自主招生模拟数学试题849.pdf
2021 自主招生模拟数学试题 一、选择题 1.如果关于x的方程2230 xaxa至少有一个正根，那么实数a的取值范围是 A、22a B、23 a C、23a D、23a 2.P 是凸四边形内的一点，P 与四个顶点连接得到的四条线段的长分别为 1，2，3，4。那么这个四边形的面积的最大值为()A、10.5 B、12 C、12.5 D、15 3.设，分别为的三边的长，且aabbabc，那么它的内角、的关系是 AB2A BB2A CB2A D不确定 4.满足20073xxy的正整数数对x，y A只有一对 B恰有两对 C至少有三对 D不存在 5.cosAsin80，那么锐角 A 的取值范围是 A60A80 B30A80 C10A60 D10A30 6.骰子是一个质量均匀的正方体，6 个面上分别刻有 1,2,3,4,5,6 点，现在桌面上有 3 个骰子分别为木制，骨制，塑料制的。重复下面操作，直到桌子上没有骰子为止：将桌上的骰子全部掷出，然后去掉那些奇数点的骰子，那么完成以上操作的次数多于 3 次的概率为 A.31 B.41 C.512169 D.216119 7.假设两个不同的自然数 a，b 组成的数对a，b满足他们的算术平均数 A 和几何平均数G 均为两位数，且 A 和 G 中的一个可由另一个交换个位和十位数字得到，那么称这样的自然数对为“好数对，满足条件的“好数对有A对.那么A A.0 B.1 C.2 D.3 8.如图,圆心角为 120 的扇形 AOB 半径为1，C 为AB 中点点 D，E 分别在半径 OA，OB上假设 CD 2CE 2DE 252，设OEODm那么m的取值范围是 A.5142451m B.122 m C.2215m D.121 m 9.函数为实数），cacaxxf,()(2假设,2)2(1,1)1(4ff那么 f8的最大值是 A.120 B.121 C.122 D.123 10.直角坐标平面内有两个定点 M 0,4,N 2，2,抛物线)0(562aaaxaxy与 x 轴自左至右交于 A、B，当此抛物线左右平移时，AMBN 的最小值是 A、36 B、26 C、8 D、6 11.a，b，c是实常数，关于x的一元二次方程20axbxc有两个非零实根1x，2x，那么以下关于x的一元二次方程中，以211x，221x为两个实根的是 A.2222(2)0c xbac xa B.2222(2)0c xbac xa C.2222(2)0c xbac xa D.2222(2)0c xbac xa 12.正实数a，b，c，d满足关系式：a+b+c+d=1，设131313132222dcbas，那么 s 与 2 的关系是 A B O E D C s2 B.s2 C.s2 D.s2 13.计算：)441).(413)(49)(45()439).(411)(47)(43(44444444=A.3531 B.3541 C.3551 D.3561 二、填空题 14.函数2)2()(2xaxxxf的图象为轴对称图形，那么实数a的值为_.15.将与 105 互质的所有正整数从小到大排成数列，那么这个数列的 2021 项为_.16.cba,均为非负数，将cba,填入下面的数表中：a 0.5 c 1 b 2 设竖排的数的和从左往右分别为321,kkk，横行的积从上往下分别为21,ss。假设4321kkk，mss21，那么m的最大值为_.15.一些物体每个染上红色或蓝色中的一种，排在一条直线上，至少有一个物体染上红色，同样至少有一个物体染上染上蓝色，两物体之间有 10 个或 15 个另外的物体，那么这两个物体是同色的，那么这些物体最多有_个。16.在ABC 中，C=090，斜边 AB=10，直角边 AC、BC 的长分别是关于x的方程2360 xmxm的两个实根，那么 sinA+sinB+sinAsinB=。17.三角形的三边为,10,cbacabcba为整数，且若那么该三角形是等边三角形的概率是 。三、解答题：解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤 18.对于x的二次三项式2axbxc(0a)。1当0c 时，求函数22|1yaxbxc 的最大值；2假设不管k为任何实数，直线2(1)4kyk x与抛物线2yaxbxc有且只有一个公共点，求a，b，c的值。19.如图，双曲线11:Cyx、抛物线22:12Cyx，直线:l ykxm.假设直线l与抛物线2C有公共点，求24km的最小值；设直线l与双曲线1C的两个交点为AB、，与抛物线2C的两个交点为CD、.是否存在直线l，使得AB、为线段CD的三等分点？假设存在，求出直线l的解析式，假设不存在，请说明理由。HQPEDCBA 20.如图，在ABC 中，ADBC，BEAC，AD 与 BE 相交于点 H，P 为边 AB 的中点，过点 C作 CQPH，垂足为 Q，求证：2PEPH PQ。21.