大学物理-狭义相对论习题和解答.pdf
17-1 1 (u/c)2 1 (u/c)2 v 第十七章 狭义相对论 171 设有一宇宙飞船，相对于地球作匀速直线运动，若在地球上测得飞船的长度为其静止长度的一半，问飞船相对地球的速度是多少?解 飞船静止长度l0 为其固有长度，地球上测得其长度为运动长度，由长度收缩公式，有：l l0 l0 2 解得：c 2 即：v c 0.866c 2 172 宇宙射线与大气相互作用时能产生 介子衰变，此衰变在大气上层放出 粒子，已知 粒子的速率为 v 0.998c，在实验室测得静止 粒子的平均寿命为2.2 106 s，试问在 8000m 高空产生的 粒子能否飞到地面?解 地面上观测到的 子平均寿命与固有寿命之间的关系 t t0 子运行距离l vt v t0 子能飞到地面。0.998c 2.2106 1 0.9982 1042m 173 在 S 系中观测到两个事件同时发生在 x 轴上，其间距离为 1m，在 S，系中观测这两个事件之间的距离是 2m。求在 S，中测得的这两个事件发生的时间间隔。解 在 S 系中两事件时间间隔t 0,由 Lorentz 变换 x x ut t t u x c 2 x 得：x ut x u u t t x x c 2 c 2 将x 2m,x 1m 代入上两式，得 u 3 c,2 t 5.77 109 s 174 远方一颗星体以 0.80c 的速率离开我们，我们接收到它辐射来的闪光按 5 昼夜的周期变化，求固定在这星 1 (v)2 c 3 3 1 v 2 c 1 v 2 c 1 (u/c)2 1 (u/c)2 1 (u/c)2 1 (u/c)2 17-2 1 0.802 1 v 2 c 1 0.99652 1 (u/c)2 1 (u/c)2 0 体上的参考系中测得的闪光周期。174 解 所求的为固有周期T0：T0 T 5 3（昼夜）175 假设一飞船的速率可达 u0.5c，它沿着广州和北京的连线飞行，已知广州到北京的直线距离为1.89 103 km，问飞船中的乘客观测到广州到北京的直线距离是多少?解 已知固有长度l 1.89 103 km l l0 1.89 103 1 0.52 1.6368 103 km 176 19661972 年间，欧洲原子核研究中心(CERN)多次测量到储存环中沿“圆形轨道”运行的 粒子的平均寿命，在 粒子的速率为 0.9965c 时，测得的平均寿命是26.15 106 s。粒子固有寿命的实验值是2.197 106 s。问实验结果与相对论理论值符合的程度如何?解 粒子固有寿命理论值 t0 t 2.615 106 1 0.99652 2.186 106 s 与实验值比较，相对误差 0.5%，两者符合得极好。或t t0 2.197 106 与实验值 2.615 106 比较。177 在惯性系 S 中的同一地点发生 A、B 两个事件，B 晚于 A 4s，在另一惯性系中 S中观测到 B 晚于 A 5s，求：(1)这两个参考系的相对速率是多少?(2)在 S系这两个事件发生的地点间的距离是多少?0 解（1）由题意知，固有时 0 4s，根据时间膨胀公式，有：0/4/5 u 3 3 由此得 ,c 5 即u c 5（2）应用 Lorentz 变换式，得：x x ut x x ut ut 1 (v/c)2 1 v 2 c 1 v 2 c 1 (u/c)2 1 (u/c)2 1 (u/c)2 17-3 1 v 2 c 0 x x z 3 4c 5 3c 4 5 因而 S系中这两个事件发生地点间相距 3c。178 有一宇航员乘速率为 1000 km s 的火箭由地球前往火星，宇航员测得他经 40h 到达火星，求地面上观测者测得的时间与宇航员测得的时间差。解 宇航员测得的是固有时间t0，地面测得的时间 t t0 40.00022小时 t 0 40小时 所以t t 2.2 104 小时 179(1)火箭 A 以 0.8c 的速率相对于地球向东飞行，火箭 B 以 0.6c 的速率相对地球向西飞行，求火箭 B 测得火箭 A 的速率的大小和方向。(2)如果火箭 A 向正北飞行，火箭 B 仍然向西飞行，则由火箭 B 测得火箭 A 的速率大小中方向又如何?解（1）选地球为 S 系，火箭 B 为 S系，并设正东为 X 轴正向，则对 A 有：u 0.6c,vx 0.8c,vy vx 0 由速度变换公式，得：v vx u u 0.8c 0.6c 0.8c 0.6c 0.946c 1 c 2 vx 1 c 2 方向为正东。（2）坐标系仍如（1）问，u 0.6c,vx vz 0,vy 0.8c 由速度变换公式，有 v vx u 1 u v c 2 x 0.6c vy 1 u v c 2 x 0.64c v 0 v 0.877c 有正东方向夹角为：v 0.6c cos 1 x cos1 46.83v 0.877c 1710 一空间飞船以 0.5c 的速率从地球发射，在飞行中飞船又向前方相对自己以 0.5c 的速率发射一火箭，问地球上的观测者测得火箭的速率是多少?v 1 (u/c)2 y v v 2 2 2 x y z v 17-4 1 (u/c)2 1 v 2 c 1 v 2 c 1 v 2 c 1 v 2 c 1 1.12 2 3 105 2 2 解 地 面取为 s 系，飞船取 为 s 系，则 v 0.5c，ux 0.5c。