高考数学解析几何4专项练习题8478.pdf

解析几何 一、选择题 1.若双曲线C:22221xyab（0a，0b）的一条渐近线被圆2224xy所截得的弦长为 2，则C的离心率为（）A 2 B3 C2 D2 33 2.圆2228130 xyxy的圆心到直线10axy 的距离为 1，则 a=（）A43 B34 C3 D2 3.已知 F1，F2是双曲线 E：22221xyab的左，右焦点，点 M 在 E 上，M F1与 x 轴垂直，211sin3MF F，则 E 的离心率为（）A2 B32 C3 D2 43.过三点 A(1,3)，B(4,2)，C(1,-7)的圆交于 y 轴于 M、N 两点，则MN=A2 6 B8 C4 6 D10 5.已知 A，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上，ABM 为等腰三角形，且顶角为 120，则 E 的离心率为（）A5 B2 C3 D2 6.设 F 为抛物线 C:23yx的焦点，过 F 且倾斜角为 30 的直线交 C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则OAB 的面积为（）A3 34 B9 38 C6332 D94 7.设抛物线2:2(0)C ypx p的焦点为F，点M在C上，|5MF，若以MF为直径的园过点(0,2)，则C的方程为（）A.24yx或28yx B.22yx或28yx C.24yx或216yx D.22yx或216yx 8.）已知点(1,0)A，(1,0)B，(0,1)C，直线(0)yaxb a将ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（）A.(0,1)B.2 1(1,)22 C.2 1(1,23 D.1 1,)3 2 9.设 F1，F2是椭圆 E:12222byax)0(ba的左右焦点，P 为直线23ax 上的一点，12PFF是底角为 30的等腰三角形，则 E 的离心率为（）A.21 B.32 C.43 D.54 10.等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，C 与抛物线 y2=16x的准线交于 A，B 两点，|AB|=34，则 C 的实轴长为（）A.2 B.22 C.4 D.8 11.设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，l 与C交于 A,B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（）A2 B3 C2 D3 二、填空题 1.已知F是抛物线C:28yx的焦点，是C上一点，F的延长线交y轴于点若为F 的中点，则F 2.设点 M(0 x,1)，若在圆 O:221xy上存在点 N，使得OMN=45，则0 x的取值范围是_.3.在平面直角坐标系 xoy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1，F2在 x轴上，离心率为22.过 F1的直线 l 交 C 于 A，B 两点，且ABF2的周长为 16，那么 C 的方程为 .三、解答题 1.设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C：2212xy上，过 M 做 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足2NPNM.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点 Q 在直线x=-3上，且1OP PQ.证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.2.已知椭圆 E:2213xyt的焦点在x轴上，A 是 E 的左顶点，斜率为 k(k0)的直线交 E 于 A，M 两点，点 N 在 E 上，MANA.（）当 t=4，|AM|=|AN|时，求AMN 的面积；（）当 2|AM|=|AN|时，求 k 的取值范围.3.已知椭圆 C：2229xym(m0)，直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M.（）证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值；（）若 l 过点(,)3mm，延长线段 OM 与 C 交于点 P，四边形 OAPB能否平行四边形？若能，求此时 l 的斜率；若不能，说明理由 4.设 F1，F2分别是椭圆222210yxabab的左右焦点，M 是 C 上一点且MF2与 x 轴垂直，直线 MF1与 C 的另一个交点为 N.（）若直线 MN 的斜率为34，求 C 的离心率；（）若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且15MNFN，求 a,b.5.