教学资源高三函数单调性教案.pdf

福建省长泰一中高考数学一轮复习函数的单调性教案 一、单调性 例 1.已知函数 f(x)=ax+12xx(a1)，证明：函数 f(x)在(-1,+)上为增函数.证明 方法一 任取 x1,x2(-1,+),不妨设 x1x2,则 x2-x10,xxa1 且xa0,0)1(xxxxxaaaa，又x1+10,x2+10,)1)(1()(3)1)(1()1)(2()1)(2(121221122121121122xxxxxxxxxxxxxx0,于是 f(x2)-f(x1)=xxaa+12121122xxxx0,故函数 f(x)在（-1,+）上为增函数.方法二 f(x)=ax+1-13x(a1),求导数得)(xf=axlna+2)1(3x,a1,当 x-1 时，axlna0,2)1(3x0,)(xf0 在（-1，+）上恒成立，则 f(x)在（-1,+）上为增函数.方法三 a1,y=ax为增函数，又 y=13112xxx，在（-1，+）上也是增函数.y=ax+12xx在（-1，+）上为增函数.基础过关 典型例题 变式训练 1：讨论函数 f（x）=x+xa（a0）的单调性.解：方法一 显然 f（x）为奇函数，所以先讨论函数 f（x）在（0，+）上的单调性，设 x1x20,则 f(x1)-f(x2)=（x1+1xa）-（x2+2xa）=(x1-x2)（1-21xxa）.当 0 x2x1a时，21xxa1,同理 0 xa或-ax0 时，)(xf 0 即 f（x）分别在（0，a、-a，0）上是减函数.例 2.判断函数 f(x)=12x在定义域上的单调性.解：函数的定义域为x|x-1 或 x1,则 f(x)=12x,可分解成两个简单函数.f(x)=)(,)(xuxu=x2-1 的形式.当 x1 时，u(x)为增函数，)(xu为增函数.f（x）=12x在1，+)上为增函数.当 x-1 时，u（x)为减函数，)(xu为减函数，f(x)=12x在（-,-1上为减函数.变式训练 2：求函数 y=21log（4x-x2）的单调区间.解：由 4x-x20，得函数的定义域是（0，4）.令 t=4x-x2，则 y=21logt.t=4x-x2=-（x-2）2+4，t=4x-x2的单调减区间是2，4），增区间是（0，2.又 y=21logt 在（0，+）上是减函数，函数 y=21log（4x-x2）的单调减区间是（0，2，单调增区间是2，4).例 3.求下列函数的最值与值域：（1）y=4-223xx;(2)y=x+x4;(3)y=4)2(122xx.解：（1）由 3+2x-x20 得函数定义域为-1，3，又 t=3+2x-x2=4-(x-1)2.t0，4，t0，2，从而，当 x=1 时，ymin=2，当 x=-1 或 x=3 时，ymax=4.故值域为2，4.(2)方法一 函数 y=x+x4是定义域为x|x0上的奇函数,故其图象关于原点对称,故只讨论 x0 时,即可知 x0 时的最值.当 x0 时,y=x+x42xx4=4，等号当且仅当 x=2 时取得.当 x0 时，y-4,等号当且仅当 x=-2 时取得.综上函数的值域为（-，-44，+），无最值.方法二 任取 x1,x2,且 x1x2,因为 f(x1)-f(x2)=x1+14x-(x2+24x)=,)4)(212121xxxxxx 所以当 x-2 或 x2 时，f(x)递增,当-2x0 或 0 x2 时，f(x)递减.故 x=-2 时，f(x)最大值=f(-2)=-4,x=2 时，f(x)最小值=f(2)=4,所以所求函数的值域为（-，-44，+），无最大（小）值.（3）将函数式变形为y=2222)20()2()10()0(xx,可视为动点 M（x,0）与定点 A（0，1）、B（2，-2）距离之和，连结 AB，则直线 AB 与 x 轴的交点（横坐标）即为所求的最小值点.ymin=|AB|=13)21()20(22，可求得 x=32时，ymin=13.显然无最大值.故值域为13，+）.变式训练 3：在经济学中，函数 f(x)的边际函数 Mf(x)定义为 Mf（x）=f（x+1）-f（x）.某公司每月最多生产 100 台报警系统装置，生产 x（x0）台的收入函数为 R（x）=3 000 x-20 x2(单位：元)，其成本函数为 C（x）=500 x+4 000（单位：元），利润是收入与成本之差.（1）求利润函数 P（x）及边际利润函数 MP（x）；（2）利润函数 P（x）与边际利润函数 MP（x）是否具有相同的最大值？解：（1）P（x）=R（x）-C（x）=（3 000 x-20 x2）-（500 x+4 000）=-20 x2+2 500 x-4 000（x1，100且 xN,）MP（x）=P（x+1）-P（x）=-20（x+1）2+2 500（x+1）-4 000-（-20 x2+2 500 x-4 000）=2 480-40 x（x1，100且 xN）.（2）P（x）=-20(x-)21252+74 125，当 x=62 或 63 时，P(x)max=74 120（元）.因为 MP（x）=2 480-40 x 是减函数，所以当 x=1 时，MP(x)max=2 440(元）.因此，利润函数 P（x）与边际利润函数 MP（x）不具有相同的最大值.例 4（2022广西河池模拟）已知定义在区间（0，+）上的函数 f(x)满足 f()21xx=f(x1)-f(x2)，且当 x1 时，f(x)0.（1）求 f(1)的值；（2）判断 f(x）的单调性；（3）若 f(3)=-1,解不等式 f(|x|)-2.解：（1）令 x1=x20,代入得 f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故 f(1)=0.（2）任取 x1,x2(0,+)，且 x1x2,则21xx1,由于当 x1 时，f(x)0,所以 f)(21xx0,即 f(x1)-f(x2)0,因此 f(x1)f(x2),所以函数 f(x)在区间(0,+)上是单调递减函数.（3）由 f(21xx)=f(x1)-f(x2)得 f()39=f(9)-f(3),而 f(3)=-1,所以 f(9)=-2.由于函数 f(x)在区间（0,+）上是单调递减函数，由 f(|x|)f(9),得|x|9,x9 或 x-9.因此不等式的解集为x|x9 或 x-9.变式训练 4：函数 f(x)对任意的 a、bR,都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当 x0 时，f(x)1.（1）求证：f(x)是 R 上的增函数；（2）若 f(4)=5,解不等式 f(3m2-m-2)3.解：（1）设 x1,x2R，且 x1x2,则 x2-x10,f(x2-x1)1.f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-10.f（x2）f(x1).即 f(x)是 R 上的增函数.（2）f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，f（2）=3，原不等式可化为 f(3m2-m-2)f(2),f(x)是 R 上的增函数，3m2-m-22,解得-1m34,故解集为（-1,34）.1证明一个函数在区间 D 上是增(减)函数的方法有：(1)定义法.其过程是：作差变形判断符号，而最常用的变形是将和、差形式的结构变为积的形式的结构；(2)求导法.其过程是：求导判断导函数的符号下结论.2确定函数单调区间的常用方法有：(1)观察法；(2)图象法（即通过画出函数图象，观察图象，确定单调区间）；(3)定义法；(4)求导法.注意：单调区间一定要在定义域内.3含有参量的函数的单调性问题，可分为两类：一类是由参数的范围判定其单调性；一类是给定单调性求参数范围，其解法是由定义或导数法得到恒成立的不等式，结合定义域求出参数的取值范围.小结归纳