椭圆的定义及几何性质.pdf
.1/8 椭圆 教学目标1掌握椭圆的定义 2掌握椭圆的几何性质 3掌握求椭圆的标准方程 教学重难点1椭圆的离心率有关的问题 2椭圆焦点三角形面积的求法 教学过程 一、知识点梳理 知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数,这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：若,则动点的轨迹为线段；若,则动点的轨迹无图形.知识点二：椭圆的标准方程 1 当焦点在轴上时,椭圆的标准方程：,其中；2当焦点在轴上时,椭圆的标准方程：,其中；注意：1 只有当椭圆的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到椭圆的标准方程；2在椭圆的两种标准方程中,都有和；3椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时,椭圆的焦点坐标为,；当焦点在轴上时,椭圆的焦点坐标为,.知识点三：椭圆的简单几何性质 椭圆的的简单几何性质.2/8 1对称性 对于椭圆标准方程,把 x 换成x,或把 y 换成y,或把 x、y 同时换成x、y,方程都不变,所以椭圆是以 x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形,且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心称为椭圆的中心.讲练结合：2 X 围 椭圆上所有的点都位于直线 x=a 和 y=b 所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足|x|a,|y|b.3 顶点椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点.椭圆ab0与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为 A1a,0,A2a,0,B10,b,B20,b.线段 A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴,|A1A2|=2a,|B1B2|=2b.a 和 b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.4离心率椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用 e 表示,记作.因为 ac0,所以 e 的取值 X 围是 0e1.e 越接近 1,则 c 就越接近 a,从而越小,因此椭圆越扁；反之,e 越接近于 0,c 就越接近 0,从而b 越接近于 a,这时椭圆就越接近于圆.当且仅当 a=b 时,c=0,这时两个焦点重合,图形变为圆,方程为 x2+y2=a2 椭圆的图像中线段的几何特征如下图：1,；2,；3,；.3/8 知识点四：椭圆与ab0的区别和联系 标准方程 图形 性质 焦点,焦距 X 围,对称性 关于 x 轴、y 轴和原点对称 顶点,轴 长轴长=,短轴长=离心率 准线方程 焦半径,注意：椭圆,ab0的相同点为形状、大小都相同,参数间的关系都有 ab0 和,a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同,它们的焦点坐标也不相同.4/8 二、考点分析 考点一：椭圆的定义 例 1方程10222222yxyx化简的结果是.例 2已知 F1,F2,动点 P 满足|PF1|+|PF2|=16,则点 P 的轨迹为 A 圆 B 椭圆 C 线段 D 直线 变式训练已知椭圆=1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3,则 P 到另一焦点 距离为.考点二：求椭圆的标准方程 例 3若椭圆经过点,则该椭圆的标准方程为.例 4ABC的底边16BC,AC和AB两边上中线长之和为 30,求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹 例 5求以椭圆229545xy的焦点为焦点,且经过点(2,6)M的椭圆的标准方程 变式训练1、焦点在坐标轴上,且213a,212c 的椭圆的标准方程为.2、焦点在x轴上,1:2:ba,6c椭圆的标准方程为.3、已知三点 P5,2、1F6,0、2F6,0,求以1F、2F为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程；4、已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P到两焦点的距离分别为354和352,过P点作焦点所在轴的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆方程 考点三：利用标准方程确定参数 例 6若方程25xk+23yk=1 1表示圆,则实数 k 的取值是.2表示焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 k 的取值 X 围是.3表示焦点在 y 型上的椭圆,则实数 k 的取值 X 围是.4表示椭圆,则实数 k 的取值 X 围是.例 7椭圆22425100 xy的长轴长等于,短轴长等于,顶点坐标是,焦点的坐标是,焦距是,离心率等于.22169xy.5/8 变式训练1、椭圆2214xym的焦距为2,则m=.2、椭圆5522kyx的一个焦点是)2,0(,那么k.考点四：离心率的有关问题 一、求离心率 1、用定义求出 a,c 或找到 c/a求离心率 1已知椭圆C:22221,(0)xyabab的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)FF,且椭圆C经过点4 1(,)3 3P.