平面直角坐标系xOy中，过椭圆2222:1(0)xyMabab右焦点F的直线30 xy交M于,A B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为12.（）求M的方程；（）,C D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CDAB，求四边形ACBD面积的最大值.6.设抛物线:Cpyx22)0(p的焦点为 F，准线为 l，A 为 C 上的一点，已知以 F 为圆心，FA 为半径的圆 F 交 l 于 B，D 两点.（）若BFD=90，ABD 面积为24，求 p 的值及圆 F 的方程；（）若 A、B、F 三点在同一直线 m 上，直线 n 与 m 平行，且 n与 C 只有一个公共点，求坐标原点到 m，n 的距离的比值.7.在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,-1)，B 点在直线 y=-3 上，M 点满足/MBOA，MA ABMB BA，M 点的轨迹为曲线 C.（）求 C 的方程；（）P 为 C 上的动点，l 为 C 在 P 点处得切线，求 O 点到 l 距离的最小值.解析几何（逐题解析版）一、选择题 1.A【解析】解法一：根据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为byxa，根据直线与圆的位置关系可求得圆心到渐进线的距离为3，圆心到渐近线的距离为221baba，即2231baba，解得2e.解法二：设渐进线的方程为ykx，根据直线与圆的位置关系可求得圆心到渐进线的距离为3，圆心到渐近线的距离为221kk，即2231kk，解得23k；由于渐近线的斜率与离心率 关系为221ke，解得2e.（20164）A 解析：圆2228130 xyxy化为标准方程为：22144xy，故圆心为14，24111ada，解得43a，故选 A 2.C 解析：由已知得，所以 kABkCB=-1，所以 ABCB，即ABC 为直角三角形，其外接圆圆心为(1,-2)，半径为 5，所以外接圆方程为(x-1)2+(y+2)2=25，令 x=0，得，所以，故选 C.3.A 解析：离心率1221FFeMFMF，由正弦定理得1221122 2sin321sinsin13FFMeMFMFFF 故选 A 4.D 解析：设双曲线方程为22221(0,0)xyabab，如图所示，|AB|=|BM|，ABM=120，过点 M 作 MNx 轴，垂足为 N，在 RtBMN 中，|BN|=a，|3MNa，故点 M 的坐标为(2,3)Maa，代入双曲线方程得 a2=b2=c2-a2，即 c2=2a2，所以2e，故选 D.5.D 解析：3(,0)4F，设直线AB的方程为33()34yx，代入抛物线方程得：22190216xx，设11(,)A x y、22(,)B xy，12212xx，12916xx，由弦长公式得221212|(1)()412ABkxxx x，由点到直线的距离公式得：O到直线AB的距离2233|00|33483()(1)3d ，13912284OABS.【另 解】直 线 AB 的 方 程33()34yx代 入 抛 物 线 方 程 得：2412 390yy，123 3yy，1294yy，21212139()4244OABSyyy y.6.C 解析：设点 M 的坐标为(x0，y0)，由抛物线的定义，得|MF|x02p5，则 x052p.又点 F 的坐标为(,0)2p，所以以 MF 为直径的圆的方程为220525()()224yxy.将 x0，y2 代入得2002404yy，所以 y04.由20y2px0，得162(5)2pp，解之得 p2，或 p8.所以 C的方程为 y24x 或 y216x.故选 C.7.B 解析：由题意知 b(0,1)，当直线过点(-1,0)时，要将ABC 分割为面积相等的两部分，直线必须过点1 1(,)2 2，此时有-a+b=0 且1122ab，解得13b；当 a=1 时，直线 y=ax+b 平行于直线 AC，要将ABC 分割为面积相等的两部分，可求此时的21b.（20124）C 解析：由题意可得，21F PF是底角为 30的等腰三角形可得212PFFF，即32()22acc，所以34cea.8.C 解析：抛物线的准线方程是 x=4，所以点 A(4,2 3)在222xya上，将点 A 代入得24a，所以实轴长为24a.（20117）B 解析：通径|AB|=222baa得2222222baaca，故选 B.二、填空题 1.6【解析】点M为线段NF的中点，1Mx，23MMFx，26NFMF 2.1,1解析：由图可知点 M 所在直线1y 与圆O相切，又1ON，由正弦定理得sinsinONOMOMNONM，1sin22OMONM，即2sinOMONM，0ONM，2OM，即2012x ，解得：011x.【另解】过 OAMN，垂足为 A，因为在 RtOMA 中，|OA|1，OMN=45，所以|sin 45OAOM=2|12OM，解得|2OM，因为点 M(x0,1)，所以20|12OMx，解得011x，故0 x的取值范围是 1,1.3.221168xy 解析：由22416caa得 a=4，c=2 2，从而 b=8，221168xy.