(名师导学)2020版高考数学总复习第四章三角函数、平面向量与复数第28讲平面向量基本定理及坐标表示.pdf
第 28 讲 平面向量基本定理及坐标表示 夯实基础【p66】【学习目标】1了解平面向量的基本定理及其意义,掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 2会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算,理解用坐标表示平面向量共线的条件【基础检测】1下列关于基底的说法正确的是()平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；基底中的向量可以是零向量；平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的 A B C D【解析】零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基底中的向量,故错，正确【答案】C 2已知向量a（1，1)，b（2，x),若（ab）(4b2a），则实数x的值是()A2 B3 C。错误!D2【解析】因为a（1,1)，b(2,x）,所以ab(3，1x），4b2a(6,4x2）因为(ab）(4b2a)，所以 3（4x2）6(1x)0，解得x2.故选 D.【答案】D 3已知x、y是实数，向量a，b不共线，若(xy1)a(xy）b0，则 x_，y_【解析】由已知得错误!错误!【答案】12 错误!4已知点 A(1，0)，B(0,2），C（1，2），则平行四边形 ABCD 的顶点 D 的坐标为_【解析】设 D（x，y），错误!错误!，（1，2）(1x，2y），D（0，4）【答案】(0，4）【知识要点】1平面向量基本定理 如果e1和e2是一个平面内的两个_不共线_向量，那么对于该平面内的任意向量a,有且只有一对实数1,2，使a1e12e2。我们把不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底 2平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系内，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面上任一向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得axiyj。这样，平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定,我们把有序数对（x，y）叫作向量a 的坐标,记作a(x，y)，把a(x,y）叫作向量的坐标表示，a错误!叫作向量a的长度(模）3平面向量坐标运算 向量的 加减法 若a（x1，y1)，b（x2,y2)，则ab_（x1x2，y1y2)_，ab_(x1x2,y1y2）_ 实数与向量 的积 若a（x1，y1)，R,则a_（x1,y1)_ 向量的坐标 若起点A(x1，y1），终点B（x2，y2)，则错误!_（x2x1，y2y1）_.4.两向量平行的坐标表示 设a（x1，y1)，b（x2，y2），则abx1y2y1x20。典 例 剖 析【p66】考点 1 向量基本定理及应用 错误!（1)在下列向量组中，不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是(）Ae1（0，1),e2（1,6）Be1(1，2）,e2(5,1)Ce1(3，5)，e2（6，10)De1(2，3），e2错误!【解析】选项 A.0错误!11,可以作为基底向量 选项 B.错误!错误!25,可以作为基底向量 选项 C.310错误!6,可以作为基底向量 选项 D。2错误!错误!错误!，不可以作为基底向量故选 D。【答案】D(2）已知点O是ABC内的一点,AOB150，BOC90,设错误!a，错误!b，错误!c，且|a|2，b1，c|3,试用b和c表示a.【解析】以O为原点，OC，OB所在的直线为x轴和y轴建立如图所示的坐标系 由OA2,AOx120，所以A(2cos 120，2sin 120)，即A(1，错误!），易求B（0，1),C（3，0)，设错误!1错误!2错误!，即（1，错误!)1（0，1)2（3，0),错误!解得错误!a错误!b错误!c。【小结】(1）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算（2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决 考点 2 向量共线的坐标表示及应用 错误!(1）已知梯形 ABCD,其中 ABCD，且 DC2AB，三个顶点 A（1，2），B（2，1）,C（4，2），则点 D 的坐标为_【解析】在梯形 ABCD 中，ABCD,DC2AB,错误!2错误!.设点 D 的坐标为（x，y），则错误!(4,2）(x，y)(4x，2y)，错误!（2，1)(1，2)（1，1)，（4x，2y)2(1,1)，即(4x，2y)(2，2），错误!解得错误!故点 D 的坐标为(2，4)【答案】（2，4）(2）已知点 A（4,0）,B(4,4），C（2，6),则 AC 与 OB（O 为坐标原点）的交点 P 的坐标为_【解析】法一：由 O，P,B 三点共线，可设错误!