如图：直线18xy分别与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点；直线xy2分别与 AB 交于 C 点，与过点 A 且平行于 y 轴的直线交于 D 点点 E 从点 A 出发，以每秒 1 个单位的速度沿x 轴向左运动，过点 E 作 x 轴的垂线，分别交直线 AB、OD 于P、Q，以 PQ 为边向右作正方形 PQMN，设正方形 PQMN 与ACD重叠局部阴影局部的面积为 S平方单位，点 E的运动时间为 t秒1当0t12 时，求 S 与 t 之间的函数关系式；2求1中 S 的最大值；(3)当 t0 时，假设点10,10落在正方形 PQMN 的内部，求 t 的取值范围 22.如图，圆内接四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 N，点 M在对角线 BD 上，且满足BAM=DAN，BCM=DCN 求证：1M 为 BD 的中点；2ANAMCNCM 23.分解因式：)()()(333yxzxzyzyx。24.二次函数2yaxbxc和一次函数ybx，其中 a、b、c 满足abc，0abc(,a b cR)1求证：两函数的图象有两个不同的交点 A、B；2过1中的两点 A、B 分别作 x 轴的垂线，垂足为 A1、B1求线段 A1B1的长的取值范围 25.如图，是O的直径，过点作O的切线，点在右半圆上移动 ABBBMP点与点、不重合，过点作，垂足为；点在射线 上移动点在点的右边，且在移动过程中保持.(1)假设、的延长线相交于点，判断是否存在点，使得点恰好在O上？假设存在，求出的大小；假设不存在，请说明理由；(2)连结交于点，设，试问：的值是否随点的移动而变化？证明你的结论 26.二次函数2yxbxc的图象经过两点 P(1,)a，Q(2,10)a.1如果,a b c都是整数，且8cba，求,a b c的值.2设二次函数2yxbxc的图象与x轴的交点为 A、B，与y轴的交点为 C.如果关于x的方程20 xbxc的两个根都是整数，求ABC 的面积.27.5,4,3,2,1的排列54321,aaaaa具有性质，对于41i，iaaaa,.,321不能构成i,.,4,3,2,1的某个排列，求这种排列的个数。PABPPCABCQBMMBOQAPPCQOEPEAPCAQPCFPCPFk kPQ A B C E F P M O 28.定义：在平面内，我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量。平面向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。其中大小相等，方向相同的向量叫做相等向量。如以正方形ABCD的四个顶点中某一点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出 8个不同的向量:AB、BA、AC、CA、AD、DA、BD、DB由于AB和DC是相等向量，因此只算一个。作两个相邻的正方形(如图一)。以其中的一个顶点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出不同向量的个数记为)2(f，试求)2(f的值；作n个相邻的正方形(如图二)“一字型排开。以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为)(nf，试求)(nf的值；共 n 个正方形 作32个相邻的正方形(如图三)排开。以其中的一个顶点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出不同向量的个数记为)32(f，试求)32(f的值；图一 作nm个相邻的正方形(如图四)排开。以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量,可以作出不同向量的个数记为)(nmf，试求)(nmf的值。29.二次函数2yxbxc的图象经过两点 P(1,)a，Q(2,10)a.1如果,a b c都是整数，且8cba，求,a b c的值.2设二次函数2yxbxc的图象与x轴的交点为 A、B，与y轴的交点为 C.如果关于x的方程20 xbxc的两个根都是整数，求ABC 的面积.30.二次函数2yaxbxc和一次函数ybx，其中 a、b、c 满足abc，0abc(,a b cR)1求证：两函数的图象有两个不同的交点 A、B；2过1中的两点 A、B 分别作 x 轴的垂线，垂足为 A1、B1求线段 A1B1的长的取值范围 共 n 个正方形相连 共 m 个正方形相 31.在非等腰ABC 中,高 AA1,CC1 夹成的角平分线分别交 AB,BC 于 P,Q，B 的平分线与连接ABC 的垂心 H 和 AC 中点 E 的线段交于 R。求证：P,B,Q,R 四点共圆.32.设奇数 a，b，c，d 满足 0abcd，ad=bc，假设mkcbda2,2 这里 k，m 是整数，试证 a=1。
