(浙江专用)2020版高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量第2讲空间几何体的表面积与体积练习(.pdf
第 2 讲 空间几何体的表面积与体积 基础达标 1(2019嘉兴期中)某球的体积与表面积的数值相等，则球的半径是(）A1 B2 C3 D4 解析：选 C.设球的半径为r,则球的体积为 错误!r3，球的表面积为 4r2。因为球的体积与其表面积的数值相等,所以错误!r34r2，解得r3。2(2019义乌模拟)某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(）A124错误!B188错误!C28 D208错误!解析：选 D.由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如图 则该几何体的表面积为S2错误!224222错误!4208错误!，故选 D。3（2019浙江高校招生选考试题)如图（1），把棱长为 1 的正方体沿平面AB1D1和平面A1BC1截去部分后,得到如图（2)所示几何体，则该几何体的体积为(）A错误!B错误!C错误!D错误!解析:选 B。把棱长为 1 的正方体沿平面AB1D1和平面A1BC1截去部分后，得到几何体的体积:VVABCDA1B1C1D1VA.A1B1D1VB.A1B1C1VNA1B1M 111错误!错误!1错误!错误!1错误!错误!错误!错误!.4（2019金华十校联考)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为 1 的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为（)A错误!B错误!C3 D3 解析：选 A.由题意得,该几何体为四棱锥，且该四棱锥的外接球即为棱长为 1 的正方体的外接球，其半径为32，故体积为43错误!错误!错误!，故选 A。5若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是()A48 B48 C482 D482 解析：选 A。该几何体是正四棱柱挖去了一个半球，正四棱柱的底面是正方形(边长为2)，高为 5，半球的半径是 1，那么该几何体的表面积为S2222451221248,故选 A。6（2019台州四校高三联考)一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M是AB 上的动点,记四面体EFMC的体积为V1，多面体ADF。BCE的体积为V2，则错误!(）A14 B错误!C错误!D不是定值,随点M位置的变化而变化 解析：选B。由三视图可知多面体ADF。BCE是直三棱柱，其底面是等腰直角三角形(直角边长为a)，且四边形DFEC与四边形ABCD都是正方形，它们的边长均为a.因为M是AB上的动点，且易知AB平面DFEC，所以点M到平面DFEC的距离等于点B到平面DFEC的距离,为a，所以V1VE。FMCVM.EFC错误!错误!aaa错误!，又V2错误!aaa错误!，故错误!错误!错误!，故选 B。7.(2019宁波市余姚中学期中检测)某几何体的三视图如图所示(单位：cm),则该几何体的体积为_ cm3,表面积为_cm2。解析:由三视图可知：该几何体是由一个半球去掉14后得到的几何体 所以该几何体的体积34错误!错误!13错误!cm3.表面积错误!错误!412错误!12错误!12错误!cm2.答案：错误!错误!8(2019瑞安市龙翔高中高三月考）一个正四棱锥的所有棱长均为 2，其俯视图如图所示，则该正四棱锥的正视图的面积为_，正四棱锥的体积为_ 解析：由正四棱锥的俯视图,可得到正四棱锥的直观图如图，则该正四棱锥的正视图为三角形PEF(E，F分别为AD，BC的中点），因为正四棱锥的所有棱长均为 2，所以PBPC2，EFAB2，PF错误!，所以PO错误!错误!错误!，所以该正四棱锥的正视图的面积为错误!2错误!错误!；正四棱锥的体积为1322错误!错误!.答案：错误!错误!9(2019温州市高考模拟）已知某几何体的三视图如图所示(单位：cm），则此几何体的体积为_,表面积为_ 解析：根据三视图可知几何体是一个四棱锥，底面是一个边长为 2 的正方形,PE平面ABCD，且PE2，其中E、F分别是BC、AD的中点，连接EF、PA，所以几何体的体积V错误!222错误!，在PEB中,PB错误!错误!,同理可得PC错误!，因为PE平面ABCD，所以PECD，因为CDBC，BCPEE,所以CD平面PBC,则CDPC，在PCD中，PD错误!错误!3，同理可得PA3，则PFAD，在PDF中，PF错误!错误!2错误!，所以此几何体的表面积S22错误!222错误!2错误!错误!22错误!62 52 2.答案:错误!62错误!2错误!10已知球O的表面积为 25，长方体的八个顶点都在球O的球面上,则这个长方体的表面积的最大值等于_ 解析:设球的半径为R，则 4R225，所以R错误!，所以球的直径为 2R5，设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则长方体的表面积S2ab2ac2bca2b2a2c2b2c22（a2b2c2）50。答案:50 11。如图所示，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为 1 的正方形，且ADE，BCF均为正三角形，EFAB，EF2，求该多面体的体积 解：如图，分别过点A、B作EF的垂线，垂足分别为G、H，连接DG、CH，容易求得EGHF错误!，AGGDBHHC错误!，所以SAGDSBHC错误!错误!1错误!,所以该多面体的体积VVE。ADGVF。BHCVAGD。BHC 错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!1错误!。12.如图,为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作 4 个全等的矩形骨架,总计耗用 9。