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第五节 数列的综合问题 基础自测 1已知 x0，y0，x，a，b，y 成等差数列，x，c，d，y 成等比数列，则ab2cd的最小值是()A0 B1 C2 D4 解析：x，a，b，y 成等差数列，abxy，又 x，c，d，y 成等比数列，cdxy.ab2cdxy2xy2x2y2xy22xyxy4.当且仅当 xy 时取等号，所以ab2cd的最小值是 4.答案：D 2 有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为 2 个，现在有一个这样的细菌和 100 个这样的病毒(假设病毒不繁殖)，问细菌将病毒全部杀死至少需要()A6 秒钟 B7 秒钟 C8 秒钟 D9 秒钟 解析：设至少需 n 秒钟，则 121222n1100，即12n12100，解得 n7.答案：B 3数列an是各项均为正数的等比数列，bn是等差数列，且 a6b7，则有()Aa3a9b4b10 Ba3a9b4b10 Ca3a9b4b10 Da3a9与 b4b10的大小不确定 解析：a3a92 a3a92 a262a62b7b4b10，当且仅当 a3a9时，不等式取等号 答案：B 4一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为23，公差为36，则这个多边形的边数为_ 解析：由于凸 n 边形的内角和为(n2)，故23nnn1236(n2).化简得 n225n1440.解得 n9 或 n16(舍去)答案：9 5 设曲线 yxn1(nN*)在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn，xn_，令 anlg xn，则 a1a2a99的值为_ 解析：yxn1，y(n1)xn，它在点(1,1)处的切线方程为 y1(n1)(x1)，与 x 轴交点的横坐标为 xn11n1nn1，由 anlg xn得 anlgnlg(n1)，于是 a1a2a99lg1lg2lg2lg3lg99lg100lg1lg100022.答案：nn1 2 考点一 等差、等比数列的综合问题 【例 1】已知等差数列an的公差不为零，a125，且 a1，a11，a13成等比数列(1)求an的通项公式；(2)求 a1a4a7a3n2.解析：(1)设an的公差为 d.由题意，得 a211a1a13，即(a110d)2a1(a112d)于是 d(2a125d)0.又 a125，所以 d2 或 0(舍去)故 an2n27.(2)令 Sna1a4a7a3n2.由(1)知 a3n26n31，故a3n2是首项为 25，公差为6 的等差数列 从而 Snn2(a1a3n2)n2(6n56)3n228n.通关特训 1 已知数列an是公差为 2 的等差数列，它的前 n 项和为 Sn，且 a11，a31，a71 成等比数列(1)求an的通项公式；(2)求数列1Sn的前 n 项和 Tn.解析：(1)由题意，得 a31a15，a71a113，所以由(a31)2(a11)(a71)得(a15)2(a11)(a113)解得 a13，所以 an32(n1)，即 an2n1.(2)由(1)知 an2n1，则 Snn(n2)，1Sn121n1n2，Tn12113121413151n1n2 121121n11n2 342n32n1n2.考点二 数列在实际问题中的应用 【例 2】某工业城市按照“十二五”(2022 年至 2022 年)期间本地区主要污染物排放总量控制要求，进行减排治污现以降低 SO2的年排放量为例，原计划“十二五”期间每年的排放量都比上一年减少 0.3 万吨，已知该城市 2022 年 SO2的年排放量约为 9.3 万吨(1)按原计划，“十二五”期间该城市共排放 SO2约多少万吨？(2)该城市为响应“十八大”提出的建设“美丽中国”的号召，决定加大减排力度在2022 年刚好按原计划完成减排任务的条件下，自 2022 年起，SO2的年排放量每年比上一年减少的百分率为 p，为使 2022 年这一年 SO2的年排放量控制在 6 万吨以内，求 p 的取值范围 解析：(1)设“十二五”期间，该城市共排放 SO2约 y 万吨，依题意，2022 年至 2022 年 SO2的年排放量构成首项为 9.3，公差为0.3 的等差数列，所以 y59.35512(0.3)43.5(万吨)所以按原计划“十二五”期间该城市共排放 SO2约为 43.5 万吨(2)由已知得，2022 年的 SO2年排放量为 9.30.39(万吨)，所以 2022 年至 2022 年 SO2的年排放量构成首项为 9，公比为 1p 的等比数列 由题意得 9(1p)86，由于 0p1，所以 1p 823，所以 1p0.950 5，解得 p4.95%.所以 SO2的年排放量每年减少的百分率 p 的取值范围为(4.95%,1)通关特训 2 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产，该企业第一年年初有资金2 000 万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了 50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金 d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产，设第 n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为 an万元(1)用 d 表示 a1，a2，并写出 an1与 an的关系式；(2)若公司希望经过 m(m3)年使企业的剩余资金为 4 000 万元，试确定企业每年上缴资金 d 的值(用 m 表示)解析：(1)由题意得 a12 000(150%)d3 000d，a2a1(150%)d32a1d4 50052d.an1an(150%)d32and.