福建师范大学2021年9月《近世代数》作业考核试题及答案参考617.pdf

福建师范大学 2021 年 9月近世代数作业考核试题及答案参考 1.求曲线 y=cosx 在点的切线和法线方程 求曲线 y=cosx 在点的切线和法线方程 切线方程 法线方程 2.R2 与样本相关系数有什么关系?R2 与样本相关系数有什么关系?如记x1，xn与y1，yn)的样本相关系数为 rxy，即 则有关系 R2=(rxy)2 事实上，因 所以 因此 R2=1，对应着|rxy|=1，x 与 y 有最大线性相关；R2=0，x 与 y 无线性相关关系但用 rxy 说明回归直线的拟合程度需慎重，例如当 rxy=0.5 时，只能推出 R2=0.25，也就是说回归的变异只能解释响应变量变异的，而不是一半!3.设 f(xy，xy)=x2xy，试求 f(x，y)设 f(x+y，x-y)=x2-xy，试求 f(x，y)4.平面上四点(1，0，1)，(0，1，1)，(1，1，1)，(0，a，b)能构成一个二维射影坐标系时，参数 a，b 应满足的条件是_ 平面上四点(1，0，1)，(0，1，1)，(1，1，1)，(0，a，b)能构成一个二维射影坐标系时，参数 a，b 应满足的条件是_ 正确答案：ab 且 b0 ab,且 b0 5.若函数|f(x)|在点 x=x0 处可导，则 f(x)在点 x=x0 处必可导；若函数|f(x)|在点 x=x0 处可导，则 f(x)在点 x=x0 处必可导；错误例如，可 见|f(x)|在点 x=0 处可导，而 f(x)在点 x=0 处不可导 6.求由下列方程所确定的隐函数的导数：(1)(2)x2 (3)(4)(5)(6)求由下列方程所确定的隐函数的导数：(1)(2)x2 (3)(4)(5)(6)令 F(x，y)x2y+3x4y3-4，因为 所以 (2)令 因为 所以 (3)令 因为 所以 (4)在等式两边分别微分：所以 解出 化简有 故 (5)令 因为 所以 (6)令 因为 所以 7.对下列三个线性规划问题，分别写出其对偶问题，并加以比较：(1)max s.t(i=1,2，m),xj0(j=1，2，n)；对下列三个线性规划问题，分别写出其对偶问题，并加以比较：(1)max s.t(i=1,2，m),xj0(j=1，2，n)；(2)max st(i=1，2，m)，xj0(j=1,2，n)，xsi0(j=1,2，m)；(3)st(i=1，2，m)，xj0(j=1,2，n)，xsi,xai0(i=1,2，m)，其中 M 表示充分大的正数 它们的对偶问题都是 min s.t(j=1,2，n),u10(i=1，2，m)注意到(1)，(2)，(3)三个问题是等价的由此看出：对任何线性规划问题，不管其形式如何变化，其对偶问题是惟一的 8.设 f(x，y)关于 y 在 R 上满足 Lipschitz 条件：对任意的R，R，有 ，(7.14)其中 L 称为 Lipschitz 常数对后退欧拉公 设 f(x，y)关于 y 在 R 上满足 Lipschitz 条件：对任意的R，R，有 ，(7.14)其中 L 称为 Lipschitz 常数对后退欧拉公式 yi+1=yi+hf(xi+1，yi+1)(7.15)进行迭代求解 (7.16)证明当 h 满足 hL1 时，此迭代过程是收敛的 首先证明是 Cauchy 序列由 两边取绝对值并利用条件(7.14)得 ，k=1，2，3，递推得 ，k=1，2，3，对任意的 l，m(lm)，有 因为 hL1，所以任给0，存在 N，当 lmN 时，因而是 Cauchy 序列，从而存在，设其值为 y*在(7.16)的两边令 k，则得 y*=yi+hf(xi+1，y*)因而 9.