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.一填空题每题 4 分 第十章多元函数微分学 1、函数arcsin()xy22的定义域为。2、函数zxy arcsin在点1，13沿x轴正向的方向导数是。3、设f x yxy(,)sincos2，则fx(,)2=。4、设函数zz x y(,)由方程232614640222xyzxyxyz确定，则函数z的驻点是_。5、函数zxyxyarctan1在点1，2沿a 1 3,方向的方向导数是。6、设uxyyx，则uy=。7、函数yy x()由12x yey所确定，则ddyx=。8、设uxyxyln()tanh()，则du=。9、设函数zz x y(,)由方程xyzexyz()222所确定，则zx=。10、设函数F u v w(,)具有一阶连续偏导数，且FFFuvw(,),(,),(,)336333623361 ，曲 面F x xy xyz(,)0过 点P(,)3 12，则曲面过点P的法线与yz平面的交角为_。11、函数zxyln()的定义域为。12、设uxyz1/，则uz(,)1 1 1=。13、曲线xyzx22202在点 2，3，5 处的切线与z轴正向所成的倾角为。14、设zxyexy，则dz=。15、设f x yxy(,)22，则d f=。16、函数uzxyarcsin22的定义域为。.17、设曲线xtytzt2131223,在t 1对应点处的法平面为S，则点(,)2 41到S的距离d _。18、设 函 数F x y z(,)可 微，曲 面F x y z(,)0过 点P(,)1 2 3，且FPFPFPxyz(),(),()432，则曲面F x y z(,)0在点P的切平面方程为_。19、假设f x yeyxx(,)cos()2，则),(2 xxfx=。20、曲线xt eytezettt2222,在对应于t 1点处的切线与yz平面的夹角正弦sin=_。21、设zeyeyxxsincos，则2222zxzy=。22、设zxcysin()，则zc zyyxx2=。23、设f x yxyexy(,)()2，则),(2 xxfx=。24、假设函数zxyxyaxbyc22322在点(,)2 3处取得极小值3，则常数a b c,之积abc _。25、设f y z(,)与g y()都是可微函数，则曲线xf y z zg y(,),()在点(,)xyz000处的切线方程是_。26、设uxyyx，则22ux=。27、曲线xt yt ztsin,cos,42在对应于t 2点处的法平面方程是_。28、设函数zz x y(,)由方程sin xyzez2所确定，则zx=。29、设函数zz x y(,)由方程zxy yz(,)所确定，其中(,)u v有一阶连续偏导数，则 a 11,=。30、曲线xyzxyz3090332在点(,)22 3处的切线的标准式方程为_。31、设f x yxyxy(,)()arcsin1，则)1,(xfx=。32、设uxxyln，则 2ux y=。.33、函数yyxxxyln122的定义域为。34、曲线zxyx22221()在点1，2，7处的切线对y轴的斜率为。35、设zxf x yf x y(,),(,)具有二阶连续偏导数，fy(,)0 12，则 20 1zx y(,)=。36、假设曲线xyzxyz22222023在点(,)1 10处的切向量与y轴正向成钝角，则它与x轴正向夹角的余弦cos _。37、设uxyx y44224，则 2ux y=。38、设函数F u v(,)具有一阶连续偏导数，且FFuv(,),(,)264262，则曲面F xyz xyz(,)0在点(,)3 21处的切平面方程为_。39、设函数zf x y(,)在点(,)xy00处可微，则点(,)xy00是函数z的极值点的必要条件为_。40、设 函 数F x y z(,)可 微，曲 面F x y z(,)0过 点M(,)210，且FFFxyz(,),(,),(,)210521022103 .过点M作曲面的一个法向量n，n与x轴正向的夹角为钝角，则n与z轴正向的夹角=_。41、假设f x yxyxy(,)()sin，则fx xx(,)=。42、极限limarctan()xyxyxy1033=。43、曲线23020234xyzxyz在点(,)111处的切线与平面xyz 2夹角的正弦sin=_。44、设xryrcos,sin，则二阶行列式xrxyry。45、设u x yxyxy(,)，则du=。.46、曲 面xyz22450垂 直 于 直 线xyz1212的 切 平 面 方 程 是_。47、设f x yxyx yxyxy(,)sin()10002，则fx(,)01=。48、函数zxxyyxy2246812的驻点是_。49、函数zyxarctan1的定义域为。