挑战中考数学压轴题因动点产生的直角三角形问题.pdf
1.3 因动点产生的直角三角形问题 例 1 2021 年上海市虹口区中考模拟第 25 题 如图 1,在 RtABC 中,ACB90,AB13,CD/AB,点 E 为射线 CD 上一动点不与点 C 重合,联结 AE 交边 BC 于 F,BAE 的平分线交 BC 于点 G 1当 CE3 时,求 SCEFSCAF的值;2设 CEx,AEy,当 CG2GB 时,求 y 与 x 之间的函数关系式;3当 AC5 时,联结 EG,假设AEG 为直角三角形,求 BG 的长 图 1 动感体验 请翻开几何画板文件名“15 虹口 25,拖动直角顶点 C 运动,可以体验到,CG2GB保持不变,ABC 的形状在改变,EAEM 保持不变 点击屏幕左下角的按钮“第 3 题,拖动 E 在射线 CD 上运动,可以体验到,AEG 可以两次成为直角三角形 思路点拨 1第1题中的CEF 和CAF 是同高三角形,面积比等于底边的比 2第2题中的ABC 是斜边为定值的形状不确定的直角三角形 3第3题中的直角三角形 AEG 分两种情况讨论 总分值解答 1如图 2,由 CE/AB,得313EFCEAFBA 由于CEF 与CAF 是同高三角形,所以 SCEFSCAF313 2如图 3,延长 AG 交射线 CD 于 M 图 2 由 CM/AB,得2CMCGABBG所以 CM2AB26 由 CM/AB,得EMABAM 又因为 AM 平分BAE,所以BAMEAM 所以EMAEAM所以 yEAEM26x 图 3 图 4 3在 RtABC 中,AB13,AC5,所以 BC12 如图 4,当AGE90时,延长 EG 交 AB 于 N,那么AGEAGN 所以 G 是 EN 的中点 所以 G 是 BC 的中点,BG6 如图 5,当AEG90时,由CAFEGF,得FCFAFEFG 由 CE/AB,得FCFBFEFA 所以FAFBFGFA又因为AFGBFA,所以AFGBFA 所以FAGB所以GABB所以 GAGB 作 GHAH,那么 BHAH132 在 RtGBH 中,由 cosBBHBG,得 BG132121316924 图 5 图 6 考点伸展 第3题的第种情况,当AEG90时的核心问题是说理 GAGB 如果用四点共圆,那么很容易 如图 6,由 A、C、E、G 四点共圆,直接得到24 上海版教材不学习四点共圆,比拟麻烦一点的思路还有:如图 7,当AEG90时,设 AG 的中点为 P,那么 PC 和 PE 分别是 RtACG 和 RtAEG 斜边上的中线,所以 PCPEPAPG 所以122,325 如图 8,在等腰PCE 中,CPE1802(45),又因为CPE180(13),所以132(45)所以124 所以24B所以GABB所以 GAGB 图 7 图 8 例 2 2021 年苏州市中考第 29 题 如图 1,二次函数 ya(x22mx3m2)其中 a、m 是常数,且 a0,m0的图像与x 轴分别交于 A、B点 A 位于点 B 的左侧,与 y 轴交于点 C(0,3),点 D 在二次函数的图像上,CD/AB,联结 AD过点 A 作射线 AE 交二次函数的图像于点 E,AB 平分DAE 1用含 m 的式子表示 a;2求证:ADAE为定值;3设该二次函数的图像的顶点为 F探索:在 x 轴的负半轴上是否存在点 G,联结GF,以线段 GF、AD、AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形?如果存在,只要找出一个满足要求的点 G 即可,并用含 m 的代数式表示该点的横坐标;如果不存在,请说明理由 图 1 动感体验 请翻开几何画板文件名“14 苏州 29,拖动 y 轴正半轴上表示实数 m 的点运动,可以体验到,点 E、D、F 到 x 轴的距离都为定值 思路点拨 1不算不知道,一算真奇妙通过二次函数解析式的变形,写出点 A、B、F 的坐标后,点 D 的坐标也可以写出来点 E 的纵坐标为定值是算出来的 2在计算的过程中,第1题的结论21am及其变形21am 反复用到 3注意到点 E、D、F 到 x 轴的距离正好是一组常见的勾股数5,3,4,因此过点 F作 AD 的平行线与 x 轴的交点,就是要求的点 