中考专题复习最短路径问题.pdf
A B C D A B A B L A B C D 图(3)DBAOCP中考专题复习路径最短问题 一、具体内容包括：蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题；线段（之和）最短问题；二、原理：两点之间，线段最短；垂线段最短。（构建“对称模型”实现转化）三、例题：例 1、如右图是一个棱长为 4 的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点 A 沿木块侧面爬到点 B 处，则它爬行的最短路径是 。如右图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点 A处，它要沿着木块侧面爬到点 D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。例 2、如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。如图，直线 L 同侧有两点 A、B，已知A、B 到直线 L 的垂直距离分别为 1 和 3，两点的水平距离为 3，要在直线 L 上找一个点 P，使 PA+PB 的和最小。请在图中找出点 P 的位置，并计算 PA+PB 的最小值。要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为 1Km 和 3Km，张村与李庄的水平距离为 3Km，则所用水管最短长度为 。四、练习题（巩固提高）（一）1、如图是一个长方体木块，已知 AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点 D 处，则 蚂 蚁 爬 行 的 最 短 路 径是 。2、现要在如图所示的圆柱体侧面 A 点与 B 点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为 6cm，底面圆周长为 16cm，则所缠金丝带长度的最小值为 。3、如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从 A 点爬到点 B 处吃到食物，知圆柱体的高为 5 cm，底面圆的周长为 24cm，则蚂蚁爬行的最短路径为 。4、正方形 ABCD 的边长为 8，M 在 DC 上，且 DM2，N 是 AC 上的一动点，DNMN 的最小值为 。第 4 题 第 5 题 第 6 题 第 7 题 5、在菱形 ABCD 中，AB=2，BAD=60，点 E 是 AB 的中点，P 是对角线 AC 上的一个动点，则 PE+PB 的最小值为 。6、如图，在ABC中，ACBC2，ACB90，D 是 BC 边的中点，E 是 AB 边上一动点，则 ECED 的最小值为_ _。7、AB 是O 的直径，AB=2，OC 是O的半径，OCAB，点 D 在 AC 上，AD=2CD，点 P 是半径 OC 上的一个动点，则 AP+PD的最小值为_ _。（二）8、如图，点 P 关于 OA、OB 的对称点分别为 C、D，连接 CD，交 OA 于 M，交 OB 于 N，若 CD18cm，则PMN 的周长为_。9、已知，如图 DE 是ABC 的边 AB 的垂直平分线，D 为垂足，DE 交 BC 于 E，且AC 5，BC 8，则AEC的周长为第2张村 李庄 张村 李庄 A A B A B 第1第3_。10、已知，如图，在ABC 中，ABAC，BC 边上的垂直平分线 DE 交 BC 于点 D，交 AC 于点 E，AC8，ABE 的周长为14，则 AB 的长 。11、如图，在锐角ABC 中，AB4 2，BAC45，BAC 的平分线交 BC 于点 D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是_ 12、在平面直角坐标系中，有 A（3，2），B（4，2）两点，现另取一点 C（1，n），当 n=时，AC+BC 的值最小 第 11 题 第 14 题 第 15 题 13、ABC 中，C=90，AB=10，AC=6,BC=8,过 AB 边上一点 P 作 PEAC于 E，PFBC 于 F，E、F 是垂足，则EF 的最小值等于 14、如图，菱形 ABCD 中，AB=2,BAD=60，点E、F、P 分别是AB、BC、AC 上的动点，则 PE+PF 的最小值为_.15、如图，村庄A、B 位于一条小河的两侧，若河岸a、b 彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥 CD，问桥址应如何选择，才能使 A 村到 B 村的路程最近 16、一次函数 y=kx+b 的图象与 x、y 轴分别交于点 A（2，0），B（0，4）（1）求该函数的解析式；（2）O 为坐标原点，设 OA、AB 的中点分别为 C、D，P 为 OB 上一动点，求 PCPD 的最小值，并求取得最小值时 P 点坐标（三）16、如图，已知AOB 内有一点P，试分别在边 OA 和 OB 上各找一点 E、F，使得PEF 的周长最小。试画出图形，并说明理由。17、如图，直线 l 是第一、三象限的角平分线 实验与探究：（1）由图观察易知 A（0，2）关于直线l 的对称点 A的坐标为（2，0），请在图中分别标明 B（5，3）、C（2，5）关于直线 l 的对称点 B、C的位置，并写出他们的坐标：B 、C ；归纳与发现：（2）结合以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点 P（a，b）关于第一、三象限的角平分线 l 的对称点 P 的 坐 标为 ；运用与拓广：（3）已知两点 D（1，3）、E（1，4），试在直线 l 上确定一点 Q，使点Q 到 D、E 两点的距离之和最小，并求出Q 点坐标 18、几何模型：条件：如图，A、B 是直线 L 同旁的两个定点问题：在直线 L 上确定一点 P，使 PA+PB 的值最小 方法：作点A关于直线l的对称点A，连结A B交l于点P，则PAPBA B的值最小（不必证明）模型应用：（1）如图 