初中数学平行线问题.pdf

第 1 页 初中数学 平行线问题 平行线是我们日常生活中非常常见的图形练习本每一页中的横线、直尺的上下两边、人行横道上的“斑马线以及黑板框的对边、桌面的对边、教室墙壁的对边等等均是互相平行的线段 正因为平行线在生活中的广泛应用，因此有关它的根本知识及性质成为中学几何的根本知识 正因为平行线在几何理论中的根底性，平行线成为古往今来很多数学家非常重视的研究对象 历史上关于平行公理的三种假设，产生了三种不同的几何(罗巴切夫斯基几何、黎曼几何及欧几里得几何)，它们在使人们认识宇宙空间中起着非常重要的作用 现行中学中所学的几何是属于欧几里得几何，它是建立在这样一个公理根底之上的：“在平面中，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 在此根底上，我们学习了两条平行线的判定定理及性质定理 下面我们举例说明这些知识的应用 例 1 如图 118，直线 ab，直线 AB 交 a 与 b 于 A，B，CA平分1，CB 平分 2，求证：C=90 分析 由于 ab，1，2 是两个同侧内角，因此1+2=过 C 点作直线 l，使 la(或 b)即可通过平行线的性质实现等角转移 第 2 页 证 过 C 点作直线 l，使 la(图 119)因为 ab，所以 bl，所以 1+2=180(同侧内角互补)因为 AC 平分1，BC 平分2，所以 又3=CAE，4=CBF(内错角相等)，所以 3+4=CAE+CBF 说明 做完此题不妨想一想这个问题的“反问题是否成立，即“两条直线 a，b 被直线 AB 所截(如图 120 所示)，CA，CB 分别是BAE 与ABF 的平分线，假设C=90，问直线 a 与直线 b 是否一定平行？由于这个问题与上述问题非常相似(将条件与结论交换位置)，因此，不妨模仿原问题的解决方法来试解 例 2 如图 121 所示，AA1BA2求A1-B1+A2 分析 此题对A1，A2，B1的大小并没有给出特定的数值，因此，答案显然与所给的三个角的大小无关也就是说，不管A1，A2，B1的大小如何，答案应是确定的我们从图形直观，有理由猜测答案大概是零，即 A1+A2=B1 第 3 页 猜测，常常受到直观的启发，但猜测必须经过严格的证明式给我们一种启发，能不能将B1一分为二使其每一局部分别等于A1与A2这就引发我们过 B1点引 AA1(从而也是 BA2)的平行线，它将B1一分为二 证 过 B1引 B1EAA1，它将A1B1A2分成两个角：1，2(如图 122 所示)因为 AA1BA2，所以 B1EBA2从而 1=A1，2=A2(内错角相等)，所以 B1=1+2=A1+A2，即 A1-B1+A2=0 说明(1)从证题的过程可以发现，问题的实质在于 AA1BA2，它与连接 A1，A2两点之间的折线段的数目无关，如图 123 所示连接A1，A2之间的折线段增加到 4 条：A1B1，B1A2，A2B2，B2A3，仍然有 A1+A2+A3=B1+B2 (即那些向右凸出的角的和=向左凸的角的和)即 A1-B1+A2-B2+A3=0 第 4 页 进一步可以推广为 A1-B1+A2-B2-Bn-1+An=0 这时，连结 A1，An之间的折线段共有 n 段 A1B1，B1A2，Bn-1An(当然，仍要保持 AA1BAn)推广是一种开展自己思考能力的方法，有些简单的问题，如果抓住了问题的本质，那么，在本质不变的情况下，可以将问题推广到复杂的情况 (2)这个问题也可以将条件与结论对换一下，变成一个新问题 问题 1 如图 124 所示 A1+A2=B1，问 AA1与 BA2是否平行？问题 2 如图 125 所示假设 A1+A2+An=B1+B2+Bn-1，问 AA1与 BAn是否平行？