G 总分值解答 1将 C(0,3)代入 ya(x22mx3m2),得33am2因此21am 2由 ya(x22mx3m2)a(xm)(x3m)a(xm)24axm2a(xm)24,得 A(m,0),B(3m,0),F(m,4),对称轴为直线 xm 所以点 D 的坐标为(2m,3)设点 E 的坐标为(x,a(xm)(x3m)如图 2,过点 D、E 分别作 x 轴的垂线,垂足分别为 D、E 由于EAEDAD,所以EEDDAEAD因此()(3)33a xm xmxmm 所以 am(x3m)1结合21am,于是得到 x4m 当 x4m 时,ya(xm)(x3m)5am25所以点 E 的坐标为(4m,5)所以35ADDDAEEE 图 2 图 3 3如图 3,由 E(4m,5)、D(2m,3)、F(m,4),可知点 E、D、F 到 x 轴的距离分别为 5、4、3 那么过点 F 作 AD 的平行线与 x 轴的负半轴的交点,就是符合条件的点 G 证明如下:作 FFx 轴于 F,那么43GFFFADDD 因此534AEADGF所以线段 GF、AD、AE 的长围成一个直角三角形 此时 GF4m所以 GO3m,点 G 的坐标为(3m,0)考点伸展 第3题中的点 G 的另一种情况,就是 GF 为直角三角形的斜边 此时5334AEADGF因此34GFm 所以(341)GOm此时(34,0)G mm 例 3 2021 年山西省中考第 26 题 如图 1,抛物线213442yxx与 x 轴交于 A、B 两点点 B 在点 A 的右侧,与 y 轴交于点 C,连结 BC,以 BC 为一边,点 O 为对称中心作菱形 BDEC,点 P 是 x 轴上的一个动点,设点 P 的坐标为(m,0),过点 P 作 x 轴的垂线 l 交抛物线于点 Q 1求点 A、B、C 的坐标;2当点 P 在线段 OB 上运动时,直线 l 分别交 BD、BC 于点 M、N试探究 m 为何值时,四边形 CQMD 是平行四边形,此时,请判断四边形 CQBM 的形状,并说明理由;3当点 P 在线段 EB 上运动时,是否存在点 Q,使BDQ 为直角三角形,假设存在,请直接写出点 Q 的坐标;假设不存在,请说明理由 图 1 动感体验 请翻开几何画板文件名“13 山西 26,拖动点 P 在线段 OB 上运动,可以体验到,当P 运动到 OB 的中点时,四边形 CQMD 和四边形 CQBM 都是平行四边形拖动点 P 在线段EB 上运动,可以体验到,DBQ 和BDQ 可以成为直角 请翻开超级画板文件名“13 山西 26,拖动点 P 在线段 OB 上运动,可以体验到,当P 运动到 OB 的中点时,四边形 CQMD 和四边形 CQBM 都是平行四边形拖动点 P 在线段EB 上运动,可以体验到,DBQ 和BDQ 可以成为直角 思路点拨 1第2题先用含 m 的式子表示线段 MQ 的长,再根据 MQDC 列方程 2第2题要判断四边形 CQBM 的形状,最直接的方法就是根据求得的 m 的值画一个准确的示意图,先得到结论 3第3题BDQ 为直角三角形要分两种情况求解,一般过直角顶点作坐标轴的垂线可以构造相似三角形 总分值解答 1由21314(2)(8)424yxxxx,得 A(2,0),B(8,0),C(0,4)2直线 DB 的解析式为142yx 由点 P 的坐标为(m,0),可得1(,4)2M mm,213(,4)42Q mmm 所以 MQ221131(4)(4)82424mmmmm 当 MQDC8 时,四边形 CQMD 是平行四边形 解方程21884mm,得 m4,或 m0舍去 此时点 P 是 OB 的中点,N 是 BC 的中点,N(4,2),Q(4,6)所以 MNNQ4所以 BC 与 MQ 互相平分 所以四边形 CQBM 是平行四边形 图 2 图 3 3存在两个符合题意的点 Q,分别是(2,0),(6,4)考点伸展 第3题可以这样解:设点 Q 的坐标为1(,(2)(8)4xxx 如图 3,当DBQ90时,12QGBHGBHD所以1(2)(8)1482xxx 解得 x6此时 Q(6,4)如图 4,当BDQ90时,2QGDHGDHB所以14(2)(8)42xxx 解得 x2此时 Q(2,0)图 3 图 4 例 4 