(2)由(1)得 an32an1d 3232an2d d 322an232dd 32n1a1d13232232n2.整理得 an32n1(3 000d)2d32n11 32n1(3 0003d)2d.由题意，am4 000，即32m1(3 0003d)2d4 000.解得 d32m2 1 00032m11 0003m2m13m2m.故该企业每年上缴资金 d 的值为1 0003m2m13m2m时，经过 m(m3)年企业的剩余资金为4 000 万元 考点三 数列与函数、不等式的综合应用 【例 3】已知函数 f(x)lnxx，数列an满足 a112，an112an.(1)求证：f(x)1；(2)证明数列1an1为等差数列，并求数列an的通项公式；(3)求证不等式 a1a2annln2ln(n2)证明：(1)令 g(x)f(x)1lnxx1，g(x)1x11xx，当 0 x1 时，g(x)0，当 x1 时 g(x)0，故 g(x)在 x1 处取得极大值，也是最大值，所以 g(x)g(1)0，故f(x)1.(2)因为 an112an，an1112an1an12an.1an111an11，即数列1an1是首项为1a112，公差 d1 的等差数列，1an1n1，annn1.(3)an11n1，a1a2an11211311n1n12131n1.由(1)知当 x1 时，f(x)10，即 lnxx1，令 xn2n11n11，得 lnn2n11n1111n1；ln32ln43lnn2n112131n1，ln(n2)ln212131n1，n12131n1nln2ln(n2)，a1a2annln2ln(n2)通关特训 3 2022安徽设数列an满足 a12，a2a48，且对任意 nN*，函数 f(x)(anan1an2)xan1cosxan2sinx 满足 f20.(1)求数列an的通项公式；(2)若 bn2an12an，求数列bn的前 n 项和 Sn.解析：(1)由题设可得，f(x)anan1an2an1sinxan2cosx.对任意 nN*，f2anan1an2an10，即 an1anan2an1，故an为等差数列 由 a12，a2a48，解得an的公差 d1，所以 an21(n1)n1.(2)由 bn2an12an2n112n12n12n2 知，Snb1b2bn2n2nn1212112n112n23n112n.自主园地 备考套餐 1正项等比数列an中，存在两项 am，an(m，nN*)使得 aman4a1，且 a7a62a5，则1m5n的最小值是()A.74 B153 C.256 D.2 53 解析：根据题意，a7a62a5，q2q2，解得 q1 或 q2.an0，q0，q2.由 aman4a1，即 a21qmn216a21得 mn6.而1m5nmn61m5n165m6nn6m56165356153，当且仅当5m6nn6m时取等号故选 B.答案：B 2已知数列an满足 an1an12an，n2，点 O 是平面上不在 l 上的任意一点，l 上有不重合的三点 A、B、C，又知 a2OAa2 009OCOB，则 S2 010()A1 004 B2 010 C2 009 D1 005 解析：如图所示，设ABAC，则 a2OAa2 009OCOBOAABOAACOA(OCOA)故(a21)OA(a2 009)OC.又A、B、C 三点不重合，a210，a2 0090，a2a2 0091.又an1an12an，n2，an为等差数列 S2 0102 010a1a2 0102 2 010a2a2 0092 1 005.答案：D 3抛物线 y(n2n)x2(2n1)x1 与 x 轴交点分别为 An，Bn(nN*)，以|AnBn|表示该两点的距离，则|A1B1|A2B2|A2 010B2 010|的值是()A.2 0092 010 B.2 0102 011 C.2 0112 012 D.2 0122 013 解析：令 y0，则(n2n)x2(2n1)x10.设两根分别为 x1，x2，则 x1x22n1n2n，x1x21n2n.解得 x11n，x21n1.|AnBn|1n1n1.|A1B1|A2B2|AnBn|11212131n1n111n1nn1.|A1B1|A2B2|A2 010B2 010|2 0102 011.答案：B 4已知数列an，bn满足 a11，且 an，an1是函数 f(x)x2bnx2n的两个零点，则 b10等于()A24 B32 C48 D64 解析：依题意有 anan12n，所以 an1an22n1，两式相除，得an2an2，所以 a1，a3，a5，成等比数列，a2，a4，a6，成等比数列而a11，a22，所以 a1022432，a1112532.又因为 anan1bn，所以 b10a10a1164.答案：D 5已知数列an的通项公式为 an1n1，前 n 项和为 Sn，若对任意的正整数 n，不等式 S2nSnm16恒成立，则常数 m 所能取得的最大整数为_ 解析：要使 S2nSnm16恒成立，只需(S2nSn)minm16.因为(S2(n1)Sn1)(S2nSn)(S2n2S2n)(Sn1Sn)a2n1a2n2an112n212n31n212n212n41n212n212n40，所以 S2nSnS2S113.所以m1613m163，m 所能取得的最大整数为 5.答案：5
