初高中数学衔接教材已.pdf
初高中数学衔接教材 1.乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()ab abab；（2）完全平方公式 222()2abaabb 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()ab aabbab；（2）立方差公式 2233()()ab aabbab；（3）三数和平方公式 2222()2()abcabcabbcac；（4）两数和立方公式 33223()33abaa babb；（5）两数差立方公式 33223()33abaa babb 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明 例 1 计算：22(1)(1)(1)(1)xxxxxx 解法一：原式=2222(1)(1)xxx =242(1)(1)xxx =61x 解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)xxxxxx =33(1)(1)xx =61x 例 2 已知4abc，4abbcac，求222abc的值 解：2222()2()8abcabcabbcac 练 习 1填空：（1）221111()9423abba（）；（2）(4m 22)164(mm )；(3)2222(2)4(abcabc )2选择题：（1）若212xmxk是一个完全平方式，则k等于 （）（A）2m （B）214m （C）213m （D）2116m（2）不论a，b为何实数，22248abab的值 （）（A）总是正数 （B）总是负数 （C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数 2因式分解 因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法 1十字相乘法 例 1 分解因式：（1）x23x2；（2）x24x12；（3）22()xab xyaby；（4）1xyxy 解：（1）如图 111，将二次项 x2分解成图中的两个 x 的积，再将常数项 2 分解成1 与2 的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为3x，就是 x23x2 中的一次项，所以，有 x23x2(x1)(x2)说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图 111 中的两个 x 用 1来表示（如图 112 所示）（2）由图 113，得 x24x12(x2)(x6)（3）由图 114，得 22()xab xyaby()()xayxby（4）1xyxy xy(xy)1(x1)(y+1)（如图 115 所示）课堂练习 一、填空题：1、把下列各式分解因式：（1）652xx_。（2）652xx_。（3）652xx_。（4）652xx_。（5）axax12_。（6）18112xx_。（7）2762xx_。（8）91242mm_。（9）2675xx_。（10）22612yxyx_。2、3 42xxxx 3、若422xxbaxx则 a，b。二、选择题：（每小题四个答案中只有一个是正确的）1、在多项式（1）672 xx（2）342 xx（3）862 xx（4）1072 xx （5）44152xx中，有相同因式的是（）A、只有（1）（2）B、只有（3）（4）C、只有（3）（5）D、（1）和（2）；（3）和（4）；（3）和（5）2、分解因式22338baba得（）A、3 11aa B、baba3 11 C、baba3 11 D、baba3 11 3、2082baba分解因式得（）A、2 10baba B、4 5baba C、10 2baba D、5 4baba 4、若多项式axx32可分解为bxx5，则a、b的值是（）A、10a，2b B、10a，2b C、10a，2b D、10a，2b 5、若bxaxmxx 102其中a、b为整数，则m的值为（）1 2 x x 图 111 1 2 1 1 图 112 2 6 1 1 图 113 ay by x x 图 114 1 1 x y 图 115 A、3或9 B、3 C、9 D、3或9 三、把下列各式分解因式 1、3211262pqqp 2、22365abbaa 3、6422yy 4、8224 bb 2提取公因式法 例 2 分解因式：（1）baba552 （2）32933xxx 解：（1）baba552=)1)(5(aba（2）32933xxx=32(3)(39)xxx=2(3)3(3)xxx =2(3)(3)xx 或 32933xxx32(331)8xxx3(1)8x33(1)2x 22(1)2(1)(1)22 xxx 2(3)(3)xx 课堂练习：一、填空题：1、多项式xyzxyyx42622中各项的公因式是_。2、yxxynyxm_。3、222yxxynyxm_。4、zyxxzynzyxm_。5、zyxzyxzyxm_。6、523623913xbaxab分解因式得_。7计算99992=二、判断题：（正确的打上“”，错误的打上“”）1、baababba24222（）2、bammbmam（）3、5231563223xxxxxx（）4、111xxxxnnn（）3：公式法 例 3 分解因式：（1）164a （2）2223yxyx 解：(1)164a=)2)(2)(4()4)(4()(4222222aaaaaa (2)2223yxyx=)32)(4()23)(23(yxyxyxyxyxyx 课堂练习 一、222baba，22ba，33ba 的公因式是_。二、判断题：（正确的打上“”，错误的打上“”）1、1.032 1.0321.03201.094222xxxx（）2、babababa43 4343892222 （）3、bababa45 4516252 （）4、yxyxyxyx 2222（）5、cbacbacba 22（）五、把下列各式分解 1、229nmnm 2、3132x 3、22244xx 4、1224 xx 4分组分解法 例 4 （1）xyxyx332 （2）222456xxyyxy （2）222456xxyyxy=222(4)56xyxyy =22(4)(2)(3)xyxyy=(22)(3)xyxy 或 222456xxyyxy=22(2)(45)6xxyyxy =(2)()(45)6xy xyxy =(22)(3)xyxy 课堂练习：用分组分解法分解多项式（1）byaxbayx222222（2）91264422bababa 5关于 x 的二次三项式 ax2+bx+c(a0)的因式分解 若 关 于 x 的 方 程20(0)axbxca的 两 个 实 数 根 是1x、2x，则 二 次 三 项 式2(0)axbxc a就可分解为12()()a xxxx.