高考模拟卷难题.pdf

高考模拟卷难题 14.定义：对于定义域为D的函数f(x)，如果存在tD，使得f(t+1)=f(t)+f(1)成立，称 函数f(x)在D上是“T”函数.已知下列函数：f(x)=x1；f(x)=)2(log22x；f(x)=x2(x0)；f(x)=cosx(x0,1)，其中属于“T”函数的序号是 (写出所有满足要求的函数的序号)解：f(x)=x1，1111ttt=t+1+t2+t t2+t+1=0，0，无实数解，不是；2)1(log22t=)2(log22t+3log2)2(32)1(22tt03222 tt，0，是；cos(t+1)=cost+cos=cost-1 cos(t+)=cost-1-cost=cost-1 cost=21 t0,)，t=3t=31，是.CY(长宁)13.已知函数f(x)的定义域为 R，且对任意 xZ，都有 f(x)=f(x-1)+f(x+1)，若 f(-1)=2，f(1)=3，则 f(2012)+f(-2012)=-5 .解：f(x+1)=f(x)-f(x-1)=f(x-1)-f(x-2)-f(x-1)=-f(x-2)，即 f(x+3)=-f(x)，f(x+6)=-f(x+3)=f(x)，T=6，f(2012)+f(-2012)=f(6335+2)+f(-2012+6336)=f(2)+f(4)=f(3)=f(2)-f(1)=-f(0)=-5.14.把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列 na，若2011na，则n 1028第n行有n个数，最后上个是n2,452=2025,2011 在第 45 行的倒数第 8 个,n=1+2+45-7=1028 12.有 这 么 一 个 数 学 问 题：“已 知 奇 函 数 xf的 定 义 域 是 一 切 实 数R,且 22,22mfmf，求m的值”。请问m的值能否求出，若行，请求出m的值；若不行请说明理由(只需说理由).解：不行，因为奇函数不一定是 x 与 y 对应的，如 y=2sinx，使 y=2 的 x 值有无穷多个.13.对于数列 na，如果存在最小的一个常数*NTT，使得对任意的正整数恒有nTnaa成立，则称数列 na是周期为T的周期数列。设*,NrTqmrqTm，数列前rTm,项的和分别记为rTmSSS,，则rTmSSS,三者的关系式 .解：显然余数r102，不满足题意，因此k13 从ak到a13共 13-(k-1)=14-k项，从a14到ak+19共k+19-13=k+6 项，ak+ak+1+ak+19=(13-k)+(12-k)+(11-k)+1+0+1+2+(k+6)=)6()14(26120)13(kkkk=102(13-k)(14-k)+(k+6)(k+7)=204 k2-27k+182+k2+13k+42=2042k2-14k+20=0k2-7k+10=0k=2 或k=5.14.设函数 Nnnxfxfxfxfxfnnnx,1,)(,)(2112101|210,则方程 nnnxf)(21有 2n+1 个实数根.解：令nnng)()(21，问题化为观察)(xfn与)(ng图像的交点 有几个.由于)(0 xf是偶函数，故)(xfn是偶函数，只要考虑 x 0 时的交点个数.n=1 时，)(1xf的图像是把)(0 xf的图像下移21，再把x轴下的图像往上翻而得，21max1)(xf，有 1 个零点，以零点为界，)(1xf呈“减增”状态，最后趋于21，如图 1，有 2 个交点；n=2 时，)(2xf的图像是把)(1xf的图像下移221)(，再把x轴下的图像往上翻而得，221max2)(xf，有 2 个零点，以 2 个零点为界，)(2xf呈“减增减增”状态，最后趋于221)(，如图 2，有 22个交点；n=n 2 时，)()()()(2121maxngxfnnnn，且有2n-1个零点 以 2n-1个零点为界，)(xfn呈“减增减增减增”状态，最后趋于n)(21，故)(xfn的每 1 个 零点都对应产生 2 个两函数图像的交点，有 22n-1=2n个交点，再由对称性知 x0)上，另一个顶点(2p,0)，这样的正三角形有（C ）A0 个 B2 个 C4 个 D1 个 解：两个顶点对称于x轴的 2 个正三角形是明显的，现考虑两个顶点不对称于x轴的正三角形是否存在.