2021 年广州市中考第 24 题 如图 1,抛物线233384yxx 与 x 轴交于 A、B 两点点 A 在点 B 的左侧,与 y轴交于点 C 1求点 A、B 的坐标;2设 D 为抛物线的对称轴上的任意一点,当ACD 的面积等于ACB 的面积时,求点 D 的坐标;3假设直线 l 过点 E(4,0),M 为直线 l 上的动点,当以 A、B、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时,求直线 l 的解析式 图 1 动感体验 请翻开几何画板文件名“12 广州 24,拖动点 M 在以 AB 为直径的圆上运动,可以体验到,当直线与圆相切时,符合AMB90的点 M 只有 1 个 请翻开超级画板文件名“12 广州 24,拖动点 M 在以 AB 为直径的圆上运动,可以体验到,当直线与圆相切时,符合AMB90的点 M 只有 1 个 思路点拨 1根据同底等高的三角形面积相等,平行线间的距离处处相等,可以知道符合条件的点 D 有两个 2当直线 l 与以 AB 为直径的圆相交时,符合AMB90的点 M 有 2 个;当直线 l与圆相切时,符合AMB90的点 M 只有 1 个 3灵活应用相似比解题比拟简便 总分值解答 1由23333(4)(2)848yxxxx ,得抛物线与 x 轴的交点坐标为 A(4,0)、B(2,0)对称轴是直线 x1 2 ACD 与ACB 有公共的底边 AC,当ACD 的面积等于ACB 的面积时,点 B、D 到直线 AC 的距离相等 过点 B 作 AC 的平行线交抛物线的对称轴于点 D,在 AC 的另一侧有对应的点 D 设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 G,与 AC 交于点 H 由 BD/AC,得DBGCAO所以34DGCOBGAO 所以3944DGBG,点 D 的坐标为9(1,)4 因为 AC/BD,AGBG,所以 HGDG 而 DHDH,所以 DG3DG274所以 D的坐标为27(1,)4 图 2 图 3 3过点 A、B 分别作 x 轴的垂线,这两条垂线与直线 l 总是有交点的,即 2 个点 M 以 AB 为直径的G 如果与直线 l 相交,那么就有 2 个点 M;如果圆与直线 l 相切,就只有 1 个点 M 了 联结 GM,那么 GMl 在 RtEGM 中,GM3,GE5,所以 EM4 在 RtEM1A 中,AE8,113tan4M AM EAAE,所以 M1A6 所以点 M1的坐标为(4,6),过 M1、E 的直线 l 为334yx 根据对称性,直线 l 还可以是334yx 考点伸展 第3题中的直线 l 恰好经过点 C,因此可以过点 C、E 求直线 l 的解析式 在 RtEGM 中,GM3,GE5,所以 EM4 在 RtECO 中,CO3,EO4,所以 CE5 因此三角形EGMECO,GEMCEO所以直线 CM 过点 C 例 5 2021 年杭州市中考第 22 题 在平面直角坐标系中,反比例函数与二次函数 yk(x2x1)的图象交于点 A(1,k)和点B(1,k)1当 k2 时,求反比例函数的解析式;2要使反比例函数与二次函数都是 y 随 x 增大而增大,求 k 应满足的条件以及 x 的取值范围;3设二次函数的图象的顶点为 Q,当ABQ 是以 AB 为斜边的直角三角形时,求 k的值 动感体验 请翻开几何画板文件名“12 杭州 22,拖动表示实数 k 的点在 y 轴上运动,可以体验到,当 k0 并且在抛物线的对称轴左侧,反比例函数与二次函数都是 y 随 x 增大而增大 观察抛物线的顶点 Q 与O 的位置关系,可以体验到,点 Q 有两次可以落在圆上 请翻开超级画板文件名“12 杭州 22,拖动表示实数 k 的点在 y 轴上运动,可以体验到,当 k0 并且在抛物线的对称轴左侧,反比例函数与二次函数都是 y 随 x 增大而增大 观察抛物线的顶点 Q 与O 的位置关系,可以体验到,点 Q 有两次可以落在圆上 思路点拨 1由点 A(1,k)或点 B(1,k)的坐标可以知道,反比例函数的解析式就是kyx题目中的 k 都是一致的 2由点 A(1,k)或点 B(1,k)的坐标还可以知道,A、B 关于原点 