1，正方形ABCD的 边长为 2，E为AB的中点，P是AC上一动 点连结BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称连结ED交AC于P，则PBPE的最小值是_；（2）如图 2，O的半径为 2，点ABC、在O上，OAOB，60AOC，P是OB上一动点，求PAPC的最小值；（3）如图 3，AOB=45，P 是AOB内一点，PO=10，Q、R 分别是 OA、OB 上的动点，求 PQR 周长的最小值 19、问题探究（1）如图，四边形ABCD是正方形，10ABcm，E为边BC的中点，P为BD上的一个动点，求PCPE的最小值；（2）如图，若四边形ABCD是菱形，10ABcm，45ABC，E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，求PCPE的最小值；问题解决（3）如图，若四边形ABCD是矩形，10ABcm，20BCcm，E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，求PCPE的最小值；20.如图，在直角坐标系中，点 A 的坐标为（-2，0），连结 0A，将线段 OA 绕原点 O 顺时针旋转 120。，得到线段 OB.（1）求点 B 的坐标；（2）求经过 A、O、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点 C，使BOC 的周长最小若存在，求出点 C 的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果均保留根号）解：（1）过点 B 作 BDx轴于点 D，由已知可得：OB=OA=2，BOD=60。.在 RtOBD 中，ODB=90。，OBD=30。.OD=1，DB=3 点 B 的坐标是（1，3）.（2）设 所 求 抛 物 线 的 解 析 式 为2yaxbxc，由已知可得：解得：32 3,0.33abc 所 求 抛 物 线 解 析 式 为232 3.33yxx（3）存在.由232 333yxx配 方 后 得：233133yx 抛物线的对称轴为x=1.（也写用顶点坐标公式求出）OB=2，要使BOC 的周长最小，必须BC+CO 最小.点 O 与点 A 关于直线x=1 对称，有CO=CA.BOC 的周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA.当 A、C、B 三点共线，即点 C 为直线AB 与抛物线对称轴的交点时，BC+CA 最小，此时BOC 的周长最小.设直线AB的解析式为3,:20kbykxbkb则有 解得：32 3,.33kb 直线 AB 的解析式为32 3.33yx 当x=1时，3.3y 所求点 C 的坐标为（1，33）.O A B P R Q 图 3 A B E C B D 图 1 O A B C 图 2 P A B AP l A D B C A D B C E P A C D B 21、如图，抛物线2yaxbxc的顶点P的坐标为4 313，交x轴于A、B两点，交y轴于点(03)C，（1）求抛物线的表达式（2）把ABC绕AB的中点E旋转180，得到四边形ADBC 判断四边形ADBC的形状，并说明理由（3）试问在线段AC上是否存在一点F，使得FBD的周长最小，若存在，请写出点F的坐标；若不存在，请说明理由 解：（1）由题意知 解得33a，2 33b -3 分（列出方程组给 1 分，解出给 2 分）抛 物 线 的 解 析 式 为232 3333yxx -4 分（2）设点A（1x，0），B（2x，0），则232 33033xx，解 得1213xx，-5 分 OA1，OB3又tanOCB|3|OBOC OCB60，同理可求OCA30ACB90 -6分 由旋转性质可知ACBD，BCAD 四 边 形ADBC是 平 行 四 边 形 -7 分 又ACB90四边形ADBC是矩形 -8 分（3）延长BC至N，使CNCB假设存在一点F，使FBD的周长最小 即FDFBDB最小 DB固定长 只要FD+FB最小 又CABN FD+FBFD+FN 当N、F、D在一条直线上时，FD+FB最小-10 分 又C为BN的中点，12FCAC（即F为AC的中点）又A（1，0），C（0，3）点F的坐标为F（12，32）存在这样的点F（12，32），使得FBD的周长最小-12 分 22.已知：直线112yx与y轴交于A，与x轴交于D，抛物线212yxbxc与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）D O x y B E P A C（1）求抛物线的解析式；（2）动点P在x轴上移动，当PAE是直角三角形且以P为直角顶点时，求点P的坐标（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AMMC的值最大，求出点M的坐标 答案：（1）将A（0，1）、B（1，0）坐标代入212yxbxc得 1102cbc 解得321bc 抛 物 线 的 解 折 式 为213122yxx 3 分（2）设点E的横坐标为m，则它的纵坐标为213122mm，则E（m，213122mm）又点E在直线112yx上，213111222mmm 解得10m（舍去），24m E的 坐标 为（4，3）4 分 过E作EFx轴于F，设 P(b,0)由90OPAFPE，得OPAFEP RtRtAOPPFE 由AOOPPFEF得143bb 解得11b，23b 此时的点P的坐标为（1，0）或（3，0）6分（3）抛 物 线 的 对 称 轴 为32x B、C关于x 23对称，MCMB 要 使|AMMC最 大，即 是 使|AMMB最大 8分 由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、M在同一直线上时|AMMB的值最大 易知直线AB的解折式为1yx 由132yxx 得3212xy M（23，21）10 分 y x O D E A B C y E A B C F