设P(2p,0)，过P作直线l，l是正三角形过顶点P的 高所在的直线，则l的斜率k存在且不为零，故l的方程为y=k(x-2p)，设与l垂直的直线为l：y=-k1x+b，第一步：让l与y2=2px有交点A、B，且A、B关于l对称：x O y 1 21 31)1(gf1(x)31 图 1：n=1 时 x O y 1 21 161)2(gf2(x)41 图 2：n=2 时 x O 2p y x O P y l l A B H 联立：)2(2)1(21pxybxyk，由(1)，x=kb-ky(3)，代入(2)中，得 y2=2p(kb-ky)y2+2pky-2pkb=0，=4p2k2+8pkb0 k(pk+2b)0(4).设A(x1,y1)，B(x2,y2)，AB中点H(x0,y0)，则y0=221yy=-pk，x0=kb-ky0=kb+k2p，又H也在l上，代入l方程，得 -pk=k(kb+k2p-2p)-p=kb+k2p-2p k2p+kb-p=0(5)，即x0=p，H(p,-pk).第二步，让PAB为正三角形：|PH|=pkkppp1)2(2222,|AB|=|y1-y2|k11=1211k=pkbkp8422211k=kpbp22212k，要使PAB为正三角形，则|PH|=23|AB|pk12=3kpbp2212kp=3kpbp22 p2=3(p2+kpb2)0226pkpb3b+pk=0 b=-3pk，代入(4)k(pk-32pk)=32pk0成立，代入(5)k2p+k(-3pk)-p=02k2p=3p k=26，故这样的正三角形又有 2 个.共有4 个.HK(虹口)13.已知函数axxf 2)(，16)(2xxxg，对于任意的 1,11x都 能找到 1,12x，使得)()(12xfxg，则实数a的取值范围是 -2,6 解：当x-1,1时，设f(x)的值域为F，g(x)的值域为G，则F=-2+a,2+a，而8)3()(2 xxg，在-1,1上递减，G=-4,8，题意即是：对于F中的每一个yf，总的G中的yg与yf相等，如图，故有8242aa-2a 6.14.已知abc，bac，cab成等差数列，则2bac；acb 2；|2|bca中，正确的是 （填入序号）解：bac2=abc+cab2(ac)2=(bc)2+(ab)2=|bc|2+|ab|2 2|bc|ab|=2|ac|b2|ac|b2，、错，而|2|bacca，对.17.定义在R上的函数)(xf，当 1,1(x时，xxxf2)(，且对任意的x满足)()2(xafxf（常数0a），则函数)(xf在区间7,5(上的最小值是（）.A 341a .B 341a .C 341a .D 341a 解：)()2(xafxf)()2()4(2xfaxafxf)()4()6(3xfaxafxf，x(5,7x-6(-1,1，3333412211211)6()6()6()6()(aaaaxxxxfxf，当x-6=21，时)(xf有最小值为341a.18.已知集合RxxxxA,0342，RxxaxaxBx,05)7(20221且，若BA，则实数a的取值范围是（B）.A 0,4 .B 1,4 .C 0,1 .D 1,314 解：A=(1,3)，B中，令f(x)=21-x+a，g(x)=x2-2(a+7)x+5，BA=(1,3)，x y 1-1 y=g(x)y=f(x)-2+a 2+a-4 8 1 3 m n x y=g(x)y=f(x)可令B=m,n，则m 1 且n 3，如图可知：0)3(0)1(0)1(ggf05426905142101aaa31441aaa-4a-1，选B.HP(黄浦)13一个不透明的袋中装有大小形状完全相同的黑球 10 个、白球 6 个(共 16 个)，经过充分混合后，现从中任意摸出 3 个球，则至少得到个白球的概率是 11/14 (用数值作答)解：p=1-316310CC=1411 14.(理科)已知函数)0()0(sin)(|)(2222xxxxxxxxf，m是非零常数，关于x21的方程f(x)=m(mR)有且仅有三个不同的实数根，若、分别是三个根中的最小根和最大根，则sin(3+)=解：画出f(x)的图像如左，方程f(x)=m有且仅有三个不同的实数根，则m=1，最大根=23，最小根是方程x2+x=1 的小根，解得=251，sin(3+)=251sin(3+23)=45121251)(.13.记时当时当babbaaba,min，已知函数34,12min)(222xxttxxxf是偶函数(t为实常数)，则函数)(xfy 的零点为 1,3 .