直线与平面垂直的判定及其性质测试题499.pdf

直线与平面垂直的判定及其性质 测试题（答案）直线与平面垂直的判定与性质 一、选择题 1两异面直线在平面 内的射影（）A相交直线 B 平行直线 C一条直线个点 D 以上三种情况均有可能 2若两直线 a与 b异面，则过 a且与 b 垂直的平面（）A有且只有个 B 可能存在也可能不存在 C有无数多个 D 定不存在 3在空间，下列哪些命题是正确的（）平行于同一条直线的两条直线互相平行；垂直于同一条直线的两条直线互相平行；平行于同一个平面的两条直线互相平行；垂直于同个平面的两条直线互相平行 A仅不正确 B 仅、正确 C仅正确 D 四个命题都正确 4若平面 的斜线 l 在 上的射影为 l，直线 b，且 bl，则 b与 l（）A必相交 B 必为异面直线 C垂直 D无法确定 5下列命题 平面的每条斜线都垂直于这个平面内的无数条直线；若一条直线垂直于平面的斜线，则此直线必垂直于斜线在此平面内的 射影；若平面的两条斜线段相等，则它们在同一平面内的射影也相等；若一条线段在平面外并且不垂直于这个平面，则它的射影长一定小于 线段的长 其中，正确的命题有（）A1 个 B2 个 C3 个 n 4 个 6在下列四个命题中，假命题为（）A如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平 面垂直 B垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边 C过点 A垂直于直线 a 的所有直线都在过点 A垂直于 a的平面内 D如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线 确定的平面 7已知 P 是四边形 ABCD所在平面外一点且 P 在平面 ABCD内的射影在 四边形 ABCD内，若 P 到这四边形各边的距离相等，那么这个四边形是（）A圆内接四边形 B 矩形 C 圆外切四边形 D平行四边形 8在ABC中，ABAC5，BC6，PA平面 ABC，PA 8，则 P到 BC 的距离等于（）A5 B25 C35 D45 二、填空题 9 AB是平面 的斜线段，其长为 a，它在平面 内的射影 AB的长 为 b，则垂线 A A 10如果直线 l、m与平面、满足：l，l ，和 m，现给出以下四个结论：且 l m；且 m 且 l m；且 l m；其中正确的为“_”（写出序号即可）11在空间四面体的四个面中，为直角三角形的最多有 _ 个 12如图，正方形 ABCD，P 是正方形平面外的一点，且 PA平面 ABCD 则在 PAB、PBC、PCD、PAD、PAC 及PBD中，为直角三角形有 个 13给出以下四个命题（1）两条平行直线在同一平面内的射影一定是平行直线；（2）两条相交直线在同一平面内的射影一定是相交直线；（3）两条异面直线在同一平面内的射影定是两条相交直线；（4）一个锐角在平面内的射影一定是锐角 其中假命题的共有 _ 个 14若一个直角在平面 内的射影是一个角，则该角最大为 三、解答题 15已知直线 a平面,直线 b平面，求证：ab 16如图，在长方体 AC1中，已知 AB BCa，BB1b（ba），连结 BC1，过 Bl 作 B1BC1交CC1于E，交 BC1于 Q，求证：AC平面 EBlD1 17如图在 ABC中，已知 ABC90，SA ABC 所在平面，又点 A 在 SC和 SB 上的射影分别 是 P、Q 求证：PQSC 18已知在如图中，BAC 在平面 内，点，PEAB，PFAC，PO，垂足分别是 E、F、O，PEPF，求证：BAOCAO，19已知：点 P与直线 a，试证；过点 P与 a 垂直的直线共面 20四面体 ABCD的棱 ABCD的充要条件是 AC2BD2 AD2BC2 四、思考题 对于一个三角形，它的三条高线总相交于点，而对于一个四面体，它 的四条高线是否总相交于一点呢?若不总相交于一点，则怎样的四面体其四 条高线才相交于一点呢?这是一个美丽而非凡的问题，请读者进行研究拓 展 参考答案 一、选择题 1D 2B 3B 4 C 5A 6A 7C 8D 9ab 10、11 4 12 5 13 4 14 180 三、解答题 22 15证明：设 为过 a 的平面，且 l 、填空题 a，al bl，ba 16证明：AB面 B1C，BC1为 AC1在平面 B1C上的射影，且 B1EBC1，由三垂线定理知 B1EAC1 又 AA1面 A1C1，AB BC，A1C1B1D1，A1C1是 AC1在面 A1C1上的射影 由三垂线定理得 AC1B1D1 又 B1EB1D1 B1，AC1平面 EB1D1 17证明：SA面 ABC，面 ABC，SABC 又ABBC且 SAAB A，BC面 SAB，面 SAB BCAQ，又 AQSB，BCSB B AQ面 SBC PQ是斜线 AP在平面 SBC上的射影，又AQSC，由三垂线定理的逆定理可得 PQSC 18证明：PO，PEPF，OE OF，又PEAB、PFAC，OEAB、OFAC 故 Rt AOE Rt AOF，BAOCAO 19证明：如图，在点 P和直线 a所在的平面 内，过点 P作直线 a 的垂线 b，设垂足为 A设过点 P 与 垂直的直线为 c，则必有 ca，再设 由 b、c 确定的平面为 ，则必有 a 设 l 是过点 P与a垂直的直线，下证：若，设由 l 与 c 确定的平面为，则由 al，ac，l c P，a ，这样平面 与 都是过点 P 与直线 a 垂直的平面这 是一个错误的结论，因此，假设不成立，故必有，也就是说过点 P 与 a 垂直的直线均在平面 内，于是本题获证 20证明：先证必要性：过 B作CD的垂线，垂足 E，连 AE，CDAB，CD平面 ABE，CDAE AC2 AE2CE2、BD2 BE2DE2；又有 AD2 AE2DE2、BC2BE2CE2 AC2 BD2AE2BE2 CE2DE2，而 AD2BC2AE2 BE2CE2DE2 AC2 BD2 AD2BC2 再证充分性：过 A点作 CD的垂线，垂足设为 F，于是有：AD2AF2DF2、BC2BE2CE2；AC2AF2CF2、BD2BE2DE2；AD2 BC2 AC2BD2；AF2 DF2BE2CE2AF2CF2 BE2DE2 DF2 CE2 CF2DE2，DF2CF2DE2CE2，（DFCF）（DFCF）（DECE）（DE CE），DF CFDECE DF CEDECF E、F 只能重合于一点，故有 CD平面 ABE，CDAB 四、思考题 我们称：三对对棱分别互相垂直的四面体为对棱垂直的四面体 可以证明：对棱垂直的四面体的四条高线相交于一点，反过来，若一个 四面体，若它的四条高线相交于一点，则该四面体一定是对棱垂直的四面 体