faf.2 分 曲线()yf x在点11(,()22f处的切线方程为20 xy,1()2,2f 从而有222a ,解得2a.4 分 22a 时,21()2()ln(2)2fxx fx,11()4()2fxx fx,从而11()2()222ff 得12()23f,7 分 81()3xfxx=2833xx=668()()443xxx9 分 当16,24x时,()0fx,()fx为增函数；当x6,42e时,()0fx,()fx为减函数.10 分 所以max()fx=()fx极大值=6()4f=16ln22.11 分 又1()2f=13,()2ef=213e,21133e ,.min()fx=213e12 分 20.解：11()f x=021()(21)fxx；2()fx=2133(1)2 24()(21)(21)fxxx,323244(1)21 2 324()()(21)(21)fxfxxx ,434355(1)21 2 3 4192()()(21)(21)fxfxxx .4 分注：结果没化简不扣分 猜想()nfx=11(1)2!(21)nnnnx()nN.6 分注：猜想结果用连乘式表示不扣分 证明如下：1当1n 时,由1 知结论正确；7 分 2假设nkkN时,结论正确,即11(1)2!()(21)kkkkkfxx.8 分 则当1nk时,1()kfx()kfx=12(1)2!(1)2(21)kkkkkx =12(1)(1)!2(21)kkkkx,所以当1nk时,结论也正确.11 分 由1,2得,nN,()nfx=11(1)2!(21)nnnnx均成立.12 分 21解：()xfxea1 分 当0a 时,()0fx恒成立,()f x无极值；2 分 当0a 时,由()0fx得lnxa,并且 当(,ln)xa 时,()0fx；当(ln,)xa时,()0fx.所以,当lnxa时,()f x取得极小值；3 分 依题意,(ln)0fa,ln0aaa,又0a,ae；4 分.综上,ae.5 分 令21()()(1)2g xf xx,则21()12xg xexax,()xg xexa.6 分 令()()h xg x,则当0 x 时,()10 xh xe,()g x单调递增,()(0)1g xga.7 分 当1a 时()10g xa,()g x在(0,)上单调递增,()(0)0g xg；所以,当1a 时,21()12f xx 对任意0 x 恒成立；9 分 当1a 时,(0)10ga,()22(2)0ag aeaeaaea,所以,存在0(0,)xa,使0()0g x此处用当x时()g x,存在0(0,)x,使0()0g x证明,扣1分,并且,当0(0,)xx时,()0g x,()g x在0(0,)x上单调递减,所以,当0(0,)xx时,()(0)0g xg,所以,当1a 时,21()12f xx 对任意0 x 不恒成立；11 分 综上,a的取值范围为(,1.12 分 22解：2222212(21)2(1)(2)()1aaxaxaxxafxxxxx(0)x 1 分 若0a,则,当(0,1)x时,()0fx,()f x单调递减；当(1,)x时,()0fx,()f x单调递增.2 分 若12a ,则(0,)x,()0fx仅(1)0f,()f x单调递增.3 分 若102a,则021a,当(0,2)xa或(1,)x时,()0fx,()f x单调递增；当(2,1)xa 时,()0fx,()f x单调递减.4 分 若12a ,则21a,当(0,1)x或(2,)xa 时,()0fx,()f x单调递增；当(1,2)xa时,()0fx,()f x单调递减.5 分 法一：由知,当0a 时,()f x至多有两个零点.6 分 由知,当12a 时,()f x至多有一个零点.7 分.若102a,则要使()f x有三个零点,必须有(2)0(1)0faf成立,由(1)0f,得32a ,这与102a矛盾,所以()f x不可能有三个零点.8 分 若12a ,则要使()f x有三个零点,必须有(1)0(2)0ffa成立,由(1)0f,得32a ,由(2)(21)ln(2)10faaa及12a ,得2ea ,322ea.10分 并且,当322ea 时,2201,2,eea 22222()42(2)4(2)41 50f eea eee ee,22222222()2(2)3(2)6370f eea eeeeee.注：此处用极限说明,扣 1 分 综上,使()f x有三个零点的a的取值范围为3(,)22e.12 分 法二：由()0f x,得ln221lnxxaxx,令ln2()1lnxxh xxx,则2(1)(1)(ln1)()(0)(1ln)xxxh xxxx ,7 分 当(0,1)x或(,)xe时,()0h x,()h x单调递减；当(1,)xe时,()0h x,()h x单调递增；所以,当1x 时,()h x取得极小值,极小值为(1)3h,当xe时,()h x取得极大值,极大值为()h ee；9 分 并且2201,7,eee 1222(4)5()122eh eeee ,22222(36)()322eeh eee.注：此处用极限说明,扣 1 分 综上可知,当2(3,)ae 时,直线2ya与曲线()yh x恰有三个不同的交点.11 分 所以,使()f x有三个零点的a的取值范围为3(,)22e.12 分