数学建模线性规划.pdf
线性规划 1.简介：线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料.二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源.线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好.规划问题。一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。在优化模型中，如果目标函数 f(x)和约束条件中的 gi(x)都是线性函数，则该模型称为线性规划。2.线性规划的 3 个基本要素（1）决策变量（2）目标函数 f(x)（3）约束条件（gi(x)0 称为约束条件）3.建立线性规划的模型（1）找出待定的未知变量（决策变量），并用袋鼠符号表示他们。（2）找出问题中所有的限制或者约束，写出未知变量的线性方程或线性不等式。（3）找到模型的目标或判据，写成决策变量的线性函数，以便求出其最大值或最小值。以下题为例，来了解一下如何将线性规划用与实际的解题与生活中。生产计划问题 某工厂生产甲乙两种产品，每单位产品消耗和获得的利润如表 试拟订生产计划，使该厂获得利润最大 解答：根据解题的三个基本步骤（1）找出未知变量，用符号表示：设甲乙两种产品的生产量分别为 x1与 x2吨，利润为 z 万元。（2）确定约束条件：在这道题目当中约束条件都分别为：钢材，电力，工作日以及生产量不能为负的限制 钢材：9x1+5 x2360，电力：4x1+5 x2200，工作日：3x1+10 x2300，x1 0，x2 0，（3）确定目标函数：Z=7x1+12 x2 所以综合上面这三步可知，这个生产组合问题的线性规划的数学模型为：max Z=7x1+12 x2.00300103200543605921212121xxxxxxxx 4.使用 MATLAB 解决线性规划问题 依旧是以上题为例，将其用 MATLAB 来表示出来 1.将目标函数用矩阵的乘法来表示 max Z=(7 12)21xx 2.将约束条件也用矩阵的乘法表示.2121003002003601035459xxxx 编写 MATLAB的程序如下：c=-7-12;(由于是max函数，因此将目标函数的系数全部变为负数)A=9,5;4,5;3,10;b=360;200;300;Aeq=;beq=;vlb=0;0;vub=;x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)其运行结果显示如下：x=fval=求解线性规划的语句(1)c=表示目标函数的各个决策变量的系数(2)A=表示约束条件中或的式子中的各个决策变量的系数。（若系数构成了两行以上的矩阵那么则由“；”来分割不同的两行）(3)b=表示或右边的数字(4)Aeq=表示约束条件中=的式子中各个决策变量的系数。(5)beq=表示=右边的数字(6)vlb=表示决策变量的定义域 中为的数字(7)vub=表示决策变量的定义域 中为的数字(8)x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)调用了 linprog 函数，以此来求解出决策变量的值 6.课后习题 1.某鸡场有 1000 只鸡，用动物饲料和谷物混合喂养。每天每只鸡平均食混合饲料，其中动物饲料所占比例不能少于 20%。动物饲料每千克元，谷物饲料每千克元，饲料公司每周仅保证供应谷物饲料 6000KG，问饲料怎样混合，才能使成本最低？解：设动物饲料与谷物饲料分别为1x与2x千克，总成本为 Z。min Z=1x+2x.60000%20350035002121xxxx MATLAB程序：c=;A=1,1;b=3500;Aeq=;beq=;vlb=700;0;vub=6000;x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)运算结果：x=fval=5.某工厂生产1A、2A两种型号的产品都必须经过零件装配和检验两道工序，如果每天可用于零件装配的工时只有 100h，可用于检验的工时只有 120h，各型号产品每件需占用各工序时数和可获得的利润如下表所示：产品 可用工时 工序 装配 2 3 100 检验 4 2 120 利润(元/件)6 4 （1）试写出此问题的数学模型，并求出最优化生产方案；（2）对产品1A的利润进行灵敏度分析；（3）对装配工序的工时进行灵敏度分析；（4）如果工厂试制了3A型产品，每件3A产品需装配工时 4h，检验工时 2h，可获利润 5元，那么该产品是否应投入生产？问题分析：原问题即是线性规划问题。1、2、3 小问也即是线性规划问题中关于灵敏度分析中的分析 Cj 的变化范围、分析 bi 变化范围、增加一个约束条件的分析。于是，上诉问题都可通过灵敏度分析的步骤运用单纯形表法得以解决。第一小问，建立线性规划模型，用单纯形表法求最优解，同时可为第二、三小问做准备。第二小问，即是线性规划问题中关于灵敏度分析中的 Cj 的变化范围分析。将 A1 的利润变为6元，以 的取值范围进行分析。第三小问，即是线性规划问题中关于灵敏度分析中的 bi 变化范围分析。将装配工序工时变为100h，按公式 1：算出b，将其加到基变量列的数字上，然后由于其对偶问题仍为可行解，故只需检查原问题是否仍为可行解。第四小问，即是线性规划问题中关于灵敏度分析中的增加一个约束条件的分析。只需加入约束条件建立新的线性规划模型。模型的建立和求解：建立模型 （1）Z 表示总的利润，x1、x2 分别表示两种型号生产数量。通过 MATLAB 程序计算得到的最优解为 x2=x1=20，即最优方案为 A1、A2 两种型号各生产 20件。得最大利润 200 元。（2）将 A1 的单件利润改为6元，得如下新的线性规划问题，通过变化分析原问题的灵敏度。解的最优条件是：由此推得当325/88时满足上述要求。由此推得 8040 加放产品 A3，建立新的线性规划问题：通过 MATLAB 最终得出的结果为：X1=23，X2=2，X3=12。即最优方案为：A1、A2、A3 分别生产 23、2、12 件。数学建模 线性规划 1322303 倪瑜卿 1322304 丁佳蓓 1322321 季宗扬 1322323 黄蒙捷