例 5 把下列关于 x 的二次多项式分解因式：（1）221xx；（2）2244xxyy 解：（1）令221xx=0，则解得112x ，212x ，221xx=(12)(12)xx =(12)(12)xx （2）令2244xxyy=0，则解得1(22 2)xy ，1(22 2)xy ，2244xxyy=2(12)2(12)xyxy 练 习 1选择题：多项式22215xxyy的一个因式为 （）（A）25xy （B）3xy （C）3xy （D）5xy 2分解因式：（1）x26x8；（2）8a3b3；（3）x22x1；（4）4(1)(2)xyy yx 习题 12 1分解因式：（1）31a；（2）424139xx；（3）22222bcabacbc；（4）2235294xxyyxy 2在实数范围内因式分解：（1）253xx；（2）22 23xx；（3）2234xxyy；（4）222(2)7(2)12xxxx 3ABC三边a，b，c满足222abcabbcca，试判定ABC的形状 4分解因式：x2x(a2a)5.（尝试题）已知 abc=1，a+b+c=2，a2+b2+c2=，求1-cab1+1-abc1+1-bca1的值.3.一元二次不等式的解法 1、一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系 2、一元二次不等式的解法步骤 一元二次不等式00022acbxaxcbxax或的解集：设相应的一元二次方程002acbxax的两根为2121xxxx且、，acb42，则不等式的解的各种情况如下表：二次函数（0a）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 R 例 1 解不等式：（1）x22x30；（2）xx260；（3）4x24x10；（4）x26x90；（5）4xx20 例 2 解关于 x 的不等式0)1(2aaxx 解：原不等式可以化为：0)(1(axax 若)1(aa即21a则ax 或ax1 若)1(aa即21a则0)21(2x Rxx,21 若)1(aa即21a则ax 或ax1 例 3 已知不等式20(0)axbxca的解是2,3xx或求不等式20bxaxc的解 解：由不等式20(0)axbxca的解为2,3xx或，可知 0a，且方程20axbxc的两根分别为 2 和 3，5,6bcaa，即 5,6bcaa 由于0a，所以不等式20bxaxc可变为 20bcxxaa，即 2560,xx 整理，得 所以，不等式20bxaxc的解是 x1，或 x65 说明：本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题 练 习 1解下列不等式：（1）3x2x40；（2）x2x120；（3）x23x40；（4）168xx20 2.解关于 x 的不等式 x22x1a20（a 为常数）作业：1.若 0a1,则不等式(xa)(xa1)0 的解是 ()A.axa1 B.a1xa1或 xa D.xa 2.如果方程ax2bxb0中，a0，它的两根x1，x2满足x1x2，那么不等式ax2bxb0的解是_.3解下列不等式：（1）3x22x10；（2）3x240；（3）2xx21；（4）4x20(5)4+3x2x20;(6)9x212x4;4解关于 x 的不等式 x2(1a)xa0（a 为常数）5关于 x 的不等式02cbxax的解为122xx 或 求关于 x 的不等式02cbxax的解 4.三角形的“四心”1.“四心”的概念及性质 内心：性质：外心：性质：重心：性质：垂心：2.典型例题 例 1 求证：三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.已知 D、E、F 分别为ABC 三边 BC、CA、AB 的中点，求证 AD、BE、CF 交于一点，且都被该点分成 2：1.证明 连结 DE，设 AD、BE 交于点 G，QD、E 分别为 BC、AE 的中点，则 DE/AB，且12DEAB=，GDE VGABV，且相似比为 1：2，2,2AGGD BGGE=.设 AD、CF 交于点G，同理可得，2,2.AGG D CGG F=图 3.2-3 则G与G重合，AD、BE、CF 交于一点，且都被该点分成2:1.例 2 已知ABCV的三边长分别为,BCa ACb ABc=，I 为ABCV的内心，且 I 在ABCV的边BCACAB、上的射影分别为DEF、，求证：2bcaAEAF+-=.证明 作ABCV的内切圆，则DEF、分别为内切圆在三边上的切点，,AE AFQ为圆的从同一点作的两条切线，AEAF=，同理，BD=BF，CD=CE.22bcaAFBFAECEBDCDAFAEAFAE+-=+-=+=即2bcaAEAF+-=.例 3 若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形.已知 O 为三角形 ABC 的重心和内心.求证 三角形 ABC 为等边三角形.证明 如图，连 AO 并延长交 BC 于 D.QO 为三角形的内心，故 AD 平分BAC，ABBDACDC=（角平分线性质定理）QO 为三角形的重心，D 为 BC 的中点，即BD=DC.1ABAC=，即ABAC=.同理可得，AB=BC.ABC V为等边三角形.例 4 求证：三角形的三条高交于一点.已知 ABCV中，,ADBCD BEACE于于，AD与 BE交于 H 点.求证 CHAB.证明 以 CH 为直径作圆，DE、在以 CH 为直径的圆上，FCBDEH?.同理，E、D 在以 AB 为直径的圆上，可得BEDBAD?.BCHBAD?，又ABDV与CBFV有公共 角B，图 3.2-4 图 3.2-6 图 3.2-7 图 3.2-8 图 3.2-9 图 3.2-5 90oCFBADB?