求解下列有界变量线性规划问题：(1)min x0=3x1+4x2-2x3-5x4+3x5+2x6-x7,s.t.x1+x4+2x5-x6+x7=13,x2-x4 求解下列有界变量线性规划问题：(1)min x0=3x1+4x2-2x3-5x4+3x5+2x6-x7,s.t.x1+x4+2x5-x6+x7=13,x2-x4+x5+x6+2x7=9，x3+2x4+2x5+2x6-x7=5,0 xj5(j=1，2，7)；(2)min f=x1+2x2+x3-x4+2x5+x6-x7,s.t.x1+2x4-2x5+x6-8x7=0,x2+x4+x5-x6+x7=11,x3+3x4-x5-2x6+2x7=6,0 xj4(j=1，2，7)(1)x*=(1,0,0,3,2,0,5)T,x0*=-11.(2)10.求微分方程满足初始条件 y|x=1=0 的特解。求微分方程满足初始条件 y|x=1=0 的特解。原方程是关于函数 y=y(x)的一阶线性非齐次方程，其中，由一阶线性非齐次方程的通解公式 及 ，得原方程的通解为 y=e-lnx(C+lnx)，即 将条件 y|x=1=0 代入通解，得 C=0，故所求的特解为。11.设 f(x)在a，)上连续，且当 xa 时，f&39;(x)k0其中 k 为常数若 f(a)0，则方程 f(x)=0 在内有且仅有一个实根 设 f(x)在a，+)上连续，且当 xa 时，f(x)k0其中 k 为常数若 f(a)0，则方程 f(x)=0 在内有且仅有一个实根 利用微分中值定理可得，(a，af(a)k)，使得 f(a?f(a)k)-f（a）=f（）(?f(a)k)因为当 xa 时，f（x0）k0，故 f(af(a)k)-f（a）=f（）?(?f(a)k)k?(?f(a)k)=-f（a），从而，f(af(a)k)0又因为 f（a）0，且 f（x）在a，+）上连续，故利用连续函数的零点存在定理可得，(a，a(a)k)，使得 f（）=0下面证明的唯一性如果存在12，使得 f（1）=f（2）=0，利用罗尔中值定理可得，?(a，af(a)k)，使得 f（）=0，这与 f（x）k0（xa）矛盾，故方程 f（x）=0 在区间(a，a?f(a)k)内有且仅有一个根 12.求微分方程 xy&39;-y=x3+3x2-2x 的通解 求微分方程 xy-y=x3+3x2-2x 的通解 13.在无芽酶实验中，发现吸氨量与底水及吸氨时间都有关系，试根据表中所列数据进行回归分析(水温 171；底水：10 在无芽酶实验中，发现吸氨量与底水及吸氨时间都有关系，试根据表中所列数据进行回归分析(水温 171；底水：100g 大麦经水浸一定时间后的重量；吸氨时间：min；吸氨量：在底水的基础上再浸泡氨水后增加的重量)编号吸氨量 Y 底水 x1 吸氨时间 x2 编号吸氨量 Y 底水 x1 吸氨时间x216.2136.521572.8140.518027.5136.525083.1140.521534.8136.518094.3140.525045.1138.5250104.9138.521554.6138.5180114.1138.521564.6138.5215 建立 Y 关于 x1 和 x2 的经验回归方程，并对其进行显著性检验 (1)建立回归方程，为简化计算，令 x1=x1-138.5，x2=x2-215，并将有关数据列表计算如下，由表中数据可得：编号 x1 x2 y (x1)2 (x2)2 y2 x1x2 x1y x2y 1 -2 0 6.2 4 0 38.44 0 12.4 0 2 -2 35 7.5 4 1225 56.25 -70 -15.0 262.5 3 -2 -35 4.8 4 1225 23.04 70 -9.6 -168.0 4 0 35 5.1 0 1225 26.01 0 0 178.5 5 0 -35 4.6 0 1225 21.16 0 0 -161.0 6 0 0 4.6 0 0 21.16 0 0 0 7 2 -35 2.8 4 1225 7.84 70 5.6 -98 8 2 0 3.1 4 0 9.61 0 6.2 0 9 2 35 4.3 4 1225 18.49 70 8.6 150.5 10 0 0 4.9 0 0 24.01 0 0 0 11 0 0 4.1 0 0 16.81 0 0 0 0 0 52.0 24 7350 262.82 0 -16.6 164.5 故 解之得：故得回归方程 (2)为检验回归方程显著性，下面作方差分析 Q=syy-u=17-15.073=1.927,r 接近于 1，故回归效果是好的 方差分析表如下：方差来源 平方和 自由度 均方 统计量 F(2.8)显著性 回归 15.073 2 7.5365 31.28 4.46 剩余 1.927 8 0.2409 总计 17 10 经检验，可知回归方程是显著的 14.