50、假设f x yyxxxy(,)sin()2，则fx xx(,)=。1、xy221 2、12 2 3、2 4、2，1 5、110 10 6、xx1 7、22xyexy 8、111122xxyxyxyycosh()dcosh()d 9、1212222222xezexyzxyz()()10、3 11、xy1 12、0 13、arctan53 14、eyxxxyyxy()d()d11.15、22ddyxyyxx 16、()xyzxy2222，且xy220 17、2 18、43280 xyz 19、ex 20、429 21、0 22、0 23、xx242 24、30 25、)()(),(),(000000000ygzzyyygzyfzyfxxzy 26、23yx 27、04143zy 28、cosxez1 29、121 30、xyz22130 31、1 32、1y 33、yxxxy,0122 34、27 35、2 36、241.37、16xy 38、54140yz 39、点(,)xy00是函数z的驻点 或zxyx(,)000，且zxyy(,)000 40、3 41、1sin*42、arctan14 43、13 44、r 45、22(dd)()yxxyxy 46、2210 xyz 47、1 48、1，2 49、10 x或x 1 50、3x 第十一章隐函数求导 1、设函数F x y z(,)具有一阶连续偏导数，曲面F x y z(,)0过点P(,)13 4，且FPFPF Pxyz(),(),()32 31，则曲面F x y z(,)0在点P的法线与zx平面的夹角是_。2、设函数zz x y(,)由方程xyz1所确定，则全微分dz=。3、曲线zxyx3122()在点1，1，1处的切线与y轴正向所成的倾角为。4、曲面sin()cos()sin()xyyzzx2323222在点(,)6 46处的切平面方程是_。5、曲面352222xyz在点(,)113处的法线方程为_。6、曲面arctanyxz14在点(,)210处的切平面方程是_。7、曲线xtyt zt23213,在点(,)1213处的切线方程是_。8、曲面xey ez eeyzx223321在点(,)210处的法线方程为_。9、设f x ye g ycx(,)()满足方程ffxy 0，其中g y()是可导函数，c是常数，.则g y()=。10、设uxxy22，则在极坐标下，u=。11、曲线xyzy 32在点 32，2，62 处的切线与x轴正向所成的倾角为。12、假 设(,)xyz000是 曲 面F x y z(,)0上 的 一 点，且 在 这 一 点 处 有FFFxyz4 24,，则曲面在这一点处的切平面与xy平面所成的二面角是_。13、曲 面32304xyzxyz在 点(,)2112处 的 切 平 面 方 程 是_。14、由方程coscoscos2221xyz所确定的函数zz x y(,)的全微分dz=。答案：1、3 2、()zxdxzydy 3、arctan2 4、)4232(23)22(zyx 5、xyz131531 6、yz21 7、xyz122213 8、ezeyx22212 9、c ecy1 10、sin 11、4 12、6 13、3ln218)3ln412()3ln26()3ln3(zyx.14、sinsinsin222xdxydyz 第十二章反常积分 1、_1 0 pxdxp收敛，则必有若广义积分 2、_11 0 2xdx 3、_1 nxdxn收敛，则自然数若广义积分 4、_1 0 pxdxp发散，则必有若广义积分 5、_1 qxdxq发散，则必有若广义积分 6、_11 0 xdx广义积分 7、_0 2dxxex广义积分 答案：1、1 4、p 1 5、1 6、2 7、12 第十三章重积分 1、设D：0*1,0 y 2(1*),由 二 重 积 分 的 几 何 意 义 知=_.2、假设f(*,y)在关于y轴对称的有界闭区域D上连续，且f(*,y)=f(*,y)，则d*dy=_.3、二次积分f(*,y)dy在极坐标系下先对r积分的二次积分为_.4、假设D是以(0，0)，(1，0)及(0，1)为顶点的三角形区域，由二重积分的几何意义知=_.5、根据二重积分的几何意义=_.其中D：*2+y21.6、设积分区域D的面积为S，则 7、设则I=_。