三、解答题 1.设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C：2212xy上，过 M 做 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足2NPNM.（1）求点 P 的轨迹方程；（2）设点 Q 在直线 x=-3 上，且1OP PQ.证明：过点 P 且垂直于 OQ的直线 l 过 C 的左焦点 F.解析：（1）解法一：相关点法求轨迹：设00,M xy，0,0N x,P x y，则：0,NPxxy,00,NMy.又2NPNM,所以：00,2 0,xxyy，则：00,2xxyy.又00,M xy在椭圆C 上，所以：220012xy，所以：222xy.解法二：椭圆 C 的参数方程为：2cossinxy（为参数）.设2cos,sinM，2cos,0N,P x y，则：2cos,NPxy,0,sinNM.又2NPNM,所以：2cos,2 0,sinxy，则：2cos,2sinxy.则：222xy.（）解 法 一：设2cos,2sinP，13,Qy,1,0F,则2cos,2sinOP，13,OQy,132cos,y2sinPQ ，12cos,2sinPF .又1OP PQ,所以：22112cos,2sin32cos,y2sin3 2cos2cos2sin2sin1y 即：13 2cos2sin3y.那么：112cos,2sin3,y33 2cos2 sin0PF OQy .所以：PFOQ.即过P垂直于OQ的直线l过椭圆 C 的左焦点F。解 法 二：设11,P x y，23,Qy,1,0F,则11,OPx y，23,OQy,1213,PQx yy ，111,PFxy .又1OP PQ,所以：221112111121,3,31x yx yyxxy yy .又11,P x y在222xy上，所以：11233xy y.又 1121121,3,330PF OQxyyxy y .所以：PFOQ，即过P垂直于OQ的直线l过椭圆 C 的左焦点F。3.已知椭圆 E:2213xyt的焦点在x轴上，A 是 E 的左顶点，斜率为 k(k0)的直线交 E 于 A，M 两点，点 N 在 E 上，MANA.（）当 t=4，|AM|=|AN|时，求AMN 的面积；（）当 2|AM|=|AN|时，求 k 的取值范围.解析：当4t 时，椭圆 E 的方程为22143xy，A 点坐标为20，则直线 AM 的方程为2yk x联立221432xyyk x并整理得，2222341616120kxk xk，解得2x 或228634kxk，则2222286121213434kAMkkkk，因为AMAN，所以2211211341ANkk 212143kkk，因为AMAN，0k，所以2221212114343kkkkk，整理得21 440kkk，2440kk 无实根，所以1k 所以AMN的面积为2211121 12234AM 14449=直线 AM 的方程为yk xt，联立2213xytyk xt并整理得，222223230tkxt tk xt kt，解 得xt 或2233t tktxtk，所 以22222361133t tkttAMktktktk，所 以2613tANktkk，因 为2 AMAN，所以2226621133ttkkttkkk，整理得23632kktk 因为椭圆E的焦点在x轴，所以3t，即236332kkk，整理得231202kkk，解得322k 4.已知椭圆 C：2229xym(m0)，直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M.（）证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值；（）若 l 过点(,)3mm，延长线段 OM 与 C 交于点 P，四边形 OAPB能否平行四边形？若能，求此时 l 的斜率；若不能，说明理由 解析：（）设直线1122:(0,0),(,),(,),(,)MMl ykxb kbA x yB xyM xy,将ykxb代入2229xym得2222(9)20kxkbx bm，故12229Mxxkbxk，299MMbykxbk.于是直线OM的斜率9MOMMykxk，即9OMkk，所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.（）四边形OAPB能为平行四边形，因为直线l过点(,)3mm，所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是0,3kk，由（）得OM的方程为9yxk.设点P的横坐标为Px，由22299yxkxym，得2222981Pk mxk，即239Pkmxk，将点(,)3mm的坐标代入l的方程得(3)3mkb，因此2(3)3(9)Mk kmxk.四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即2PMxx，于是22(3)23(9)39kmk kmkk，解得1247,47kk，因为0,3,1,2iikki，所以当l的斜率为47或47时，四边形OAPB为平行四边形.5.