6 米铁丝，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)(1)当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值（结果精确到 0.01 平方米）;(2)若要制作一个如图放置的、底面半径为 0.3 米的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）解:(1）由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为 错误!1.22r，所以塑料片面积Sr22r（1.22r）r22.4r4r23r22.4r 3（r20。8r)所以当r0.4 米时，S有最大值，约为 1.51 平方米(2）若灯笼底面半径为 0.3 米,则高为 1.220。30。6(米)制作灯笼的三视图如图 能力提升 1在封闭的直三棱柱ABC。A1B1C1内有一个体积为V的球若ABBC，AB6，BC8,AA13,则V的最大值是（）A4 B错误!C6 D错误!解析:选 B。由题意可得若V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若与三个侧面都相切，可求得球的半径为 2，球的直径为 4,超过直三棱柱的高，所以这个球放不进去，则球可与上下底面相切，此时球的半径R错误!，该球的体积最大，Vmax错误!R3错误!错误!错误!。2(2019瑞安市龙翔高中高三月考）如图,已知在四棱锥P。ABCD中，底面ABCD是菱形，PA底面ABCD,AB1，PAAC1，ABC错误!，则四棱锥P.ABCD的体积V的取值范围是（）A错误!B错误!C错误!D错误!解析：选 A。由已知，四边形ABCD的面积Ssin，由余弦定理可求得AC错误!，所以PA错误!，所以V错误!错误!，所以V错误!错误!错误!错误!.所以,当 cos 0，即错误!时，四棱锥P。ABCD的体积V的最小值是错误!；当 cos 1，即0 时，四棱锥P.ABCD的体积V的最大值是错误!.因为 0错误!，所以P。ABCD的体积V的取值范围是错误!。3(2019浙江名校协作体高三联考)某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是错误!cm3，则正视图中的x的值是_cm，该几何体的表面积是_cm2。解析：由三视图可知,该几何体是底面为直角梯形的四棱锥，其直观图如图所示，由棱锥的体积公式得，13错误!(12）错误!x错误!x2，侧面ADS，CDS，ABS为直角三角形，侧面BCS是以BC为底的等腰三角形，所以该几何体的表面积为 S错误!（12）错误!22错误!21错误!2错误!错误!。答案：2 错误!4如图，在ABC中，ABBC2,ABC120.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PDDA，PBBA，则四面体PBCD的体积的最大值是_ 解析：由ABBC2,ABC120，可得AC2错误!，要求四面体PBCD的体积，关键是寻找底面三角形BCD的面积SBCD和点P到平面BCD的距离h.易知h2.设ADx，则DPx，DC2错误!x，SDBC错误!（2错误!x）2sin 30错误!，其中x(0，2错误!），且hx，所以VPBCD错误!SBCDh错误!h错误!x错误!错误!错误!错误!，当且仅当 2错误!xx，即x错误!时取等号故四面体PBCD的体积的最大值是12.答案:错误!5已知一个几何体的三视图如图所示 (1)求此几何体的表面积；（2)如果点P,Q在正视图中所示位置，P为所在线段中点，Q为顶点，求在几何体表面上，从P到Q点的最短路径的长 解：(1）由三视图知该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体,其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和 S圆锥侧错误!（2a)（错误!a)错误!a2，S圆柱侧(2a)（2a）4a2,S圆柱底a2，所以S表错误!a24a2a2（错误!5)a2。（2)沿P点与Q点所在母线剪开圆柱侧面，如图 则PQ错误!错误!a错误!,所以从P点到Q点在侧面上的最短路径的长为a错误!.6已知底面为正三角形的三棱柱内接于半径为 1 的球，求此三棱柱的体积的最大值 解:如图，设球心为O，三棱柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,底面正三角形的边长为a,则AO123错误!a错误!a.由已知得O1O2底面，在 RtOAO1中,由勾股定理得OO1 错误!错误!,所以V三棱柱错误!a22错误!错误!,令f（a)3a4a6(0a2)，则f（a)12a36a5 6a3（a22)，令f(a)0,解得a错误!。因为当a（0，错误!）时,f（a）0;当a(错误!，2）时，f（a)0，所以函数f（a）在（0，错误!）上单调递增，在（错误!，2）上单调递减 所以f(a）在a错误!处取得极大值 因为函数f(a)在区间（0，2）上有唯一的极值点，所以a 2 也是最大值点所以(V三棱柱）max错误!1。尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。This article is collected and compiled by my colleagues and I in our busy schedule.We proofread the content carefully before the release of this article,but it is inevitable that there will be some unsatisfactory points.If there are omissions,please correct them.I hope this article can solve your doubts and arouse your thinking.Part of the text by the users care and support,thank you here!I hope to make progress and grow with you in the future.