O 对称,以 AB 为直径的圆的圆心就是 O 3根据直径所对的圆周角是直角,当 Q 落在O 上是,ABQ 是以 AB 为直径的直角三角形 总分值解答 1因为反比例函数的图象过点 A(1,k),所以反比例函数的解析式是kyx 当 k2 时,反比例函数的解析式是2yx 2在反比例函数kyx中,如果 y 随 x 增大而增大,那么 k0 当 k0 时,抛物线的开口向下,在对称轴左侧,y 随 x增大而增大 抛物线 yk(x2x1)215()24k xk的对称轴是直线12x 图 1 所以当 k0 且12x 时,反比例函数与二次函数都是 y 随 x 增大而增大 3抛物线的顶点 Q 的坐标是15(,)24k,A、B 关于原点 O 中心对称,当 OQOAOB 时,ABQ 是以 AB 为直径的直角三角形 由 OQ2OA2,得222215()()124kk 解得1233k 如图 2,2233k 如图 3 图 2 图 3 考点伸展 如图 4,经过原点 O 的两条直线 AB 与 CD 分别与双曲线kyxk0 交于 A、B 和 C、D,那么 AB 与 CD 互相平分,所以四边形 ACBD 是平行四边形 问平行四边形 ABCD 能否成为矩形?能否成为正方形?如图 5,当 A、C 关于直线 yx 对称时,AB 与 CD 互相平分且相等,四边形 ABCD 是矩形 因为 A、C 可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上,所以 OA 与 OC 无法垂直,因此四边形 ABCD 不能成为正方形 图 4 图 5 例 6 2021 年浙江省中考第 23 题 设直线 l1:yk1xb1与 l2:yk2xb2,假设 l1l2,垂足为 H,那么称直线 l1与 l2是点 H 的直角线 1直线122yx;2yx;22yx;24yx和点C(0,2),那么直线_和_是点 C 的直角线填序号即可;2如图,在平面直角坐标系中,直角梯形 OABC 的顶点 A(3,0)、B(2,7)、C(0,7),P 为线段 OC 上一点,设过 B、P 两点的直线为 l1,过 A、P 两点的直线为 l2,假设 l1与 l2是点 P 的直角线,求直线 l1与 l2的解析式 图 1 动感体验 请翻开几何画板文件名“11 浙江 23,拖动点 P 在 OC 上运动,可以体验到,APB有两个时刻可以成为直角,此时BCPPOA 答案 1直线和是点 C 的直角线 2当APB90时,BCPPOA那么BCPOCPOA,即273POPO解得 OP6 或 OP1 如图 2,当 OP6 时,l1:162yx,l2:y2x6 如图 3,当 OP1 时,l1:y3x1,l2:113yx 图 2 图 3 例 7 2021 年北京市中考第 24 题 在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线22153244mmyxxmm 与 x 轴的交点分别为原点 O 和点 A,点 B(2,n)在这条抛物线上 1求点 B 的坐标;2点 P 在线段 OA 上,从点 O 出发向点 A 运动,过点 P 作 x 轴的垂线,与直线 OB交于点 E,延长 PE 到点 D,使得 EDPE,以 PD 为斜边,在 PD 右侧作等腰直角三角形PCD当点 P 运动时,点 C、D 也随之运动 当等腰直角三角形 PCD 的顶点 C 落在此抛物线上时,求 OP 的长;假设点 P 从点 O 出发向点 A 作匀速运动,速度为每秒 1 个单位,同时线段 OA 上另一个点 Q 从点 A 出发向点 O 作匀速运动,速度为每秒 2 个单位 当点 Q 到达点 O 时停止运动,点 P 也停止运动 过 Q 作 x 轴的垂线,与直线 AB 交于点 F,延长 QF 到点 M,使得FMQF,以 QM 为斜边,在 QM 的左侧作等腰直角三角形 QMN当点 Q 运动时,点 M、N 也随之运动 假设点 P 运动到 t 秒时,两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上,求此刻 t 的值 图 1 动感体验 请翻开几何画板文件名“10 北京 24,拖动点 P 从 O 向 A 运动,可以体验到,两个等腰直角三角形的边有三个时刻可以共线 