(写出所有零点)解：令h(x)=x2+2tx+t2-1，g(x)=x2-4x+3，先画出函数 g(x)=(x-2)2-1 的图像，h(x)、g(x)的图像都可以 由y=x2的图像平移面得，h(x)与g(x)的图像相同，故要使f(x)为偶函数，则h(x)与g(x)的图像应关于 y轴对称，从而h(x)与g(x)的零点也关于y轴对称，易知g(x)=x2-4x+3 的零点为 1、3，h(x)的零点为-1、-3.14.已知函数axxxxf11)(的图像关于垂直于x轴的直线对称，则a的取值集合是 .解：若-1a1，则1,31,21,21,3)(xaxxaaxaxxaxxaxf，其图像呈“剑”形，如图，对称轴为x=a，则a=211=0，同理：若a1 时，对称轴是x=1，-1+a=2a=3.18.若xyyx4)(22cos，则x、y满足的条件是 (B)(A)x=y且x0 (B)x=y且x 0 或x=-y且x 0 (C)xy且x 0 (D)x=y且xb0)）被围于 由4条直线x=a，y=b所围成的矩形ABCD内，任取椭圆上一点P，若OBnOAmOP(m、Rn)，则m、n满足的一个等式是 m2+n2=1/2 解：设P(x,y)，由OBnOAmOP(x,y)=m(a,b)+n(-a,b)=(am-an,bm+bn)()(nmbynmaxnmnmbyax1)()(222222byaxnmnmm2+n2=21.14将正奇数排成下图所示的三角形数表：其中第i行第j个数记为ija(i、*Nj)，例如1542a，若2011ija，则 ji 61 解：第i行有i个数，由数表结构知，最后一个数aii=i(i+1)-1，令aii 2011i(i+1)2012i45，i=45时，a4545=4546-1=2069，设a45j=2011，则a4545-a45j=(45-j)22069-2011=(45-j)2 j=16，i+j=61.17.设ba 0，则函数)(|bxaxy的图像大致形状是(B )(A)(B)(C)(D)解：f(0)=-ab0A、D 都错；当axb时，y=(x-a)(x-b)0C 错 18.若直线04 byax和圆422 yx没有公共点，则过点),(ba的直线与椭圆14922yx 的公共点个数为(C )(A)0 (B)1 (C)2 (D)需根据a、b的取值来确定 解：由条件，得2224ba222ba点P(a,b)在圆422 yx内，从而P也在椭圆 14922yx内，B 对.LW(卢湾)A B C D O y x 1 3，5 7，9，11 13，15，17，19 O a b y x b a O x y b a O x y b a O x y 4.30.30.14.4 4.5 4.64.74.8 4.95.15.05.2频率 组距 视力 12.为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，那么最大频率为 0.27 ，视力在4.6到5.0之间的学生数为 78 解：由频率分布直方图知组矩为 0.1，4.34.4 间的频数为 1000.10.1=1 4.44.5 间的频数为 1000.10.3=3 又前 4 组的频数成等比数列，公比为 3根据后 6 组频数成等差数列，且共有 100-13=87 人 从而 4.64.7 间的频数最大，且为 133=27，a=0.27，设公差为 d，则 627+d=87 d=-5，从而 b=427+(-5)=78 故答案为：0.27，78 13已知函数)1,0()(bbcabxfx，x0,+)，若其值域 为-2,3)，则该函数的一个解析式可以为)(xf=3)(521x 解：先由条件画出f(x)的图像，应有：f(x)，且当x+时，f(x)3，故应有bx0，0b1 且a0，c=3，故取b=21；f(0)=-2，a+c=-2，a+3=-2 a=-5.故取3)(5)(21xxf.14若对于满足-1t 3 的一切实数t，不等式0)3()3(222ttxttx恒成立，则x的取值范围为 (-,-4)(9,+)解：原不等式化为0)3()(2txtx，03)(3)3(4122122ttttt，xt2，x(t2)max=9.18已知函数f(x)=|x2-1|，若 0 xy，且f(x)=f(y)，则（D ）(A)24xy(0 x2)(B)24xy(0 x2)(C)22xy(0 x2)(D)22xy(0 x1)解：f(x)=f(y)|x2-1|=|y2-1|x2=y2(与 0 xy不合，舍去)，或x2-1=1-y2 x2+y2=2，0 xy，22xy(0 x1，a46，S3 12，则a2012=4024 解：a1+a4=a2+a37，S3=a1+a2+a31+7=8，设公差为d，则S3=3a2=3(a1+d)，而已知S3 12，81，a1 2，d 1，又a46a1+3d 7，由上知：a1=2，d=2，a2012=2+20112=4024.12.