对地 面 观测者 而 言火箭 速率 ux ux v 1 ux v c 2 0.5c 0.5c 1 0.5c 0.5c c 2 0.8c 1711 半人马星座的口星距地球为4.3 1016 m，设有一飞船以 0.999c 的速率往返于。星与地球之间。由地球上观测，飞船往返一次需多少时间?若在飞船上观测，往返一次需多少时间?解取地球为 S 系，飞船为 S系，地球上观测飞船往返一次需时：2t 2x/u 2 4.3 1016/0.999c 2.87 108 S 由 Lorentz 变换，飞船上观测，往返一次需时：t u x 2t 2 c 1.28 107 s 1712 地球上的观测者发现，一只以速率 0.60c 向东航行的宇宙飞船将在 5s 后同一个以 0.80c 速率向西飞行的慧星相撞。(1)飞船中的人将观测到慧星以多大的速率向他们接近?(2)按照飞船上的钟，还有多少时间允许他们离开原来的航线避免相撞?解 地球取为 s 系，飞船取为 s系，由已知条件，当取 x 轴向东时，v 0.6c，ux 0.80c，t 5s。飞船上人观测 彗星速率 ux ux v 1 ux v c 2 0.80c 0.60c 0.946c 1 0.80 0.60 负号表示彗星向西飞行。时间间隔t 在飞船中观测应为t t vx t c 式中x 为相撞浅 s 中彗星飞行距离。x u t x 所以t t vx c 2 1 ux v c 2 t 9.25s 1713 设一火箭的静止质量为 100t，当它以第二宇宙速度飞行时，它的质量增加了多少?解 v 11.2 km s 1.12 104 m s m m0 1 1.0000000009m m m m0 9 1010 m0 9 102 g 17-5 1 1 (v/c)2 2 1 1 (v/c)2 1 1 (v/c)2 1 1 (v/c)2 1 (v/c)2 1 (v/c)2 0 k 0 k 0 0 0 0 0 0 k 1714 要使电子的速率从1.2 108 m s 增加到2.4 108 m s 必须做多少功?解 由动能定理，外力所作的功为：A mc 2 m c 2()代入数据，得：A 8.199 1014(1.667 1.091)4.72 1014 J 1715 某粒子的静止质量为 m0，当其动能等于其静能时，其质量和动量各等于多少?解 动能为 E mc 2 m c 2 由已知条件 E m c 2，故 1/2 解出v m c，所以，有：2 2m0 p mv 3m0 c 1716 太阳的辐射能来自其内部的核聚变反应。太阳每秒钟向周围空间辐射出的能量约为5 1028 J s，由于这个原因，太阳每秒钟减少多少质量?解 m E c 2 5 1028 3 108 2 5.56 1012 kg 1717 一颗核弹含有 20kg 的钚，爆炸后的生成物的静止质量比原来的静止质量小104 分之一，求爆炸中释放的能量。解 由质能关系，得：E mc 2 20 104 (3 108)2 1.80 1014 J 1718 假设一个静止质量为 m、动能为2m c 2 的粒子同一个静止质量为2m，处于静止状态的粒子相碰撞并结合在 一起，试求碰撞后结合在一起的粒子的静止质量。解依题意，得：E m c 2(1)2m c 2 1 故有：3,v 2 2c 3 由动量守恒、能量守恒定律，得：m v m v 0 0 3 1 (v/c)2 1 (v/c)2 m0 17-6 1 (v/c)2 1 (v/c)2 1 2 1 1 2 5480 1 1 c v 2 1 2 c v 2 1 2 1 1 2 2 k 0 0 M m 1 1 m10 1 m 2 5 1 m c 2 2m c 2 m c 2 0 可解得：m 17m 0 0 0 0 1719 在北京的正负电子对撞机中，电子可以被加速到动能为 E 2.8 109 eV。这种电子的速率与光速相差多大?一个电子的动量是多大?(电子的静止能量 E 0.511106 eV)。1 解 因为 E m c 2 1k 0 1 1 2 E 2.8 109 所以 1 k 1 m c 2 0.511106 5480 8 1 0.999999983 c v 1 c 1.6 10 c 4.9m s p m0 v v 2 5480 9.111031 0.000000083c 1.5 1018 kg m s 1 1 c 1720 静止质量为 M 0 的粒子在静止时衰变为静止质量为 m10 和 m20 的两个粒子。试求静止质量为 m10 的粒子的能 量 E1 和速度v1。解 根据动量、能量守恒定律列出方程 m c 2 m c 2 M 0 c 2 10 20 1 m v m v 0 10 1 20 2 2令 1 v1 c、2 v2 c，上两式化为 m10 0 m m20 m 3 0 10 1 20 2 4m 2 2 从(4)式得 2 10 1 2 2 2 2 (5)式代入(3)式消去 2，经代数运算解出 2 1 2 1 2m10 M 0 2 0 10 2 2 20 1 1 c v 2 1 2 c v 2 1 2 1 1 2 2 M m20 1 17-7 1 2 2 m m 0 2 1 2 v c1 2m10 M 0 2 0 10 2 2 20 m c 2 M 2 m 2 m 2 E 10 0 10 20 c 2 1 2M M 1
