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分式方程竞赛题 标准化管理部编码-99968T-6889628-J68568-1689N 第一讲 分式方程(组)的解法 分母中含有未知数的方程叫分式方程解分式方程的基本思想是转化为整式方程求解，转化的基本方法是去分母、换元，但也要灵活运用，注意方程的特点进行有效的变形变形时可能会扩大(或缩小)未知数的取值范围，故必须验根 例 1 解方程 解 令yx22x8，那么原方程为 去分母得 y(y15x)(y9x)(y15x)y(y9x)0，y24xy45x20，(y5x)(y9x)0，所以 y9x或y5x 由y9x得x22x89x，即x27x80，所以x11，x28；由y5x，得x22x85x，即x27x80，所以x38，x41 经检验，它们都是原方程的根 例 2 解方程 224727218014xxxxxx272724xxx180 解 设y241xxx，则原方程可化为y72y180 y218y720，所以 y16 或y212 当y6 时，24=61xxx，x24x6x6，故x22x60，此方程无实数根 当y12 时，24=121xxx，x24x12x12，故x28x120,故x28x120，所以 x12 或x26 经检验，x12，x26 是原方程的实数根 例 3 解方程 分析与解 我们注意到：各分式的分子的次数不低于分母的次数，故可考虑先用多项式除法化简分式原方程可变为 25231+(3)201322xxxxx，整理得 253201232xxxxx，去分母、整理得 x90，x9 经检验知，x9 是原方程的根 例 4 解方程 1625+=2736xxxxxxxx 分析与解 方程中各项的分子与分母之差都是 1，根据这一特点把每个分式化为整式和真分式之和，这样原方程即可化简原方程化为 111111112736xxxx ，即 11=(6)(7)(2)(3)xxxx，所以(x6)(x7)(x2)(x3)解得x92 经检验x92是原方程的根 例 5 解方程 11111+=(1)(1)(9)(10)12x xx xxx 分析与解 注意到方程左边每个分式的分母中两个一次因式的差均为常数 1，故可考虑把一个分式拆成两个分式之差的形式，用拆项相消进行化简原方程变形为 111111111191012xxxxxx，整理得 去分母得 x29x220，解得 x12，x211 经检验知，x12，x211 是原方程的根 例 6 解方程 分析与解 分式方程如比利式abcd，且本题分子与分母的一次项与常数项符号相反，故可考虑用合比定理化简原方程变形为 222222(232)(232)(253)(253)=232253xxxxxxxxxxxx，222244=232253xxxxxx，所以 x0 或 2x23x22x25x3 解得x0 或x18 经检验，x0 或x18都是原方程的根 例 7 解方程 分析与解 形式与上例相似本题中分子与分母只是一次项的符号相反，故可考虑用合分比定理化简原方程变形为 即226222=88xxxx 当x0 时，解得x1 经检验，x1 是原方程的根，且x0 也是原方程的根 说明 使用合分比定理化简时，可能发生增根和失根的现象，需细致检验 像11xaxa这类特殊类型的方程可以化成一元二次方程，因而至多有两个根显然a1时，x1a与x21a就是所求的根例如，方程1133xx，即1133xx，所以x13，x213 例 8 解方程 解 将原方程变形为 22221123+=+1132xxxxxx，设2211xxyx，则原方程变为3212332yy 解得123y，232y 当2212=13xxx时，352x；当2213=12xxx时，x1；经检验x1 及x352 均是原方程的根 例 9 解关于x的方程 1+=22axbxbxax 解 设yaxbx，则原方程变为1122yy 所以y12 或y212 由=2axbx，得x1a2b；由1=2axbx，得x2b2a 将x1a2b或x2b2a代入分母bx，得ab或 2(ba)，所以，当ab时，x1a2b及x2b2a都是原方程的根当ab时，原方程无解 例 10 如果方程 只有一个实数根，求a的值及对应的原方程的根 分析与解 将原方程变形，转化为整式方程后得 2x22x(a4)0 原方程只有一个实数根，因此，方程的根的情况只能是：(1)方程有两个相等的实数根，即 442(a4)0 解得a72此时方程的两个相等的根是x1x212 （2）方程有两个不等的实数根，而其中一根使原方程分母为零，即方程有一个根为 0 或2（i）当x0 时，代入式得a40，即a4这时方程的另一个根是x1(因为 2x22x0，x(x1)0，x10 或x21而x10 是增根)它不使分母为零，确是原方程的唯一根（ii）当x2 时，代入式，得 2422(a4)0，即a8这时方程的另一个根是x1(因为 2x22x40(x2)(x1)0，所以x12(增根)，x21)它不使分母为零，确是原方程的唯一根 因此，若原分式方程只有一个实数根时，所求的a的值分别是 72，4，8，其对应的原方程的根一次为12，1，1 练习一 1填空：（1）方程111082xx的一个跟是 10，则另一个跟是_（2）如果方程21=1xbxmaxcm有等值异号的根，那么m_ （3）如果关于x的方程222151+=1kkxxxxx有增根x1，则k_（4）方程11 10+=113xxxx的根是_ 2解方程 3232453+02252xxxxxxxx 3解方程 332222+=211xxxxxxx 4解方程 2332+=+3223xxxx 5解方程 22222245()20()48()111xxxxxx 6解方程 918+=+2716xxxxxxxx 7m是什么数值时，方程 有根