设 ARnn，则存在有限个 Givens 矩阵(或 Householder 矩阵)的乘积 Q，使得 QAQT 为上 Hessenberg 矩阵 设 ARnn，则存在有限个 Givens 矩阵(或 Householder 矩阵)的乘积 Q，使得QAQT 为上 Hessenberg 矩阵 仅讨论使用 Givens 矩阵的情形 第 1 步：设 A=(aij)nn，记(0)=(a21，an1)TRn-1，当(0)=0 时转入 第 2 步；(0)0 时，构造有限个 Givens 矩阵的乘积 T0，使得 T0/(0)=|(0)|e1 (e1Rn-1)记，则有 =第 2 步：A(1)R(n-1)(n-1)，记Rn-2，当(1)=0 时转入第 3 步；(1)0 时，构造有限个 Givens 矩阵的乘积 T1，使得 T1/(1)=|(1)|e1 (e1Rn-2)记，则有 第 3 步：A(2)R(n-2)(n-2)，第 n-2 步：，记 当(n-3)=0 时结束；(n-3)0 时，构造 Givens 矩阵 Tn-3，使得 Tn-3(n-3)=|(n-3)|e1 (e1R2)记，则有 最后，构造正交矩阵 可使 QAQT 为上 Hessenberg 矩阵 证毕 15.设随机变量 X 服从正态分布 N(，2)，令 U=_，可使 U 服从 N(0，1)的正态分布。设随机变量 X 服从正态分布 N(，2)，令 U=_，可使 U 服从 N(0，1)的正态分布。16.用来表明同类现象在不同空间、不同时间、实际与计划对比变动情况的相对数称_指数。用来表明同类现象在不同空间、不同时间、实际与计划对比变动情况的相对数称_指数。广义 17.求二次曲线 224y5y268y1000 的主轴 求二次曲线 224y5y268y1000 的主轴 正确答案：主轴为 612y110 和 2y20 主轴为 612y110 和 2y20 18.已知 f(x+y，x-y)=xy+y2，则 f(x，y)=_ 已知 f(x+y，x-y)=xy+y2，则 f(x，y)=_ 正确答案：(1/2)(x2-xy)(1/2)(x2-xy)19.某药厂生产某种药品，年产量为 a 个单位，分若干批进行生产，每批生产准备费为 b 元。设该药品均匀投入市场(即平均 某药厂生产某种药品，年产量为 a 个单位，分若干批进行生产，每批生产准备费为b 元。设该药品均匀投入市场(即平均库存量为批量的一半)，并设每年每单位的药品库存费为 c 元。显然，生产批量大则库存费高，生产批量小则生产准备费多。问如何选择批量，才能使生产准备费与库存费之和为最小(不考虑生产能力)?设药厂分 x 批进行生产该药品，则批量为，生产准备费与库存费之和为 令 y=0，得 当时，y 达到最小。即当批量为时，准备费与库存费之和为最小。20.一厂商经营两个工厂，生产同一种产品在同一市场销售，两个工厂的成本函数分别为 C13Q122Q16，一厂商经营两个工厂，生产同一种产品在同一市场销售，两个工厂的成本函数分别为 C13Q122Q16，C22Q222Q24 而价格函数为 P746Q，QQ1Q2 厂商追求最大利润试确定每个工厂的产出 正确答案：厂商的收益函数为 RPQ74Q6Q274(Q1Q2)6(Q1Q2)2rn 利润函数为 LRC1C272Q172Q29Q128Q2212Q1Q210rn 由极值存在的必要条件和充分条件可求得每个工厂的产出分别为 Q12Q23 时厂商的利润最大 厂商的收益函数为 RPQ74Q6Q274(Q1Q2)6(Q1Q2)2 利润函数为 LRC1C272Q172Q29Q128Q2212Q1Q210 由极值存在的必要条件和充分条件可求得,每个工厂的产出分别为 Q12,Q23 时,厂商的利润最大 21.