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计算方法练习题一 练习题第 1 套参考答案 一、填空题 114159.3的近似值 3.1428，准确数位是（210 ）。2满足dbfcaf)(,)(的插值余项)(xR（)(!2)(bxaxf ）。3设)(xPk为勒让德多项式，则)(),(22xPxP（52 ）。4乘幂法是求实方阵（按模最大 ）特征值与特征向量的迭代法。5欧拉法的绝对稳定实区间是（0,2）。二、单选题 1已知近似数,ba的误差限)(),(ba，则)(ab（）。A)()(ba )()(ba )()(bbaa )()(abba 2设xxxf2)(，则 3,2,1 f（）。3设3113，则化为对角阵的平面旋转（）2 3 4 6 4若双点弦法收敛，则双点弦法具有（）敛速 线性 超线性 平方 三次 5改进欧拉法的局部截断误差阶是（）.A)(ho )(2ho )(3ho )(4ho 三、计算题 1求矛盾方程组：2423212121xxxxxx的最小二乘解。22122122121)2()42()3(),(xxxxxxxx，由0,021xx得：9629232121xxxx，解得149,71821xx。2用4n的复化梯形公式计算积分211dxx，并估计误差。21697.0217868581 81xdx，9611612)(2MxR。3用列主元消元法解方程组：426453426352321321321xxxxxxxxx。1142242644223214264426453426352 回代得：Tx)1,1,1(4用雅可比迭代法解方程组：（求出)1(x）。131410141014321xxx 因为为严格对角占优阵，所以雅可比法收敛。雅可比迭代公式为：,1,0,)1(41)3(41)1(41)(2)1(3)(3)(1)1(2)(2)1(1mxxxxxxxmmmmmmm。取Tx)1,1,1()0(计算得：Tx)5.0,25.1,5.0()1(。5用切线法求0143 xx最小正根（求出1x）。因为0875.0)5.0(,01)0(ff，所以5.0,0*x，在5.0,0上，06)(,043)(2 xxfxxf。由0)()(0 xfxf，选00 x，由迭代公式：,1,0,4314231nxxxxxnnnnn 计算得：25.01x。四、证明题 1 证明：若)(xf 存在，则线性插值余项为：1010),)(!2)()(xxxxxxfxR。2.对初值问题：1)0(10yyy，当2.00 h时，欧拉法绝对稳定。设)()()()()(),)()()(10110 xtxtxktLtftgxxxxxkxR，有 xxx,10为三个零点。应用罗尔定理，)(tg 至少有一个零点，!2)()(,0)(!2)()(fxkxkfg 。由欧拉法公式得：001yyohyynnn。当2.00 h时，则有 00yyyynn。欧拉法绝对稳定。练习题第 2 套参考答案 一、填空题 171828.2e具有 3 位有效数字的近似值是（21102，）。2用辛卜生公式计算积分101xdx（11xx，）。3设)()1()1(kijkaA第k列主元为)1(kpka，则)1(kpka（21x，）。4已知2415A，则1A（)(434)1(232)1(1313331mmmxaxaxaba,）。5已知迭代法：),1,0(),(1nxxnn 收敛，则)(x满足条件（0()0f x ）。二、单选题 1近似数21047820.0a的误差限是（C ）。51021 41021 31021 21021 矩阵满足（D ）,则存在三角分解 A=LR。A0detA )1(0detnkAk 0detA 0detA 已知Tx)5,3,1(，则1x（B ）。已知切线法收敛，则它法具有（A ）敛速 线性 超线性 平方 三次 设)(xPk为勒让德多项式，则)(),(53xPxP（B）。52 72 92 112 三、计算题 已知)(xf数表：求抛物插值多项式，并求)5.0(f近似值。利用反插值法得 211(0)(0)(04)(04)(02)1.75224fN 已知数表：求最小二乘一次式。由方程组：01014648614102aaaa，解得：013,6aa，所以xxg63)(*1。已知求积公式：)21()0()21()(21110fAfAfAdxxf。求210,AAA，使其具有尽可能高代数精度，并指出代数精度。101 188810.406228 2910113dxIx，21|()|0.0013212 16768MR f。用乘幂法求410131014A的按模最大特征值与特征向量。因为 x y x y 1 3.2 4.8 2211123,1,4aaa122220022223104002222013000302222003002001001A 所以：112233224,(,0)223,(0,1,0)222,(,0)22TTTXXX 用予估校正法求初值问题：1)0(2yyxy在4.0)2.0(0 x处的解。应用欧拉法计算公式：nnnyxy1.12.01，1,0n，10y。计算得121.1,1.23yy。四、证明题 设)(A是实方阵的谱半径，证明：AA)(。1 因为 A=(A-B)+B,AABB，所以ABAB，又因为 B=(B-A)+A,BBAA 所以BABAAB BAAB 证明：计算)0(aa的单点弦法迭代公式为：nnnxcacxx1，,1,0n。因为计算5a等价求50 xa的实根，将54(),()5f xxa fxx代入切线法迭代公式得：51441(4),0,1,.55nnnnnnxaaxxxnxx。