则椭圆C的离心率.2设是椭圆的左、右焦点,为直线上一点,是底角为的等腰三角形,则的离心率为 3椭圆ab0的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点分别是 F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为_.4 在给定的椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为2,焦点到相应准线距离为 1,则该椭圆的离心率为.2、根据题设条件构造 a、c 的齐次式方程,解出 e.2220()0nccmanacpcmpm aa 1若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是 A.B.C.D.2在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的标准方程为)0,0(12222babyax,右焦点为F,右准线为l,短轴的一个端点为B,设原点到直线BF的距离为1d,F到l的距离为2d,若126dd,则椭圆C的离心率为_.12F F2222:1(0)xyEababP32ax 21F PF30E22221xyab54535251.6/8 3设椭圆的两个焦点分别为 F1.F2,过 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若三角形 F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为.二、求离心率的 X 围关键是建立离心率相关不等式 1、直接根据题意建立,a c不等关系求解.1椭圆22221(0)xyabab的焦点为1F,2F,两条准线与x轴的交点分别为MN，,若12MNFF,则该椭圆离心率的取值 X 围是.2 已 知21,FF为 椭圆012222babyax的 焦点,B为 椭 圆短 轴上 的端点,2121212BFBFF F,求椭圆离心率的取值 X 围.2、借助平面几何关系或圆锥曲线之间的数形结合建立,a c不等关系求解 设12FF，分别是椭圆22221xyab0ab 的左、右焦点,若在其右准线上存在,P使线段1PF的中垂线过点2F,则椭圆离心率的取值 X 围是.3、利用圆锥曲线相关性质建立,a c不等关系求解.焦半径或横纵坐标 X 围建立不等式 1椭圆22221xyaba0,b0的两个焦点为 F1、F2,若 P 为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则椭圆离心率的取值 X 围为.2已知椭圆22221(0)xyabab右顶为 A,点 P 在椭圆上,O 为坐标原点,且 OP 垂直于PA,求椭圆的离心率 e 的取值 X 围.3椭圆）（012222babyax和圆2222cbyx其中c为椭圆半焦距有四个不同的交点,求椭圆的离心率的取值 X 围.考点五：椭圆焦点三角形面积公式的应用 例 14已知椭圆方程012222babyax,长轴端点为1A,2A,焦点为1F,2F,P是椭圆上一点,21PAA,21PFF求：21PFF的面积用a、b、表示 .7/8 分析：求面积要结合余弦定理与定义求角的两邻边,从而利用CabSsin21求面积 变式训练1、若 P 是椭圆16410022yx上的一点,1F、2F是其焦点,且6021PFF,求21PFF的面积.2、已知P是椭圆192522yx上的点,1F、2F分别是椭圆的左、右焦点,若21|2121PFPFPFPF,则21PFF的面积为 A.33 B.32 C.3 D.33 课后作业：一、选择题 1已知 F1,F2,动点 P 满足|PF1|+|PF2|=25,则点 P 的轨迹为 A 圆 B 椭圆 C 线段 D 直线 3 已知方程22111xykk表示椭圆,则 k 的取值 X 围是 A-1k0 C k0 D k1 或 k-1 17、椭圆32x22y=1 与椭圆22x32y=有 相等的焦距 相同的离心率 相同的准线 以上都不对 18、椭圆192522yx与125922yx0k9的关系为 相等的焦距 相同的的焦点 相同的准线 有相等的长轴、短轴 二、填空题 2、椭圆221169xy左右焦点为 F1、F2,CD 为过 F1的弦,则CDF1的周长为_ 4、求满足以下条件的椭圆的标准方程 长轴长为 10,短轴长为 6.8/8 长轴是短轴的 2 倍,且过点 经过点,5、若ABC 顶点 B、C 坐标分别为,AC、AB 边上的中线长之和为 30,则ABC的重心 G 的轨迹方程为_ 6.椭圆22221(0)xyabab的左右焦点分别是 F1、F2,过点 F1作 x 轴的垂线交椭圆于 P点.若F1PF2=60,则椭圆的离心率为_ 7、已知正方形 ABCD,则以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的椭圆的的离心率为_ 椭圆方程为 _.8 已知椭圆的方程为22143xy,P 点是椭圆上的点且1260FPF,求12PFF的面积 9.若椭圆的短轴为 AB,它的一个焦点为 F1,则满足ABF1为等边三角形的椭圆的离心率为 10.椭圆13610022yx上的点 P 到它的左焦点的距离是 12,那么点 P 到它的右焦点的距离是 11已知椭圆)5(125222ayax的两个焦点为1F、2F,且821FF,弦 AB 过点1F,则2ABF的周长.13、中心在原点、长轴是短轴的两倍,一条准线方程为4x,那么这个椭圆的方程为.14、椭圆的两个焦点三等分它的两准线间的距离,则椭圆的离心率e=.15、椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,准线方程为18y,椭圆上一点到两焦点的距离分别为 10 和 14,则椭圆方程为 _.16.已知 P 是椭圆90025922yx上的点,若 P 到椭圆右准线的距离为 8.5,则 P 到左焦点的距离为.19、椭圆12622yx上一点 P 到左准线的距离为 2,则点 P 到右准线的距离为.20、点P为椭圆1162522yx上的动点,21,FF为椭圆的左、右焦点,则21PFPF 的最小值为_,此时点P的坐标为_.