在 Re(p)在 Re(p)A、0.0 B、1.0 C、2.0 D、3.0 正确答案：A 22.求两平面1：2x-y+z=7；2：x+y+2z=11 之间的夹角 求两平面1：2x-y+z=7；2：x+y+2z=11 之间的夹角 +1=2i-j+k；=i+j+2k；=21+(-1)1+12=3 ；记 23.某公司运输某种商品的固定成本为 2 万元，每多运输 1 吨商品，运输总成本增加 1 万元，运输该商品 某公司运输某种商品的固定成本为 2 万元，每多运输 1 吨商品，运输总成本增加 1 万元，运输该商品 q 吨收取客户的收入(单位:万元)为 R(q)=4q 一 0.5q2。试求当运输量为多少时，利润最大?最大利润为多少?参考答案：运输 q 吨商品的成本函数为 C(q)=q 十 2 利润函数为 L(q)=R(q)-C(q)=3q 一 0.5q2_2 令 ML(q)=3-q=0 得惟一驻点 q=3 吨。故当运输量为 3 吨时，利润最大。最大利润为 L(3)=2.5 万元。24.用分支定界法求解 min(4x1+4x2)用分支定界法求解 min(4x1+4x2)用线性规划不难求得最优解为：x1=x2-0 25.设 F(T)=(t-t0)，则傅氏变换 Ff(t)=()A1 B2 Ceit0 De-it0 设 F(T)=(t-t0)，则傅氏变换 Ff(t)=()A1 B2 Ceit0 De-it0 D 26.求经过直线并且分别满足下列条件的平面方程：(1)经过坐标原点；(2)与x 轴平行；(3)与平面 2x-y+5z+2=0 垂直 求经过直线并且分别满足下列条件的平面方程：(1)经过坐标原点；(2)与 x 轴平行；(3)与平面 2x-y+5z+2=0 垂直 经过给定直线的平面束方程为 4x-y+3z-1+(x+5y-z+2)=0，即 (4+)x+(-1+5)y+(3-)z+(2-1)=0 (1)如果有平面经过原点，则 2-1=0，得到，故所求的平面方程为 9x+3y+5z=0 (2)如果平面束中某平面与 x 轴平行，则它的法线向量4+，-1+5，3-)与向量 l=1，0，0垂直，从而有 4+，-1+5，3-1，00=4+=0，因此=-4，所求的平面方程为 -21y+7x-9=0 (3)如果平面束中某平面与所给的平面垂直，则有 4+，-1+5，3-2，-1，5)=24-8=0，因此=3，所求的平面方程为 7x+14y+5=0 27.y=y&39;2ey y=y2ey 已解出 y；不显含 x令 y=p，有 y=p2ep 及解为 y=p2ey，x=(p+1)ep+c另外有解 y=0 28.设1，2 是矩阵 A 的两个特征值，对应的特征向量分别为1，1，则()A当1=2 时，1 与2 成比例 B当 设1，2 是矩阵 A 的两个特征值，对应的特征向量分别为1，1，则()A当1=2 时，1 与2 成比例 B当1=2 时，1 与2 不成比例 C当12 时，1 与2 成比例 D当12 时，1 与2 不成比例 正确答案：D 29.设扩大的欧氏平面 P2(R)上两点 A(3，-1，2)，B(2，0，1)，求：(1)直线 AB 在齐次坐标中的普通方程与参数方程；(设扩大的欧氏平面 P2(R)上两点 A(3，-1，2)，B(2，0，1)，求：(1)直线 AB 在齐次坐标中的普通方程与参数方程；(2)直线 AB 上的无穷远点的齐次坐标和它所对应的参数值。(1)由，求出直线 AB 的普通方程为 参数方程为 (，是不全为 0 的实数)因为无穷远点的齐次坐标为(x1，x2，0)，所以从普通方程中解出 x1=1，x2=1，即无穷远点的齐次坐标为(1，1，0)，此时，相应的参数值由参数方程解得=-1，=2。30.设随机变量 X 的分布函数为，求 X 的概率密度 f(x)的最大值 设随机变量 X 的分布函数为，求 X 的概率密度 f(x)的最大值 当 x0 时，f(x)=xe-x，最大值 f(1)=e-1