选修2-3计数原理与二项式定理120160515讲解.pdf

选修 2-3 计数原理与二项式定理 1 2016.05.15 命题人王峰 班级 姓名 学号 一、选择题(本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分)1从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种选出 3 种分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有多少种()A24 B18 C12 D6 2已知 C7n1C7nC8n(nN*)，则 n 等于()A14 B12 C13 D15 3(1x)7的展开式中 x2的系数是()A42 B35 C28 D21 4一排 9 个座位坐了 3 个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为()A33!B3(3！)3 C(3！)4 D9!5某校园有一椭圆型花坛，分成如图四块种花，现有 4 种不同颜色的 花可供选择，要求每块地只能种一种颜色，且有公共边界的两块不能 种同一种颜色，则不同的种植方法共有多少种()A48 B36 C30 D24 6若多项式 x2x10a0a1(x1)a9(x1)9a10(x1)10，则 a9()A9 B10 C9 D10 7从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项 工作，则不同的选派方案共有多少种()A48 B36 C18 D12 8 若(1x)n的展开式中第 4、第 8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A212 B211 C210 D29 9将标号为 1，2，3，4，5，6 的六张卡片放入 3 个不同的信封中，若每个信封放 2 张，其 中标号为 4，5 的卡片放入同一信封，则不同的放法共有多少种()A12 B18 C36 D54 种 10用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40 000 大的偶数共有()A144 个 B120 个 C96 个 D72 个 二、填空题(本大题共 14 空，每空 3 分，共 42 分)11在报名的 3 名男教师和 6 名女教师中，选取 5 人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选法有_种 12在(ax)(1x)4的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则 a_ 13已知在 66666 这个数字中插入 a，b 两个字母，则不同的插法有_种 14一个小组有 10 名同学，其中 4 名男生，6 名女生，现从中选出 3 名代表，则：(1)至少有一名男生的选法有_种；(2)至多有 1 名男生的选法有_种 15从1,0,1,2,3 这 5 个数中选 3 个不同的数组成二次函数 yax2bxc(a0)的系数：(1)开口向上的抛物线有_条；(2)开口向上且不过原点的抛物线有_条 16有 5 个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒内：(1)共有_种放法；(2)恰有一个盒内有 2 个球，有_种放法；(3)恰有一个盒内不放球，有_种放法 17在(3x1x)10展开式中，第 8 项是_，常数项是_，系数最大是第_项 18已知 n 是奇数，则 C1n6C2n62Cnn6n能被 8 整除的余数是_ 三、解答题(本大题共 3 个题，共 28 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19(本题满分 8 分)求(x3x)9的展开式中的有理项 20(本题满分 10 分)若多项式 x3x9a0a1(x1)a8(x1)8a9(x1)9，求：(1)a1a2a9；(2)a2a4a6a8 21(本题满分 10 分)已知(3x23x2)n展开式中各项系数和比它的二项式系数和大 992(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项 参考答案 一、选择题 1从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种选出 3 种分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有()A24 种 B18 种 C12 种 D6 种 答案 B 解析 因为黄瓜必须种植，在余下的 3 种蔬菜品种中再选出两种，进行排列共有 C23A3318 种故选 B.2已知 C7n1C7nC8n(nN*)，则 n 等于()A14 B12 C13 D15 答案 A 解析 因为 C8nC7nC8n1，所以 C7n1C8n1.78n1，n14，故选 A.3(1x)7的展开式中 x2的系数是()A42 B35 C28 D21 答案 D 解析 展开式中第 r1 项为 Tr1Cr7xr，T3C27x2，x2的系数为 C2721.4一排 9 个座位坐了 3 个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为()A33!B3(3！)