(文)若函数y=f(x)(xR)满足f(x)=f(x+2)，且当x-1,1时，f(x)=x2，则函数g(x)=f(x)-|lgx|的零点个数为 10 个 解：由f(x)=f(x+2)T=2，g(x)=0，即f(x)|lgx|，g(x)的零点，即是y=f(x)与y=|lgx|交点的横坐 x y O-2 3 1 3 5-1 7 9 10 1 x y O 1 2 3 4 标，在同一坐标系中画出两个函数的图像，由图可知有 10 个交点.(理)若偶函数y=f(x)(xR)满足f(1+x)=f(1-x)，且当x-1,0时，f(x)=x2，则函数g(x)=f(x)-|lgx|的零点个数为 10 个 解：f(1+x)=f(1-x)f1+(1+x)=f1-(1+x)f(x+2)=f(-x)f(x)T=2，下 同(文)题.13(文)如图，矩形OABC中，AB=1，OA=2，以BC中点E为圆心，以 1 为半径在矩形内部作四分之一圆弧CD(其中D为OA中点)，点P是弧CD上一动点，PMBC，垂足为M，PNAB，垂足为N，则四边形PMBN的周长的最大值为 22+2 解：连EP，则EP=1，设CEP=,(0,2，则MP=EPsin=sin，EM=EPcos=cos，MB=ME+EB=cos+1，四边形PMBN的周长L=2(MP+MB)=2(sin+cos+1)=22sin(+4)+1，当=4时，Lmax=22+2.(理)如图，矩形OABC中，AB=1，OA=2，以B为圆心、BA为半径在矩形内部作弧，点P是弧上一动点，PMOA，垂足为M，PNOC，垂足为N，则四边形OMPN的周长的最小值为 6-22 解：如图，PE=DB=BPcos=cos，PD=BPsin=sin，PN=2-cos，PM=1-sin，四边形OMPN的周长L=2(2-cos+1-sin)=23-2sin(+4)，当=4时，Lmin=6-22.14(文)在一圆周上给定 1000 个点，如图，取其中一点，标记上数 1，从这点开始按顺时针方向数到第二个点，标记上数 2，从标记上 2 的点开始按顺时针方向数到第三个点，标记上数 3，继续这个过程直到 1，2，3，2012 都被标记到点上，圆周上这些点中有些可能会标记上不止一个数，在标上 2012 的那一点上的所有数中最小的数是 解：标记数 1 用去一个点，标记数 2 时又用去了 2 个点，标记数 3 时又用去了 3 个点，标记数 2010 时又用去了 2010 个点，故到 2012 被标记到点上时共用去了：1+2+3+2012=220132012=20251000+78，1000 个点为一圈，转了 2025 圈多余 78 点，故被标上 2012的那一点是第一个被标记数 1 的点(算作第 1 点)后的第 78 个点，显然在第一圈时被标上的数n是最小的，由 1+2+n=782)1(nnn(n+1)=1213n=12.(理)已知线段AB上有 10 个确定的点（包括端点A与B）现对这些点进行往返标数（从ABAB进行标数，遇AB123564f(x)偶 O A B C M N P D E O A B C M N P D E 到同方向点不够数时就“调头”往回数）如图：在点A上标 1，称为点 1，然后从点 1 开始数到第二个数，标上 2，称为点 2，再从点 2 开始数到第三个数，标上 3，称为点 3（标上数n的点称为点n），这样一直继续下去，直到 1，2，3，2012 都被标记到点上则点 2012上的所有标数中，最小的是 3 解：从图中看出有如下规律：A点标记数除 1 外都是左行数，是两串数，公差 都是 12，一串是 12n-2，另一串是 12n+1；B点标记数都右行数，也是两串数，公差是 12，一串是 12n-8，另一串是 12n-5，2011=12168-5，故点 2011 在B点，然后按左右左右 数 2012 个数，在A点数到的数是 9 的奇数倍，即 9(2n-1)=18n-9，B点数到的数是 9 的偶数倍，即 