错误!（4,4),则错误!错误!错误!(44，4）又错误!错误!错误!（2,6）,由错误!与错误!共线,得（44)64（2)0,解得 错误!，所以错误!错误!错误!（3，3)，所以点 P 的坐标为(3，3)法二：设点 P（x,y),则错误!(x，y),因为错误!（4,4），且错误!与错误!共线，所以错误!错误!,即 xy.又错误!(x4，y）,错误!（2,6）,且错误!与错误!共线，所以(x4)6y(2)0，解得 xy3，所以点 P 的坐标为（3,3)【答案】(3，3）【小结】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略（1）利用两向量共线求参数如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a(x1，y1)，b(x2，y2），则ab的充要条件是x1y2x2y1”解题比较方便(2)利用两向量共线的条件求向量坐标一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为a(R）,然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入a即可得到所求的向量 考点 3 平面向量坐标表示与几何问题 错误!给定两个长度为 1 的平面向量错误!和错误!,它们的夹角为错误!。如图所示，点 C 在以O 为圆心的错误!上运动若错误!x错误!y错误!，其中 x，yR,求xy的最大值 【解析】以O为坐标原点，错误!所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示,则A(1，0)，B错误!。设AOC错误!，则C(cos，sin)，由错误!x错误!y错误!,得错误!所以xcos 错误!sin,y错误!sin，所以xycos 3sin 2sin错误!，又错误!，所以当错误!时,xy取得最大值 2.【能力提升】错误!(1)已知错误!(1,2），错误!(a，1)，错误!(b，0)（其中 a0,b0，O 是坐标原点），若 A、B、C 三点共线，则错误!错误!的最小值为_【解析】错误!错误!错误!错误!,错误!错误!错误!错误!，因为 A、B、C 三点共线,所以错误!错误!，即 2错误!错误!0,所以 2ab1，所以错误!错误!错误!错误!4错误!错误!42ba4ab8,当且仅当错误!即错误!时取等号【答案】8(2)设两个向量a(2,2cos2）和b错误!,其中、m、为实数,若a2b，则错误!的取值范围是()A6，1 B4,8 C1，1 D1,6【解析】由a2b，知22m 2cos2m2sin.2m2，2mcos22sin.又 cos22sin sin22sin 1(sin 1）22，2cos22sin 2，22m（2m2）2m2,错误!m2.错误!错误!2错误!6,1【答案】A 方 法 总 结【p67】1向量的坐标表示主要依据平面向量的基本定理，平面向量，对应实数对（x，y）,任何一个平面向量都有唯一的坐标表示，但是每一个坐标所表示的向量却不一定唯一也就是说，向量的坐标表示和向量不是一一对应的关系，但和起点为原点的向量是一一对应的关系,即实数对（x，y)错误!错误!一一对应，)点A(x，y）2已知向量的始点和终点坐标求向量的坐标时，一定要搞清方向,用对应的终点坐标减去始点坐标本讲易忽略点有二：一是易将向量的终点坐标误认为是向量坐标；二是向量共线的坐标表示易与向量垂直的坐标表示混淆 3向量的坐标表示，实际上是向量的代数表示,在引入向量的坐标表示后,可以使向量运算完全代数化，把关于向量的代数运算与数量的代数运算联系起来,从而把数与形紧密结合起来，这样很多几何问题，特别像共线、共点等较难问题的证明，就转化为熟知的数量运算，也为运用向量坐标运算的有关知识解决一些物理问题提供了一种有效方法 走 进 高 考 【p67】1(2018全国卷）已知向量a（1，2）,b（2，2），c(1，）若c(2ab)，则_【解析】2ab2（1，2)(2，2)(4，2），又c(2ab），故有 4210，错误!.【答案】错误!尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。This article is collected and compiled by my colleagues and I in our busy schedule.We proofread the content carefully before the release of this article,but it is inevitable that there will be some unsatisfactory points.If there are omissions,please correct them.I hope this article can solve your doubts and arouse your thinking.Part of the text by the users care and support,thank you here!I hope to make progress and grow with you in the future.
