分式知识点及例题.pdf
分式 知识点一：分式的定义 一般地，如果 A，B 表示两个整数，并且 B 中含有字母，那么式子BA叫做分式，A 为分子，B 为分母。知识点二：与分式有关的条件 1、分式有意义：分母不为 0（0B）2、分式值为 0：分子为 0 且分母不为 0（00BA）3、分式无意义：分母为 0（0B）4、分式值为正或大于 0：分子分母同号（00BA或00BA）5、分式值为负或小于 0：分子分母异号（00BA或00BA）知识点三：分式的基本性质 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于 0 的整式，分式的值不变。字母表示：CBCABA，CBCABA，其中 A、B、C 是整式，C0。拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即 BBABBAAA 注意：在应用分式的基本性质时，要注意 C0 这个限制条件和隐含条件 B0。知识点四：分式的约分 定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。注意：分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。知识点四：最简分式的定义 一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。知识点五：分式的通分 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。确定最简公分母的一般步骤：取各分母系数的最小公倍数；精选文档 2 单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式；相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。知识点六：分式的四则运算与分式的乘方 1、分式的乘除法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：dbcadcba 分式除以分式：式子表示为 ccbdadbadcba 2、分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子nnnbaba 3、分式的加减法则：同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为 cbacbca 异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为 bdbcaddcba 注意：加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。知识点七：整数指数幂 nmnmaaa mnnmaa nnnbbaa nmnmaaa（0a）nnbaban na1na （0a）10a （0a）（任何不等于零的数的零次幂都等于 1）其中 m，n 均为整数。知识点八：分式方程的解的步骤 去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程）解整式方程，得到整式方程的解。检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：如果最简公分母为 0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为 0，则是原方程的解。分式方程应用题解题基本步骤 1、审仔细审题，找出等量关系。2、设合理设未知数。3、列根据等量关系列出方程（组）。4、解解出方程（组）。注意检验 精选文档 3 （一）分式知识点总结 题型一：考查分式的定义【例 1】下列代数式中：yxyxyxyxbabayxx1,21,22，是分式的有：.题型二：考查分式有意义的条件【例 2】当x有何值时，下列分式有意义（1）44xx（2）232xx（3）122x（4）3|6xx（5）xx11 题型三：考查分式的值为 0 的条件【例 3】当x取何值时，下列分式的值为 0.（1）31xx （2）42|2xx （3）653222xxxx 题型四：考查分式的值为正、负的条件【例 4】（1）当x为何值时，分式x84为正；（2）当x为何值时，分式2)1(35xx为负；（3）当x为何值时，分式32xx为非负数.（二）分式的基本性质及有关题型 1分式的基本性质：MBMAMBMABA 2分式的变号法则：babababa 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例 1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）yxyx41313221 （2）baba04.003.02.0 题型二：分数的系数变号 精选文档 4【例 2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）yxyx （2）baa （3）ba 题型三：化简求值题 【例 1】已知：21xx，求221xx 的值.【例 2】若0)32(|1|2xyx，求yx241的值.（三）分式的运算 1确定最简公分母的方法：最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.2确定最大公因式的方法：最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.题型一：通分【例 1】将下列各式分别通分.（1）cbacababc225,3,2；（2）abbbaa22,；题型二：约分【例 2】约分：（1）322016xyyx；（3）nmmn22；（3）6222xxxx.题型三：分式的混合运算【例 3】计算：（1）42232)()()(abcabccba；（2）22233)()()3(xyxyyxyxa；（3）mnmnmnmnnm22；（4）112aaa；精选文档 5（5）874321814121111xxxxxxxx；（6）)5)(3(1)3)(1(1)1)(1(1xxxxxx；（7）)12()21444(222xxxxxxx 题型四：化简求值题【例 4】先化简后求值（1）已知：1x，求分子)121()144(48122xxxx的值；（2）已知：432zyx，求22232zyxxzyzxy的值；题型五：求待定字母的值【例 5】若111312xNxMxx，试求NM,的值.精选文档 6（四）、整数指数幂与科学记数法 题型一化简求值题【例 2】已知51xx，求（1）22 xx的值；（2）求44 xx的值.第二讲 分式方程【知识要点】1.分式方程的概念以及解法;2.分式方程产生增根的原因 3.分式方程的应用题 【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数;2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母.3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数.（一）分式方程题型分析 题型一：用常规方法解分式方程【例 1】解下列分式方程（1）xx311；（2）0132xx；精选文档 7（3）114112xxx；（4）xxxx4535 题型二：增根【例 4】若关于x的分式方程3132xmx有增根，求m的值.题型三：列分式方程解应用题 练习：1解下列方程：（1）021211xxxx；（2）3423xxx；（3）22322xxx；（4）171372222xxxxxx （5）2123524245xxxx （6）41215111xxxx 2.如果解关于x的方程222xxxk会产生增根，求k的值.3已知关于x的分式方程axa112无解，试求a的值.精选文档 8（二）分式方程的特殊解法 解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：一、交叉相乘法 例 1解方程：231xx 二、化归法 例 2解方程：012112xx 三、左边通分法 例 3：解方程：87178xxx 四、分子对等法 例 4解方程：)(11baxbbxaa 五、观察比较法 例 5解方程：417425254xxxx 六、分离常数法 例 6解方程：87329821xxxxxxxx 七、分组通分法 例 7解方程：41315121xxxx （三）分式方程求待定字母值的方法 例 1若分式方程xmxx221无解，求m的值。