3 C(3！)4 D9!答案 C 解析 本题考查捆绑法排列问题由于一家人坐在一起，可以将一家三口人看作一个整体，一家人坐法有 3！种，三个家庭即(3！)3种，三个家庭又可全排列，因此共(3！)4种注意排列中在一起可用捆绑法，即相邻问题 5某校园有一椭圆型花坛，分成如图四块种花，现有 4 种不同颜色的花可供选择，要求每块地只能种一种颜色，且有公共边界的两块不能种同一种颜色，则不同的种植方法共有()A48 种 B36 种 C30 种 D24 种 答案 A 解析 由于相邻两块不能种同一种颜色，故至少应当用三种颜色，故分两类第一类，用 4 色有 A44种，第二类，用 3 色有 4A33种，故共有 A444A3348 种 6若多项式 x2x10a0a1(x1)a9(x1)9a10(x1)10，则 a9()A9 B10 C9 D10 答案 D 解析 x10的系数为 a10，a101，x9的系数为 a9C910a10，a9100，a910.故应选 D.另解：(x1)12(x1)110a0a1(x1)a2(x1)2a10(x1)10，显然 a9C110(1)10.7(2015黑龙江省龙东南四校高二期末)从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有()A48 种 B36 种 C18 种 D12 种 答案 B 解析 分两种情况：(1)小张小赵去一人：C12C12A3324；(2)小张小赵都去：A22A2312，故有 36 种，应选 B.8(2015湖北理，3)已知(1x)n的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A212 B211 C210 D29 答案 D 解析 由题意可得，二项式的展开式满足 Tr1Crnxr，且有 C3nC7n，因此 n10.令 x1，则(1x)n210，即展开式中所有项的二项式系数和为 210；令 x1，则(1x)n0，即展开式中奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数之差为 0，因此奇数项的二项式系数和为12(2100)29.故本题正确答案为 D.9将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中，若每个信封放 2 张，其中标号为 1,2 的卡片放入同一信封，则不同的放法共有()A12 种 B18 种 C36 种 D54 种 答案 B 解析 由题意不同的放法共有 C13C2418 种 10(2015四川理，6)用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40 000 大的偶数共有()A144 个 B120 个 C96 个 D72 个 答案 B 解析 据题意，万位上只能排 4、5.若万位上排 4，则有 2A34个；若万位上排 5，则有 3A34个所以共有 2A343A34524120 个选 B.二、填空题 11(2015上海理，8)在报名的 3 名男教师和 6 名女教师中，选取 5 人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选法有_种(用数值表示)答案 120 解析 由题意得，去掉选 5 名教师情况即可：C59C561266120.12(2015新课标，15)(ax)(1x)4的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则a_.答案 3 解析 由已知得(1x)414x6x24x3x4，故(ax)(1x)4的展开式中 x 的奇数次幂项分别为 4ax,4ax3，x,6x3，x5，其系数之和为 4a4a16132，解得 a3.13已知在 66666 这个数字中插入 a，b 两个字母，则不同的插法有_种 答案 42 解析 第一次有 6 个空位可以插入，在插入一个字母后，变成 7 个字符，即在插入第一个字母后有 7 个空位可以插，所以为：6742 14一个小组有 10 名同学，其中 4 名男生，6 名女生，现从中选出 3 名代表，(1)至少有一名男生的选法有_种；(2)至多有 1 名男生的选法有_种 解析(1)方法一：(直接法)第一类：3 名代表中有 1 名男生，则选法种数为 C14C2660(种)；第二类：3 名代表中有 2 名男生，则选法种数为 C24C1636(种)；第三类：3 