计算方法练习题二 练习题第 3 套参考答案 一、填空题 1近似数30.63500 10a 的误差限是（210 ）。2设|x|1,则变形1xx（()1G，）,计算更准确。3用列主元消元法解：121223224xxxx，经消元后的第二个方程是（111n nnnx xanxxx),2,1(n，）。4用高斯赛德尔迭代法解 4 阶方程组，则(1)3mx(1.2，)。5已知在有根区间a,b上,(),()fxfx连续且大于零，则取0 x满足（2(,)22nnnnf xyk ），则切线法收敛。二、选择题 1已知近似数a的()10/0ra，则3()ra（c ）。A.10/0 B.20/0 C.30/0 D.40/0 2设()KTX为切比雪夫多项式，则22().()TX TX（b ）。A.0 B4.C.2 D.3对6436A直接作三角分解，则22r（d ）。A.5 B.4 C.3 D.2 4已知 A=D-L-U，则雅可比迭代矩阵 B=（c）。A.1()DLU B.1()DLU C.1()DLU D.1()DUL 5设双点弦法收敛，则它具有（a）敛速。A.线性 B.超线性 C.平方 D.三次 三、计算题 1 已知()f x数表 用插值法求()0f x 在0，2的根。2 23sin0.5828510，222()0.582 1052400R。2已知数表 求最小二乘一次式。2222(,)(4)(3)(26)x yxyxyxy，由0,0 xy 得6219235xyxy，解得：474,147xy。3用 n=4 的复化辛卜生公式计算积分102dxx，并估计误差。3由221110482n解得3n，取 n=3，复化梯形公式计算得：101 16610.406726 2783dxx。4用雅可比法求310130003A的全部特征值与特征向量。412011201120123 1201 1001 1001210121001 1 回代得：(1,1,1)TX 5用欧拉法求初值问题2(0)1yxyy在 x=0(0.1)0.2 处的解。X 0 1 2 y-4-2 2 X 0 1 2 3 y 2.8 9.2 15.2 20.8 5因为3311122,1,4aaa 12222002013002222010020010020102001222202222A 所以Tx)22,0,22(,311 Tx)0,1,0(,322 Tx)22,0,22(,333 四、证明题 1 证明：ABAB。2 证明：计算5a的切线法迭代公式为：141(4),0,1,.5nnnaxxnx 1设pxx，则有niipniixxxn122121，所以有221xxxn 2因为迭代函数是()(),()1()xxf xxfx，当120m时则有11()1fx ，即|1()|()|1fxx，所以迭代法收敛。练习题第 4 套参考答案 一、填空题 1已知误差限(),(),ab则()ab（|()|(baab，）。2用辛卜生公式计算积分102dxx（73180，）。3若TAA。用改进平方根法解Axb，则jkl（kjkkrr，）。4当系数阵 A 是(严格对角占优 )矩阵时，则雅可比法与高斯赛德尔法都收敛。5若12，且)3(1ii，则用乘幂法计算1（.21)()2(kikixx ）。二、单选题 141424.12,则近似值107的精确数位是（a ）。A.110 B.210 C.310 D.410 2若111221221042,1024rrlr则有22r（b）。A.2 B.3 C.4 D.0 3若4114A，则化 A 为对角阵的平面旋转角（c ）。A.2 B.3 C.4 D.6 4若切线法收敛，则它具有（b ）敛速。A.三次 B.平方 C.超线性 D.线性 5改进欧拉法的绝对稳定实区间是（d）。A.-3，0 B.-2.78，0 C.2.51，0 D.-2，0 三、计算题 1.已知函数表:X 1 2 Y-1 0 Y 0 2 求埃尔米特差值多项式)(xH及其余项。222()(12(1)(2)(1)(2)(1)22H xxxxxxx。(4)22()()(1)(2),(12)4!fR xxx 2求3()f xx在-1，1上的最佳平方逼近一次式。2设*10011()()()gxa pxa p x，则11*3*401111330,225ax dxax dx 所以*13()5gxx。3求积公式:110()(0)(),f x dxAfBf x试求1x，A，B，使其具有尽可能高代数精度，并指出代数精度。3设求积公式对2()1,f xx x精确得：31211211BxBxBA，解得：1231,344xBA。所以求积公式为：10132()(0)()443f x dxff，再设3()f xx，则左1249=右。此公式具有 3 次代数精度。4用双点弦法求3520 xx的最小正根（求出2x）。4因为(0)20,(0ff 故*0,0.5x，在0，0.5上，3)(max,25.4)(min21 xfMxfm，2130.51219MKRm，应用双点弦法迭代公式：3113311()(52),1,2,.(52)(52)nnnnnnnnnnxxxxxxnxxxx计算得：20.421x。5用欧拉法求初值问题：(0)1yxyy在 x=0(0.1)0.2 处的解。510.10.9,0,1nnnyxy n，由01y，计算得：120.9,0.82yy。四、证明题 1设0(),.,()nlxlx为插值基函数，证明：0()1nkklx。设()1f x，则有0)()!1()()()1(xnfxRn，所以有nkkxfxl01)()(。2若1B。证明迭代法：(1)()()21,0,1,.33mmmxxBxb m 收敛。因为迭代矩阵为21,133GIB B，所以212113333GIBIB，所以迭代法收敛。
