线性代数(同济第5版)复习要点.pdf
第 1 页 共 9 页 线性代数(同济第 5 版)复习要点 以矩阵为工具，以线性方程组问题为主线 第一章 行列式 基本结论 1行列式的性质（1）互换行列式的两行，行列式变号.（2）行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.（3）把行列式的某一行的各元素乘以同一数然后加到另一行对应的元素上去，行列式不变.2行列式按行（按列）展开 定理 3 行列式等于它的任一行的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 ininiiiiAaAaAaD2211 ),2,1(ni 3克拉默法则 如果线性方程组的系数行列式不等于零，即 0212222111211nnnnnnaaaaaaaaaD 那末，线性方程组有唯一的解,2211DDxDDxDDxnn 主要计算 计算行列式：1数字行列式化为上三角形；2计算有规律的n 阶行列式.例 1（例 7）计算行列式 3351110243152113D 2（例 8）计算行列式 3111131111311113D P.26，4(2)(4)，6(2)(4)(5)，8 第二章 矩阵及其运算 基本概念 注意：1矩阵可乘条件、乘法规则 2.矩阵乘法不满足交换律BAAB 3矩阵乘法有零因子出现：OBOA,，但却有OAB 4消去律不成立：ACAB，推不出CB 第 2 页 共 9 页 基本结论 1转置(i)AATT)(ii)TTTBABA)(iii)TTkAkA)(iv)TTTABAB)(2方阵的行列式(i)|AAT（行列式性质 1）；(ii)|AAn;(iii)|BAAB 3A的伴随矩阵 EAAAAA|4逆矩阵 是初等矩阵可逆isEEEEAEAnARAA21)(0|推论 若EAB（或EBA），则1 AB 方阵的逆阵满足下述运算规律：（i）若A可逆，则1A亦可逆，且AA11)(.（ii）若A可逆，数0，则A可逆，且111)(AA（iii）若BA,为同阶方阵且均可逆，则AB亦可逆，且 111)(ABAB（iv）若A可逆，则TA亦可逆，且TTAA)()(11 基本计算 用上面基本结论进行简单计算 主要计算 求1A：公式法AAA|11 基本证明 用上面基本结论进行简单证明 例 第 3 页 共 9 页 1.（例 11）求矩阵的逆矩阵343122321A P.54,1，2，4，5，8，9，10，11，12，14，22，23，24 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 基本结论 线性方程组解的判定：1.n元非齐次线性方程组bAX bAX 有解)()(BRAR.有解时，（记rBRAR)()(）（1）nr 时，bAX 有唯一解（2）nr 时，bAX 有无穷多解 2齐次线性方程组0AX （0AX是bAX 的特殊情形）由于0AX永远满足)()(BRAR，故0AX总有解（至少有零解）从而（1）nr 时，0AX有唯一零解（2）nr 时，0AX有（无穷多）非零解 基本计算 1会求矩阵的秩 2会用矩阵的秩判别线性方程组有没有解，有解时，有多少解 3会用初等变换求矩阵的逆 初等变换)|()|(1AEEA行；(包括求矩阵方程BAX，用)|()|(1BAEBA行；主要计算 1 设非齐次线性方程组bAX，试问此线性方程组有解吗？若有解，有多少解？2 会用初等变换求矩阵的逆 例 1（例 5）设41461351021632305023A 求矩阵A的秩，并求A的一个最高阶非零子式 2用初等变换求矩阵343122321A的逆矩阵 3（例 13）设有线性方程组,)1(,3)1(,0)1(321321321xxxxxxxxx 问取何值时，此方程组 第 4 页 共 9 页（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无限多个解？并在有无限多解时求其通解 P.78，4，5，7，8，9，10，11，12，13，14，16 第四章 向量组的线性相关性 基本概念 1向量组的线性相关性 向量的线性组合、线性表示、向量组的线性相关与线性无关 向量组的等价 2向量组的秩 极大线性无关组、向量组的秩 3向量空间 向量空间的基的定义、基的求法、向量空间的维数、维数的求法 向量组m,21所生成的向量空间为,|),(21221121RkkkkkkLmmmm 4线性方程组解的结构 齐次线性方程组基础解系、非齐次线性方程组解的结构 基本结论 1线性表出 定理 1 向量b能由向量组A线性表示的充分必要条件是矩阵),(21mA的秩等于矩阵),(21bBm的秩 定理 2 向量组lB,:21能由向量组mA,:21线性表示的充分必要条件是矩阵),(21mA的秩等于矩阵),(),(11lmBA的秩.即),()(BARAR.推论 向量组lB,:21与向量组mA,:21等价的充分必要条件是),()()(BARBRAR 定理 3 设向量组lB,:21能由向量组mA,:21线性表示，则),(),(2121mlRR.2 向量组的线性相关性 定理 4 向量组m,21线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵),(21mA秩小于向量个数m；向量组线性无关的充分必要条件是mAR)(定理 5 （1）若向量组mA,:21线性相关，则向量组11,:mmB也线性相关 （2）m个n维向量组成的向量组，当维数n小于向量个数m时一定线性相关（3）设向量组mA,:21线性无关，而向量组,:21mB线性相关，则向量必第 5 页 共 9 页 能由向量组A线性表示，且表示式是唯一的 3向量组的秩 定理 6 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩 推论（最大无关组的等价定义）设向量组B是向量组A的部分组，若向量组B线性无关，且向量组A能由向量组B线性表示，则向量组B是向量组A的一个最大无关组 4解的结构（1）齐次线性方程组 性质 1 若21,为0Ax的解，则21也是0Ax的解 性质 2 若为0Ax的解，k为实数，则k也是0Ax的解 0Ax的基础解系：rn,1，通解是rnrnkkX11 定理 7 设nm矩阵A的秩rAR)(，则n元齐次线性方程组OAX 的解集S的秩rnRS.