名代表中有 3 名男生，则选法种数为 C344(种)；故共有 60364100(种)方法二：(间接法)从 10 名同学中选出 3 名同学的选法种数为 C310种 其中不适合条件的有 C36种 故共有 C310C36100(种)(2)第一类：3 名代表中有一名男生，则选法为 C14C2660(种)；第二类：3 名代表中无男生，则选法为 C3620(种)；故共有 602080(种)15从1、0、1、2、3 这 5 个数中选 3 个不同的数组成二次函数 yax2bxc(a0)的系数 (1)开口向上的抛物线有_条；(2)开口向上且不过原点的抛物线有_条 解析(1)要使抛物线的开口向上，必须 a0，C13A2436(条)(2)开口向上且不过原点的抛物线，必须 a0，c0，C13C13C1327(条)16有 5 个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒内：(1)共有_种放法；(2)恰有一个盒内有 3 个球，有_种放法；(3)恰有一个盒内不放球，有_种放法 解析(1)一个球一个球地放到盒子里去，每只球都可有 4 种独立的放法，由分步乘法计数原理，放法共有 44256(种)(2)为保证“恰有一个盒子不放球”，先从四个盒子中任意拿出去 1 个，即将 4 个球分成 2,1,1 的三组，有 C24种分法；然后再从三个盒子中选一个放两个球，其余两个球，两个盒子，全排列即可由分步乘法计算原理，共有放法：C14C24C13A22144(种)(3)“恰有一个盒内放 2 个球”，即另外三个盒子中恰有一个空盒因此，“恰有一个盒子放 2 球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事故也有 144 种放法 17在(3x1x)10的展开式中，第 8 项是_，常数项是_，系数最大是第_项 解析 由 Tr1Cr10(3x)10r(1x)r，所以：T8C107(3x)3(1x)7C107(1x)9120(1x)9；(3x)10r(1x)rx0，即13(10r)12r0，得 r4，常数项是 5 项，为C104210；系数最大的项为第 5 或 7 项(第 6 项是负数)18已知 n 是奇数，则 C1n6C2n62Cnn6n能被 8 整除的余数是_ 解析 C1n6C2n62Cnn6nC0n60C1n6C2n62Cnn6n1 (61)n1(81)n1 C0n8n(1)0C1n8n1(1)1C2n8n2(1)2Cnn18(1)n1Cnn80(1)n1 C0n8n(1)0C1n8n1(1)1C2n8n2(1)2Cnn181(1)n1(1)n1 而C0n8n(1)0C1n8n1(1)1C2n8n2(1)2Cnn18(1)n1都是 8 的倍数，只余：(1)n1，但 n 是奇数，所以(1)n12，即为 6 三、解答题 19(本题满分 8 分)求(x3x)9的展开式中的有理项 解析 Tr1Cr9(x12)9r(x13)r(1)rCr9x27r6，令27r6Z，即 43r6Z，且 r0,1,2，9 r3 或 r9.当 r3 时，27r64，T4(1)3C39x484x4；当 r9 时，27r63，T10(1)9C99x3x3.(x3x)9的展开式中的有理项是：第 4 项，84x4和第 10 项，x3.20(本题满分 10 分)若多项式 x3x9a0a1(x1)a8(x1)8a9(x1)9，求：(1)a1a2a9；(2)a2a4a6a8 解析 令 x1t，则 xt1，展所以有：x3x9(t1)3(t1)9a0a1ta8t8a9t9 (1)令 t0，得 a0(1)3(1)92；令 t1，得 a0a1a2a90，所以 a1a2a92(2)令 t1，得 a0a1a2a3a9(2)3(2)9520 由得：2(a0a2a4a6a8)520 所以：a0a2a4a6a8260，即 a2a4a6a8258 21(本题满分 10 分)(2015北京高二质检)已知(3x23x2)n展开式中各项系数和比它的二项式系数和大 992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项 解析 令 x1 得展开式各项系数和为(13)n4n，又展开式二项式系数和为 C0nC1nCnn2n，由题意有 4n2n992.即(2n)22n9920，(2n32)(2n31)0，所以 n5.(1)因为 n5，所以展开式共 6 项，其中二项式系数最大项为第三、四两项，它们是 T3C25(3x2)3(3x2)290 x6.T4C35(3x2)2(3x2)3270 x223.(2)设展开式中第 k1 项的系数最大 又 Tk1Ck5(3x2)5k(3x2)kCk53kx104k3，得 Ck53kCk153k1Ck53kCk153k1 3k16k15k3k1 72k92.又因为 kZ，所以 k4，所以展开式中第 5 项系数最大T5C4534x263405x263.