8、设，根据二重积分几何意义，9、设f(t)为连续函数，则由平面z=0，柱面*2+y2=1 和曲面z=f(*y)2所围立体的体积可用二重积分表示为_.10、设平面薄片占有平面区域D，其上点(*,y)处的面密度为(*,y)，如果(*,y)在D上连续，则薄片的质量m=_.11、设，由二重积分几何意义知=_.12、设D：0*a,aya,当n为奇数时 13、设f(*,y)是 连 续 函 数，则 二 次 积 分交 换 积 分 次 序 后 为_.14、根据二重积分的几何意义 其中D：*2+y24,*0,y0.15、设区域D是*2+y21 与*2+y22*的公共局部，试写出在极坐标系下先对r积分的累次积分_.16、设f(*)在0,4上连续，且D：*2+y24 则在极坐标系下先对r积分的二次积分为_.17、设f(*,y)是连续函数，则二次积分交换积分次序后为_.18、设积分区域D的面积为S,(r,e)为D中点的极坐标，则_.19、设D：*2+y24,y0,则二重积分 20、根据二重积分的几何意义其中D：*2+y2a2,y0,a0.21、设D：*2+y2a2,y0,当m为奇数时，答案：.1、2、0.3、4、5、6、2S.7、I=24 8、9、f(*y)2d*dy.10、(*,y)d(或(*,y)d*dy).11、a3 12、0.13、d*f(*,y)dy.14、15、16、17、dyf(*,y)d*.18、S.19、0.20、21、0.第十三章线面积分 1、设A=zi+2*2j+3y3k,则A(2，1，3)=_.2、假设是*二元函数的全微分，则m=_ 3、设是母线平行于oz轴的柱面的局部，它的底是位于*oy平面上的光滑曲线L，它的高z是*,y的非负函数z=f(*,y),用曲线积分表示柱面的面积A=_.4、设L为圆周0222yyx，则Lsxxyd)(54_。5、设L为*oy面上有质量的曲线，在曲线L上的点(*,y)处的质量线密度为(*,y)。则这条曲线L的质量的计算表达式为_.6、向量场A=*,*y,*yz在点M(2，1，2)处的旋度 rotAM=_.7、设L由y=*2及y=1 所围成的区域D的正向边界，则 8、设函数f(*,*+y,*z)对各变元具有一阶连续偏导数，则 gradf=_.9、设函数u(*,y,z)和v(*,y,z)都具有一阶连续偏导数，则点(*,y,z)处u=u(*,y,z)在v=v(*,y,z)的梯度方向上的方向导数取最大值的条件是_.10、设有平面向量场A=2*yi+(*2+3*)j,则它沿正方形|*|+|y|=1 正向的环流量为_.11、设是*oy面上的闭区域的上侧，则(*+y+z)dydz=_.12、设C为一条由点A(*1，y1)到B(*2，y2)的光滑曲线弧。假设在曲线段C上任一点处的 线 密 度 的 大 小 等 于 该 点 的 纵 坐 标 的 平 方，则 这 段 曲 线 的 质 量 的 计 算 公 式M=_。13、设有一力场，其场力的大小与作用点到Z轴的距离成反比，方向垂直于Z轴并指向Z轴。假设*质点沿着一条光滑曲线C从点A移动到点B，则此时场力所作的功的计算表达式为_.14、设向量场A=P(y,z)i+Q(z,*)j+R(*,y)k,则 divA=_.15、L为自原点至点A(2，2)的圆弧，则 16、设是M(1，3)沿圆(*2)2+(y2)2=2 到点N(3，1)的半圆，则积分 _.17、设u=2*+3*y+4*yz,则函数u在点(1，1，2)处的梯度是_.18、向量场A=*,*y,*yz在点(*,y,z)处的散度 divA=_.19、设C为正向圆周*2+y2=a2,则 20、力构成力场，(y0)假设质点在此力场运动时场力所做的功与路径无关，则m=_.21、设有一圆柱面：*2+y2=R2,(0zR).其法向量n指向外侧，则向量场A=*2,y2,z2穿过指定侧的通量为_.22、设C为平面上从点A(*1,y1)到点B(*2,y2)的有向曲线弧，函数f(*)是连续函数，则 23、dz=(*2+2*yy2)d*+(*22*yy2)dy，则函数Z=Z(*,y)=_.24、设L为 曲 线y2=*上 从 点(0，0)到 点(1，1)的 一 段，则 曲 线 积 分 25、设是由A(2，3)沿y=*21 到点M(1，0)，再沿y=2(*1)到B(2，2)的路.径，则 _.26、向量场A=3yi2zj+*k在点(*,y,z)处的旋度 rotA=_.27、设是柱面*2+y2=9 的介于平面z=0 及z=2 间的局部曲面的外侧，则=_.28、设向量场A=(z3+*y)i+(y3+2yz)j+(*3+3z*)k,则A的旋度 rotA=_.29、L是平面上从原点到点(2，1)的直线段，则 30、设f(*,y)在具有连续的二阶偏导数，L是椭圆周的顺时针方向，则的值等于 _.1、A(2,1,3)=3i+8j3k.2、1 3、LdsyxfA,4、0 5、6、4,2,1 7、0 8、f1+f2+zf3,f2,*f3.9、gradu与 gradv同方向。10、6 11、0 12、13、cyxydyxdxk22 14、0 15、34 16、0 17、kji4119 18、1+*+*y 19、20、1 21、0.22、.23、24、3017 25、10 26、2,1,3 27、0。28、2y,3z23*23z,*.29、)2cos22(sin45 30、6