化归思想在中学数学解题中的应用.pdf

化归思想在中学数学解题中的应用 在新课标中指出，数学是为其他学科提供语言、思想和方法的学科，教师需要帮助学生在自主探究、合作交流的过程中掌握数学知识，促进学生学习经验的增长。化归思想通过对数、式、形的相互转化，对学生发现问题、分析问题和解决问题的能力有着重要作用。对此，教师必须充分结合自身的教学经验，通过化归思想在数学解题中的运用来提高学生的学科综合素养。化归思想是指将一个复杂问题由难化简、由繁化简的思想方法。在中学数学教学中，化归思想又称转换思想或转化思想，即是将学生未知的问题，通过某种转化过程转换为学生们熟知或是容易解决的问题。在本文中，我们将从化归思想在中学数学解题中的实践出发，探究化归思想的高效实施策略。一、化未知为已知，扩展解题思维 新课程理念要求我们掌握辩证唯物主义观念，灵活运用化归思想进行解题。通过化归思想的运用，可以将学生们未知或是不熟悉的问题转换成他们熟悉的问题，并在未知与已知之间建立科学联系，提高学生对数学知识的认识。尤其是在面对一些数学难题时，化归思想就成为了学生们的解题方向，一旦找到合适的转化方法，难题必定将迎刃而解。同时，很多时候学生们说的繁题也可能是学生们没有找到合适的方法，运用了不合适的解题方法。对此，教师必须进行化归思想的教学，帮助学生拓展解题思维。例题 已知圆 O 的半径为 r，试求这个圆的外切直角三角形是怎样的三角形时，可以保证该三角形周长最短，且最短的周长是多少？分析 从本题的已知条件来看，我们只知道圆的半径，与欲求的内切直角三角形周长存在较大差距。对此，我们必须进行化归转化，将学生们未知的周长求解转化成他们所熟悉的三角函数问题。同时，教师必须明确：三角函数法是几何量最值求解的核心方法。于是，教师为学生们绘制了如下的分析图，要求学生尝试利用三角法进行求解。首先，我们画出该圆的外切三角形，然后尝试将圆形半径与三角形周长的关系联系起来。由于 E、F、D 分别是三角形的三个切点，于是可得 BE=BD=rcotSX（B2SX）、AD=AF=rcotSX（A2SX）。再结合“一组邻边相等的矩形为正方形”的结论，我们可以得到 CE=CF=r。综上，我们不妨假设三角形的周长为 y，于是可得 y=2rcotSX（A2SX）+2rcotSX（B2SX）+2r。通过对三角函数的化简可得 JP2y=2r（SX（sinSX（A+B2SX）sinSX（A2SX）sinSX（B2SX）SX）+1）=2r?SX（SX（KF（2KF）2SX）SX（14SX）（2cosSX（A-B2SX）-KF（2KF）SX）+2r。于是可知，当 cosSX（A-B2SX）=1 时，即是 A=B 时，该圆的外切三角形周长最短为 2（3+2KF（2KF）r。如此一来，原本陌生的周长求解问题就变成了三角函数最值问题，实现了化归思想下的未知向已知的转化。二、化函数为图形，提高解题效率 在中学数学训练中，一旦学生们遇到抽象类问题，他们的正确率就会迅速下降。尤其是在数形结合类问题上，很多学生难以合理使用化归思想，给他们的求解和思路造成了阻碍。在新课标中指出，中学几何教学要求学生能够运用图形，进行直观的思考。对此，教师必须通过化归思想的实践教学，化抽象为具体，提高学生对几何图形的认识。例题（2009 年广东）如图 2，已知一次函数 y1=x+m（m为。05 常数）的图象与反比例函数 y2=SX（kxSX）（k为常数，且 k0）的图象相交于点 A（1，3）。（1）求这两个函数的解析式，并写出 B 点坐标；（2）观察图象，直接写出使函数值 y1y2 的自变量取值范围。分析 本题属于中学函数问题，是对一次函数与反比例函数的性质运用题。首先，对于第一问的求解，我们将点 A的坐标代入对应的表达式便可以求得 m=2、k=3，各自的表达式也可求出。再通过两式联立方程组即可求出 B 点的坐标为（-3，-1）。第二问是本题的难点，需要利用化归思想才能求出。若是利用分式不等式进行求解，则超出了中学数学提纲。对此，我们不妨将对应的不等式转化成图形信息进行求解。y1y2 即是 y1 的图象位于 y2 图象的上部，也就是直线位于双曲线上方的部分。于是，我们可以求出对应的自变量取值范围为-3x0 或 x1。在中学函数问题中，常常需要学生将函数与图形进行相互转化，即是数形之间的化归思想。通过化归思想的使用，可以有效地帮助学生提高函数解题效率，深化学生对数形的认识。三、化实例为模型，提高建模意识 数学知识和人们的日常生活密切相关，是人类生产、生活中重要的帮手，可以帮助人们处理数据、分析数据、解决实际问题，从而更加鲜明科学地描述社会现象。在新课改背景下，教师对学生的数学实际应用模型的考察越来越重视。尤其是在数学实际应用题的考察中，能否将实际案例转换成数学模型，对学生的化归能力提出了进一步的要求。例题（2010 年山东）某政府大力支持学生创业，李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件 20 元的护眼台灯。销售过程中发现，每月销量 y 件与销售单价 x 元之间的关系可近似看成一次函数 y=-10 x+500。（1）设李明每月获得利润为 w 元，当销售单价定位多少元时可以获得最大利润？（2）李明想要每月获得 2000 元利润，那么销售单价应该定为多少？（3）由于物价部门规定，台灯单价不能超过 32 元，那么要想每月获得利润不低于 2000 元，他每月最少需要成本多少元？分析 对于第一问，要想求出每月利润的最大值，即相当于求解二次函数的最值。于是，我们需要将本题中的实例化归成二次函数最值模型。首先，我们结合题中所给条件，写出对应的利润表达式为 w=（x-20）?（-10 x+500）=-10 x2+700 x-10000。于是，结合二次函数的最值知识，我们可以求：出当 x=35（负值排除）时，每月利润可以达到最大值。对应第二问，要求利润固定为 2000 时的售价问题，即是相当于求解一元二次方程问题。将对应的案例化归为方程模型，即是（x-20）?（-10 x+500）=2000，于是求得 x1=30、x2=40。则当单价定为 30 或 40 元时，李明可以取得 2000 元利润。对于第三问，要解决限定条件下的最低成本问题，即是将实例化归成一次函数与二次函数的性质问题。由于二次函数 w=-10 x2+700 x-10000 图象的开口向下，且在第二问基础上可知：当 30 x40 时，w2000。于是我们可知，在已知条件 30 x32 时，w2000。则成本 p=-200 x+10000 的最小值在 x=32 时取得，最小值为 3600 元。总之，化归思想是中学数学解题中的重要思想之一，对数学问题的由难化易、由繁化简起到重要作用。由于化归思想具有灵活性和多样性的特点，故其教学不会一蹴而就，需要教师在日常的数学方法教学中点滴积累。