这两个问题请同学加以思考 例 3 如图 126 所示AEBD，1=32，2=25，求C 分析 利用平行线的性质，可以将角“转移到新的位置，如1=DFC 或AFB假设能将1，2，C“集中到一个顶点处，这是最理想不过的了，过 F 点作 BC 的平行线恰能实现这个目标 第 5 页 解 过 F 到 FGCB，交 AB 于 G，那么 C=AFG(同位角相等)，2=BFG(内错角相等)因为 AEBD，所以 1=BFA(内错角相等)，所以 C=AFG=BFA-BFG=1-2=32-2=22=50 说明(1)运用平行线的性质，将角集中到适当位置，是添加辅助线(平行线)的常用技巧 (2)在学过“三角形内角和知识后，可有以下较为简便的解法：1=DFC=C+2，即 C=1-2=22=50 例 4 求证：三角形内角之和等于 180 第 6 页 分析 平角为 180假设能运用平行线的性质，将三角形三个内角集中到同一顶点，并得到一个平角，问题即可解决，下面方法是最简单的一种 证 如图 127 所示，在ABC 中，过 A 引 lBC，那么 B=1，C=2(内错角相等)显然 1+BAC+2=平角，所以 A+B+C=180 说明 事实上，我们可以运用平行线的性质，通过添加与三角形三条边平行的直线，将三角形的三个内角“转移到任意一点得到平角的结论如将平角的顶点设在某一边内，或干脆不在三角形的边上的其他任何一点处，不过，解法将较为麻烦同学们不妨试一试这种较为麻烦的证法 例 5 求证：四边形内角和等于 360 分析 应用例 3 类似的方法，添加适当的平行线，将这四个角“聚合在一起使它们之和恰为一个周角在添加平行线中，尽可能利用原来的内角及边，应能减少推理过程 第 7 页 证 如图 128 所示，四边形 ABCD 中，过顶点 B 引 BEAD，BFCD，并延长 AB，CB 到 H，G那么有A=2(同位角相等)，D=1(内错角相等)，1=3(同位角相等)C=4(同位角相等)，又 ABC(即B)=GBH(对顶角相等)由于2+3+4+GBH=360，所以 A+B+C+D=360 说明(1)同例 3，周角的顶点可以取在平面内的任意位置，证明的本质不变 (2)总结例 3、例 4，并将结论的表达形式变化，可将结论加以推广：三角形内角和=180=(3-2)180，四边形内角和=360=2180=(4-2)180 人们不禁会猜测：五边形内角和=(5-2)180=540，n 边形内角和=(n-2)180 第 8 页 这个猜测是正确的，它们的证明在学过三角形内角和之后，证明将非常简单 (3)在解题过程中，将一些外表并不一样的问题，从形式上加以适当变形，找到它们本质上的共同之处，将问题加以推广或一般化，这是开展人的思维能力的一种重要方法 例 6 如图 129 所示直线 l 的同侧有三点 A，B，C，且 ABl，BCl求证：A，B，C 三点在同一条直线上 分析 A，B，C 三点在同一条直线上可以理解为ABC 为平角，即只要证明射线 BA 与 BC 所夹的角为 180即可，考虑到以直线 l 上任意一点为顶点，该点分直线所成的两条射线为边所成的角均为平角，结合所给平行条件，过 B 作与 l 相交的直线，就可将 l 上的平角转换到顶点 B 处 证 过 B 作直线 BD，交 l 于 D因为 ABl，CBl，所以 1=ABD，2=CBD(内错角相等)又1+2=180，所以 ABD+CBD=180，即ABC=180=平角 A，B，C 三点共线 第 9 页 思考 假设将问题加以推广：在 l 的同侧有 n 个点 A1，A2，An-1，An，且有 AiAi+1l(i=1，2，n-1)是否还有同样的结论？例 7 如图 130 所示1=2，D=90，EFCD 求证：3=B 分析 如果3=B，那么应需 EFBC又知1=2，那么有 BCAD从而，应有 EFAD这一点从条件 EFCD 及D=90不难获得 证 因为1=2，所以 ADBC(内错角相等，两直线平行)因为D=90及 EFCD，所以 ADEF(同位角相等，两直线平行)所以 BCEF(平行公理)，所以 3=B(两直线平行，同位角相等)练习十二 第 10 页 1如图 131 所示ABCD，B=100，EF 平分BEC，EGEF求BEG 和DEG 2如图 132 所示CD 是ACB 的平分线，ACB=40，B=70，DEBC求EDC 和BDC的度数 3如图 133 所示ABCD，BAE=30，DCE=60，EF，EG 三等分AEC问：EF 与 EG 中有没有与 AB 平行的直线，为什么？4证明：五边形内角和等于 540 5如图 134 所示CD 平分ACB，且 DEACCDEF求证：EF 平分DEB