思路点拨 1这个题目最大的障碍,莫过于无图了 2把图形中的始终不变的等量线段罗列出来,用含有 t 的式子表示这些线段的长 3点 C 的坐标始终可以表示为(3t,2t),代入抛物线的解析式就可以计算此刻 OP 的长 4当两个等腰直角三角形有边共线时,会产生新的等腰直角三角形,列关于 t 的方程就可以求解了 总分值解答(1)因 为 抛 物 线22153244mmyxxmm 经 过 原 点,所 以2320mm 解得12m,21m 舍去 因此21542yxx 所以点 B 的坐标为2,4 (2)如图 4,设 OP 的长为 t,那么 PE2t,EC2t,点 C 的坐标为(3t,2t)当点 C落在抛物线上时,2152(3)342ttt 解得229tOP 如图 1,当两条斜边 PD 与 QM 在同一条直线上时,点 P、Q 重合此时 3t10解得103t 如图 2,当两条直角边 PC 与 MN 在同一条直线上,PQN 是等腰直角三角形,PQPE此时1032tt解得2t 如图 3,当两条直角边 DC 与 QN 在同一条直线上,PQC 是等腰直角三角形,PQPD此时1034tt解得107t 图 1 图 2 图 3 考点伸展 在此题情境下,如果以 PD 为直径的圆 E 与以 QM 为直径的圆 F 相切,求 t 的值 如图 5,当 P、Q 重合时,两圆内切,103t 如图 6,当两圆外切时,3020 2t 图 4 图 5 图 6 例 8 2021 年嘉兴市中考第 24 题 如图 1,A、B 是线段 MN 上的两点,4MN,1MA,1MB以 A 为中心顺时针旋转点 M,以 B 为中心逆时针旋转点 N,使 M、N 两点重合成一点 C,构成ABC,设xAB 1求 x 的取值范围;2假设ABC 为直角三角形,求 x 的值;3探究:ABC 的最大面积?图 1 动感体验 请翻开几何画板文件名“09 嘉兴 24,拖动点 B 在 AN 上运动,可以体验到,三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;CAB 和ACB 可以成为直角,CBA 不可能成为直角;观察函数的图象,可以看到,图象是一个开口向下的“U形,当 AB 等于1.5 时,面积到达最大值 思路点拨 1根据三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边列关于 x 的不等式组,可以求得 x 的取值范围 2分类讨论直角三角形 ABC,根据勾股定理列方程,根据根的情况确定直角三角形的存在性 3把ABC 的面积 S 的问题,转化为 S2的问题AB 边上的高 CD 要根据位置关系分类讨论,分 CD 在三角形内部和外部两种情况 总分值解答 1在ABC 中,1AC,xAB,xBC3,所以.31,31xxxx 解得21 x 2假设 AC 为斜边,那么22)3(1xx,即0432 xx,此方程无实根 假设 AB 为斜边,那么1)3(22xx,解得35x,满足21 x 假设 BC 为斜边,那么221)3(xx,解得34x,满足21 x 因此当35x或34x时,ABC 是直角三角形 3在ABC 中,作ABCD 于 D,设hCD,ABC 的面积为 S,那么xhS21 如图 2,假设点 D 在线段 AB 上,那么xhxh222)3(1移项,得2221)3(hxhx两边平方,得22222112)3(hhxxhx整理,得4312xhx 两 边 平 方,得16249)1(222xxhx 整 理,得16248222xxhx 所以462412222xxhxS21)23(22x423x 当23x时满足423x ,2S取最大值21,从而 S 取最大值22 图 2 图 3 如图 3,假设点 D 在线段 MA 上,那么xhhx2221)3(同理可得,462412222xxhxS21)23(22x413x 易知此时22S 综合得,ABC 的最大面积为22 考点伸展 第3题解无理方程比拟烦琐,迂回一下可以防止烦琐的运算:设aAD,例如在图 2 中,由2222BDBCADAC列方程222)()3(1axxa 整理,得xxa43 所以 21a22216248431xxxxx 因此 462)1(412222xxaxS