92n=18n，2007=18112-9，数 2007 在A点数到，再向右 数 5 个数，即到点 3，就是点 2012.17已知关于x、y的二元一次线性方程组的增广矩阵为222111cbacba，记),(21aaa,),(21bbb,),(21ccc，则此线性方程组有无穷多组解的充要条件是(B)(A)0cba (B)a、b、c两两平行 (C)ab (D)a、b、c方向都相同 18(文)设1x、2x是关于x的方程0122mmxx的两个不相等的实数根，那么过两点),(211xxA、),(222xxB的直线与圆122 yx的位置是(B)(A)相离 (B)相切 (C)相交 (D)随m的变化而变化 解：21212221xxkxxxxAB，直线AB：)(12121xxxxxy，即 0)()(2112121xxxxyxxx，即0)(2121xxyxxx，圆心(0,0)到AB的距离d=1)(|22111xxxx=1)(|22111xxxx，由韦达定理，mxx21,2211mxx,d=11122mm，即d=r，故相切.(理)设1x、2x是关于x的方程022mmmxx的两个不相等的实数根，那么过两点),(211xxA、),(222xxB的直线与圆1)1(22yx的位置关系是(D)(A)相离 (B)相切 (C)相交 (D)随m的变化而变化 解：21212221xxkxxxxAB，直线AB：)(12121xxxxxy，即 0)()(2112121xxxxyxxx，即0)(2121xxyxxx，圆心(1,0)到AB的距离d=1)(|2211121xxxxxx，由韦达定理，mxx21,mmxx221，d=1|22mmmm=122mm，取m=0，则d=0相交；取m=2，则d=154相离.故选 D.PD(浦东)13.函数),2,(cossin)(*RxnNnxxxfnn的最小正周期为_.解：1 当n为正奇数时，f(x+2)=f(x)，所以 2是f(x)的一个周期.以下找更小的正周期T：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 A B 令f(x)=00cossinxxnn，显然0cosxn，故等式两边同除以xncos，得01tanxn1tanxn1tanx43 kx，kZ.若T=，取x1=0，则f(x1)=f(0)=1，f(x1+T)=f()=-1，f(x1+T)f(x1)，所以不是f(x)的周期；若T=p(0,2)且p，取x2=p43，则x243k，f(x2)0，但f(x2+p)=0，所以p不是f(x)的周期.综上，当n为正奇数时，f(x)的最小正周期是 2.2 当n为正偶数时，nnxxxf)cos()sin()(222nnxxsincos)(xf,所以2是f(x)的一个周期，以下找更小的正周期T：若T=q(0,2)，取x0=2-q，则x0(0,2)，0sin x、0cosx(0,1)，020sinsinxxn，020coscosxxn，f(x0)=1cossincossin00200 xxxxnnn，即f(x0)1，但f(x0+q)=f(2)=22cossinnn=1，所以q不是f(x)的周期.综上，当n为正偶数时，f(x)的最小正周期是2.14.若X是一个非空集合，M是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：XM、M；对于X的任意子集A、B，当AM且BM时，有ABM；对于X的任意子集A、B，当AM且BM时，有ABM；则称M是集合X的一个“M集合类”.例如：,cbacbcbM是集合,cbaX 的一个“M集合类”.已知集合,cbaX，则所有含,cb的“M集合类”的个数为 12 .解：,cbaX 的子集有 8 个，为：,a,b,c,ba,ca,cb,cba.M中必含、,cb、,cba，另 5 个元素a,b,c,ba,ca的分配，注意到,ba,cb=b，,ca,cb=c，,ba,ca=a，故若,ba在M中，则b也在M中，,ca在M中，则c也在M中，,ba与,ca在M中，则a也必在M中.故对这 5 个元素在M中的搭配情况进行分类：5 个都不取，即0M=,cbacb，1 个；从a、b、c中各取一个充入0M，有 3 个；从,bab、,cac、bc中各取一个充入0M，有 3 个；从,baba、,babc、,caca、,cabc中各取一个充入0M，有 4 个；把,ba,caabc充入0M，有 1 个.