设 F1，F2分别是椭圆222210yxabab的左右焦点，M 是 C 上一点且MF2与 x 轴垂直，直线 MF1与 C 的另一个交点为 N.（）若直线 MN 的斜率为34，求 C 的离心率；（）若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且15MNFN，求 a,b.解析：（）由题意得：1(,0)Fc，2(,)bM ca，MN的斜率为34，2324bac，又222abc，解得12cea或2（舍），故直线 MN 的斜率为34时，C的离心率为12.（）由题意知，点 M 在第一象限，1(,0)Fc，2(,)bM ca，直线 MN 的斜率为：22bac，则 MN：222byxac；1(,0)Fc在直线 MN 上，20()22bcac，得24ba，15MNFN，114MFFN，且21(2,)bMFca，21(,)24cbFNa，23(,)24cbNa，又23(,)24cbNa在椭圆C上，4222291641bcaab，联立、解得：7a，2 7b.6.平面直角坐标系xOy中，过椭圆2222:1(0)xyMabab右焦点F的直线30 xy交M于,A B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为12.（）求M的方程；（）,C D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CDAB，求四边形ACBD面积的最大值.解析：（）设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则221122=1xyab，222222=1xyab，2121=1yyxx，由此可得2212122121=1bxxyyayyxx.因为 x1x22x0，y1y22y0，0012yx，所以 a22b2.又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故 a2b23.因此 a26，b23.所以 M 的方程为22=163xy.（）由2230,1,63xyxy解析得4 3,33,3xy 或0,3.xy因此|AB|4 63.由题意可设直线 CD 的方程为5 3(3)3yxnn，设 C(x3，y3)，D(x4，y4)由 22,163yxnxy得 3x24nx2n260.于是 x3,4222 93nn.因为直线CD 的斜率为 1，所以|CD|24342|93xxn.由已知，四边形 ACBD的面积218 6|929SCDABn.当 n0 时，S 取得最大值，最大值为8 63.所以四边形 ACBD 面积的最大值为8 63.7.设抛物线:Cpyx22)0(p的焦点为 F，准线为 l，A 为 C 上的一点，已知以 F 为圆心，FA 为半径的圆 F 交 l 于 B，D 两点.（）若BFD=90，ABD 面积为24，求 p 的值及圆 F 的方程；（）若 A、B、F 三点在同一直线 m 上，直线 n 与 m 平行，且 n与 C 只有一个公共点，求坐标原点到 m，n 的距离的比值.解析：（）由对称性可知，BFD为等腰直角三角形，斜边上的高为p，斜边长2BDp.点A到准线l的距离2dFBFDp.由4 2ABDS得，11224 222BDdpp，2p.圆F的方程为22(1)8xy.（）由对称性，不妨设点(,)AAA xy在第一象限，由已知得线段AB是圆F的在直径，90oADB，2BDp，32Ayp，代入抛物线:Cpyx22得3Axp.直 线m的 斜 率 为333AFpkp.直 线m的 方 程 为3302pxy.由pyx22 得22xyp,xyp.由33xyp 得,33xp.故直 线n与 抛 物 线C的 切 点 坐 标 为3(,)36p p，直 线n的 方 程 为3306pxy.所以坐标原点到m，n的距离的比值为333412：pp.8 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,-1)，B 点在直线 y=-3 上，M 点满足/MBOA，MA ABMB BA，M 点的轨迹为曲线 C.（）求 C 的方程；（）P 为 C 上的动点，l 为 C 在 P 点处得切线，求 O 点到 l 距离的最小值.解析：（）设 M(x,y)，由已知得 B(x,-3)，A(0,-1).所以,1)(MAxy，(03)MBy，(,2)BxA.再 由 题 意 可 知()0MAMBMBAB，即(,42)(,2)0 xyx.所以曲线 C 的方程式为2124yx.（）设 P(x0,y0)为曲线 C：2124yx上一点，因为12yx，所以 l 的斜率为012x，因此直线 l 的方程为0001()2yyxxx，即2000220 x xyyx.则O点 到l的 距 离20020|2|4yxdx.又200124yx，所 以2020220014142(4)2244xdxxx，当20 x=0 时取等号，所以 O 点到 l 距离的最小值为 2.