（2）非齐次线性方程组 性质 3 设1及2都是bAx 的解，则21为导出组0Ax的解 性质 4 设是方程bAx 的解，是方程0Ax的解，则仍是方程bAx 的解 bAx 的通解是：rnrnkkX11 5向量空间 向量组m,21所生成的向量空间为,|),(21221121RkkkkkkLmmmm 基本计算 1.一般地，要判别一个向量nbbb21是否可由向量组 nssssnnaaaaaaaaa21222122121111,线性表出？设 sskkk2211 按分量形式写出来就是 第 6 页 共 9 页 nsnsnnssssbkakakabkakakabkakaka22112222212111212111,（*）定理 可由向量组s,21线性表出（*）有解 2.一般地，要判别一个向量组 nssssnnaaaaaaaaa21222122121111,是否线性相关？设 02211ssxxx 按分量写出来就是 000221122221211212111snsnnsssskakakakakakakakaka （*）定理 向量组s,21线性相关齐次线性方程组（*）有非零解 3.),(21mL基和维数的求法 4线性方程组解的结构（1）齐次线性方程组基础解系rn,1（2）非齐次线性方程组解的结构的求法rnrnkkX11 主要计算 1设矩阵A，求矩阵A的列向量组的一个最大无关组，并把不属最大无关组的列向量用最大无关组线性表示 2设非齐次线性方程组bAX，试问（1）此线性方程组有解吗？若有解，有多少解？（第三章内容）（2）若有无穷多解，求其通解（要求通过它的导出组的基础解系给出的通解）.（第四章内容）基本证明 向量的线性相关与线性无关、向量的组的等价、极大线性无关组、向量组的秩的证明 向量空间的基、维数的证明 基础解系、解的结构的证明 主要证明 1线性无关的证明 2BAB 0的列是0AX的解 第 7 页 共 9 页 例 1（例 11）设矩阵 97963422644121121112A 求矩阵A的列向量组的一个最大无关组，并把不属最大无关组的列向量用最大无关组线性表示 2（例 16）设非齐次线性方程组2143214321432132130 xxxxxxxxxxxx，试问（1）此线性方程组有解吗？若有解，有多少解？（2）若有无穷多解，求其通解（要求通过它的导出组的基础解系给出的通解）.3（例 6）已知向量组321,线性无关，211,322,133，试证向量组321,线性无关（第五章 1 定理 1、2 定理 2）4（例 13）设0AB，证明：nBRAR)()(.P.106，3，4，5，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20（1）（2），21，22，25，26，27，30，35，37 第五章 相似矩阵及二次型 基本概念 一内积 内积的定义：nnyxyxyxYX2211,向量的长度：22221,nxxxXXX、当1X时，称X为单位向量 向量的夹角：YXYX,arccos 向量的正交：0,YX时，称向量X与Y正交 正交向量组、正交基、规范正交基 正交矩阵A：)(1TTAAEAA即 二矩阵的特征值、特征向量 特征值、特征向量 三相似矩阵，对称阵的对角化 四二次型及其标准形，正定二次型，正定矩阵 基本结论 一内积 第 8 页 共 9 页（i）,XYYX；（ii）,YXYX（iii）,ZYZXZYX 1非负性：对任意X都有 0X;当且仅当OX 时,0X 2齐次性:XX|;3三角不等式：YXYX 定理 1 若n维向量 r,21是一组两两正交的非零向量，则r,21线性无关 二特征值、特征向量 定理 2 设m,21是方阵A的m个特征值，mppp,21依次是与之对应的特征向量如果m,21各不相同，则mppp,21线性无关 三相似矩阵，对称阵的对角化 四二次型及其标准形，正定二次型，正定矩阵 基本计算 1向量的长度：22221,nxxxXXX 2向量的夹角的求法：YXYX,arccos 3正交化方法：设r,21线性无关 111122221111222231111333111122211,rrrrrrrrr 4单位化：rrreee1,1,1222111 5特征值的求法、特征向量的求法 6对称阵的对角化方法 7求正交变换化二次型为标准形 例 第 9 页 共 9 页 1（例 2）设014,131,121321，试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化。2（例 7）求矩阵 314020112A 的特征值和特征向量 3（例 12）设 011101110A 求一个正交阵 P，使 P-1AP=为对角阵 4（例 14）求一个正交变换 x=P y，把二次型323121222xxxxxxf化为标准形 5（例 17）判定二次型xzxyzyxf44465222的正定性 P.134，1-7，9，10，12，13，17，19，21，26，27，28，32，33