故共有 12 个.17动点P从点)0,1(出发，在单位圆上逆时针旋转角，到点),(32231M，已知角 的始边在x轴的正半轴，顶点为(0,0)，且终边与角的终边关于x轴对称，则下面 结论正确的是 （D）A.Zkk,arccos231 B.Zkk,arccos231 C.Zkk,arccos231 D.Zkk,arccos231 解：由题意，31arccos，Zkk,2arccos31 x y O 终边 终边 18已知共有k(kN*)项的数列an，a1=2，定义向量),(1nnnaac、)1,(nndn (n=1,2,3,k-1)，若|nndc，则满足条件的数列na的个数为 （C ）A.2 B.k C.12k D.2)1(2kk 解：|nndc 22212)1(nnaann)()1(22221nanann，031221a,122221)1(nanann22nan为等比数列，122)1(3nnna122)1(3nnna,n 2 时，n2 4，0)1(312nn，故当n 2 时，nnna)1(32，即始终有两种选择，an有12k个.PT(普陀)12.(理)若一个底面边长为23，侧棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一 个球面上，则此球的体积为 .解：如图，球心必是正六棱柱最长对角线的中点，故 MN 是直径，且MPN=90，PN=23233，PM2=(23)2+(6)2=427，MN2=942749MN=3，球 半径R=23，V球=2982734334R.13.用红、黄、蓝三种颜色分别去涂图中标号为 1,2,3,9 的 9 个小正方形(如图)，需满足任意相邻(有公共边的)小正方形所涂的颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法中，恰好满足“1、3、5、7、9”为同一颜色，“2、4、6、8”为同一颜色的概率为 1/18 .解：求n()：第一步：涂 1、5、9，有 3 种方法；第二步：涂 2、6、3，类，2、6 同色：涂 2、6，有 2 种(如 1 涂红，则 2、6 可黄黄或蓝蓝)，涂 3，有 2 种(3 与 2 不同色，但可与 1 同色).故有 22=4 种；类，2、6 不同色：涂 2、6，有 2 种(如 1 涂红，则 2、6 可黄蓝或蓝黄)，涂 3，只有 1 种(只能与 1 同色).故有 2 种；第二步：涂 4、8、7，与涂 2、6、3 一样，有 4+2=6 种.故共有n()=366=108.求n(A)：把“1、3、5、7、9”看作一块，“2、4、6、8”看作另一块，用 3 种颜色涂这 2 块，n(A)=623P，P(A)=1811086)()(nAn.14.设nN*，an表示关于x的不等式12)45(loglog144nxxn的正整数解的个数，则数列an的通项公式an=314n+1 .解：12)45(loglog144nxxn1214)45(nnxx04451212nnxx 0)44)(4(11nnxx11444nnx，xN*，x=14n,14n+1,14n+2,14n+314n,共有 314n+1 个，故an=314n+1.1 2 3 4 5 6 7 8 9 M N P QP(青浦)12已知二次函数)(xfy 的图像为开口向下的抛物线，且对任意Rx都有)1(xf)1(xf若向量)1,(ma，)2,(mb，则满足不等式)1()(fbaf的m取值范围为 0,1)解：对称轴为直线x=1，2mba，)1()(fbaf，则|(m+2)-1|1-(-1)|m+1|2-2m+12-3m1，又m 0，0m1.13已知平面区域|)|(|4:221yxyxC，则平面区域1C的面积 为 解：易知，区域关于两坐标轴都对称，当x 0、y 0 时，不等式化为)(4:22yxyx，即8)2()2(22yx，画出图形如右，其区域是一个半圆加一个 等腰直角三角形AOB，面积为821+4421=8+4，故区域1C的面积为 32+16.14直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数)(xf的图象恰好经过k个格点，则称函数)(xf为k阶格点函数.下列函数：xxfcos)(；3)1()(2xxf；xxf)()(31；.log)(32xxf其中是一阶格点函数的有 (填上所有满足题意的序号)解：对于，xxfcos)(-1,1，令 cosx=-1x=2k+(kZ)，x都不为整数；令 cosx=0 x=k+2(kZ)，x都不为整数；令 cosx=1x=2k(kZ)，有唯一整数x=0，故是.对于，唯有x=1 时，y=3，故是.对于，有多个格点：(0,1)、(-1,3)，不是.对于，化为x=y)(32，当且仅当y=0 时，x=1，故是.17函数)0,0)(cos(3xy为奇函数，BA、分别为函数图像上相邻的最高点与最低点，且4AB，则该函数的一条对称轴为（A）A.1x .B2x C.2x D.2x 解：如图，4AB2AC，又3AD，1CDT=4224，y=f(x)是奇函数，且f(0)存在f(0)=0cos=0,又 00 x0，正确；不正确，定义域不关于原点对称；x0 时，真数u=12xx=2111xxlgu lg21=-lg2，正确；x(0,1)时，x+x1 且0u=xx11 lgu，x(1,+)时，x+x1 且0u=xx11lgu，故正确.14(理)设正数数列an的前n项和为Sn，且存在正数t，使得对于所有自然数n，都有2natntS 成立，若tnnaSnlim，则t的取值范围为t ),(223 解：2natntS4)(2natntS(1)，4)(121natntS(n 2)(2)，(1)-(2)4)(4)(212nnatatnta 0)(4)(212tatatannn0)()(212tatann0)(11tatatatannnn 0)2)(11taaaannnn，an0，an-an-1=2tan是等差数列，在4)(2natntS中令n=1，得4)(121atta0)(21taa1=t，an=t+(n-1)2t=2nt-t，又由2natntStnStnttatnn222 tttnttnnaSnnn212limlim21tt413t223t.14.(文)对于函数)(xf，若存在区间)(,babaM，使得MMxxfyy),(，则称区间M为函数)(xf的一个“稳定区间”给出下列 4 个函数：xexf)(；3)(xxf；xxf2cos)(；1lg)(xxf 其中存在“稳定区间”的函数的序号是 解：只要考虑直线y=x与函数f(x)图像的交点，如果有两个不同交点，则存在“稳定区间”，否则，就不存在.xex无解，故不是；由xx 3x=0,1，是的；画出图像，知不是；令F(x)=lgx+1-x，F(1)=0，F(0.1)=0.10，函数1lgxy与xy 的图像有两个不同交点，如右图，故是.17(理)已知cba,都是正数，则三数acbcba111,（D ）x y O 1 2-2-1 y 1 1 x O A B C O M N A都大于 2 B都小于 2 C至少有一个不大于 2 D至少有一个不小于 2 解：取a=b=c=1，则acbcba111,均为 2，去 A、B，取a=b=c=2，则acbcba111,均为 5/2，去 C.故选 D.(以下证明 D 是对的，假设 D 错，则acbcba111,均小于 2，则6111acbcba(1)另一方面，由cba,均为正数，得6222)()()(111cbacba(2)，(1)与(2)产生矛盾，假设 D 错是不对的，即 D 正确.18(理、文)直线ky 与曲线0|22222yxkxk(kR且k 0)的公共点的个数为(B )A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 解：以y=k代入曲线方程，得0|22222kxkxk，k 0，01|22xx，即01|2|2xx|x|=212222，故交点为(1+2,k)和(-1-2,k).XH(徐汇)8.已知函数f(x)=x2-1 的定义域为D，值域为-1,0,1,3，试确定这样的集合D最多有 个 解：值域为-1,0,1,3，则x的所有可取的值是 0，-1，1，-2，2，-2，2 共 7 个.D至少是 4 元集，至多是 7 元集，以下分类：1 D是 4 元集，0 必取，另 3 元是1、2、2 中各取其一，有 222=8 个；2 D是 5 元集，0 必取，确定取一对相反数，有 3 种，取另外 2 数，有 22=4 种，故共有34=12 个；3 D是 7 元集，7 个数全取，有 1 个；4 D是 6 元集，只要从 7 元集中去掉除 0 以外的 1 个，有 6 种去法，故有 6 个.综上，D 的个数最多为 8+12+1+6=27 个.9.已知ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，向量),(bam，)2,2(abp，若pm，边长c=2，角C=3，则ABC的面积是 3 .解：pm a(b-2)+b(a-2)=0ab=a+b(1)，由余弦定理，得c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-3ab,以c=2 及(1)代入，得 4=(ab)2-3ab(ab)2-3ab-4=0 ab=4，S=Cabsin21=3.10.已知函数f(x)=logax+x-b(a0,a 1)，当 2a3b4 时，函数f(x)的零点x0(n,n+1)(nN*)，则n=2 .解：取a=2.5，b=3.5，f(x)=log2.5x+x-3.5，f(1)0，f(2)0，x0(2,3)n=2.11.已知各项为正数的等比数列an满足a7=a6+2a5，若存在两项am、an，使得122aaanm，则nm41的最小值为 9/5 解：设 公 比 为q(q0)，由a7=a6+2a5a5q2=a5q+2a5q2-q-2=0(q0)q=2，由122aaanm 211111822aaanm82211nmm+n-2=3m+n=5，nm41=51)(41nmnm=5159514)425()(5nmmn，易知等号能成立.12.如图所示：ABC中，点O是BC中点.过点O的直线分别 交直线AB、AC于不同两点M、N.若AMmAB，ANnAC，则m+nnP nQ nBnA 11O yx的值为 .解：法 1：极限法：令MB，则NC，m1，n1，m+n2.法 2：直接求：AMmAB)(OAOMmOAOBOAmOMmOB)1(,ANnAC)(OAONnOAOCOAnONnOC)1(,+OAnmONnOMm)2(0,OMON，ONOM()0，OAnmONnONm)2(0，即0)2()(OAnmONnm，ON不平行于OA，020nmnmm+n=2.13.设f(x)是定义在R上的偶函数，对任意xR，都有f(x-2)=f(x+2)且当x-2,0时，1)()(21xxf.若函数)1)(2(log)()(axxfxga在区间(-2,6恰有 3 个不同的零点，则a的取值范围是 .解：f(x-2)=f(x+2)f(x-2)-2=f(x-2)+2=f(x)，f(x)的周期为 4，又f(x)是偶函数，可先画出f(x)在-2,2上的图像，再向右平移 4 个单位得2,6的图像.函数g(x)在(-2,6有 3 个零点，等价于 函数y=f(x)与h(x)=loga(x+2)在的(-2,6的图像有 3 个交点，如图 可知：3)6(3)2(hh33log38loglog34logaaaaaa(a1)8433aa243 a 14.如图所示：矩形AnBnPnQn的一边AnBn在x轴上，另两个 顶点Pn、Qn在函数)0()(212xxfxx的图像上(其中点 Bn的坐标为(n,0)(n 2,nN*)，矩形AnBnPnQn的面积记为 Sn，则nnSlim=2 .解：212nnPny，设txnA，则221212nntt，n t0，ntnt1122，t=n1，Sn=(n-n1)212nn =1)1(21212222nnnnnnnnSlim=2.18.由9 个互不相等的正数组成的矩阵333231232221131211aaaaaaaaa中，每行中的三个数成等差数列，且a11+a12+a13、a21+a22+a23、a31+a32+a33成等比数列，下列四个判断正确的有（A）第 2 列a12,a22，a32必成等比数列 第 1 列a11,a21，a31不一定成等比数列 a12+a32a21+a23 若 9 个数之和等于 9，则a22a21+a23a12+a322a22，正数a12,a22，a32成等比数列，且互不相等，-2 2 x y O 4 6 3 h(x)=loga(x+2)y=f(x)a12+a32222232122 aaa=2a22；正确。9个数之和等于9，即3(a12+a22+a32)=93=(a12+a32)+a222a22+a22=3a221a22.YP(杨浦)12.已知0,0yx且112yx,若mmyx222恒成立,则实数m的取值范围是(-4,2)解：84244)(2(2412yxxyyxyxyx，易知等号能成立，8)2(minyx,故822 mm0)2)(4(mm24m.13.设函数)12(log)(2xxf的反函数为)(1xfy，若关于x的方程)()(1xfmxf 在1,2上有解，则实数m的取值范围