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沪教版六年级数学 第一章 数的整除 1.1 整数和整除的意义 零和正整数统称为自然数。正整数、零、负整数统称为整数。整数 a 除以整数 b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说 a 能被 b 整除；或者说 b 能整除 a。注意整除的条件：1、除数、被除数都是整数 2、被除数除以除数，商是整数而余数为零。1.2 因数和倍数 整数 a 能被整数 b 整除，a 就叫做 b 的倍数，b 就叫 a 的因数（也称为约数）倍数和因数是相互依存的 注意：1、一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是 1，最大的因数是它本身 2、一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身 1.3 能被 2,3,5 整除的数 个位上是 0,2,4,6,8 的整数都能被 2 整除。能被 2 整除的数叫做偶数，不能被 2 整除的数叫做奇数。个位上是 0 或 5 的整数都能被 5 整除。将一个整数的各位数字相加，如果得到的和能被 3 整除，那么这个数就能被 3 整除。注意：1、在正整数中（除 1 外），与奇数相邻的两个数是偶数 2、在正整数中，与偶数相邻的两个数是奇数 3、0 是偶数 1.4 素数、合数与分解素因数 一个正整数，如果只有 1 和它本身两个因数，这样的数叫做素数，也叫做质数；如果除了 1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫做合数。1 既不是素数，也不是合数。这样，正整数又可以分为 1、素数、合数三类。（依据：因数的个数）每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的素因数。把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。用短除法分解素因数的步骤如下：1、先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除 2、得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，知道得出的商是素数为止。3、然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式。1.5 公因数和最大公因数 几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。如果两个整数只有公因数 1，那么称为这两个数互素。两个整数中，如果某个数是另一个数的因数，那么这个数就是这两个数的最大公因数。如果这两个数互素，那么它们的最大公因数就是 1。1.6 公倍数和最小公倍数 几个整数的公有的倍数叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。求两个整数的最小公倍数，只要取它们所有公有的素因数，再取它们各自剩余的素因数，将这些连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数。如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数，那么这个数就是它们的最小公倍数。如果两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数。第二章 分数 2.1 分数与除法 两个正整数 p、q 相除，可以用分数pq 表示，即 pqpq，其中 p 为分子，q 为分母。2.2 分数的基本性质 分数的分子和分母都乘以或都除以同一个不为零的数，所得的分数与原分数大小相等，即 ab=akbk=anbn(b0,k0,n0).分子和分母互素的分数叫做最简分数。把一个分数的分子和分母的公因数约去的过程，称为约分。2.3 分数的大小比较 将异分母的分数分别化成与原分母大小相等的同分母的分数，这个过程叫做通分。2.4 分数加减法 同分母分数相加减，分母不变，分子相加减。异分母的分数相加减，先通分，然后按照同分母分数加减法的法则进行运算，结果化成最简分数。分子比分母小的分数叫做真分数，分子大于或等于分母的分数叫做假分数。一个正整数与一个真分数相加所成的数叫做带分数。带分数的加减运算，可将它们的整数部分和真分数部分分别相加减，再将所得的结果合并起来；或者将带分数化成假分数在进行加减运算。注意列方程求未知数的一般书写步骤：（1）设未知数为 x；（2）根据题意列出方程：（3）根据加减互为逆运算，表示出 x 等于那些数相加减；（4）计算出 x 的值，并写出上结论 2.5 分数的乘法 两个分数相乘，将分子相乘的积作积的分子分母相乘的积作积的分母。整数与分数相乘，整数与分数的分子的积作积的分子，分母不变。2.6 分数的除法 1 除以一个不为零的数得到的商，叫做这个数的倒数。a 的倒数是 1a(a0)，pq 的倒数是 qp(p0,q0)。互为倒数的两个数的乘积为 1。甲数除以乙数（0 除外），等于甲数乘以乙数的倒数。用字母表示就是：mn pq=mn pq(n0,p0,q0).2.7 分数和小数的互化 一个最简分数，如果分母中只含有素因数 2 和 5，再无其他素因数那么这个分数可以化成有限小数。一个小数从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现，这个小数叫做循环小数。一个循环小数的小数部分中依次不断地重复出现大的第一个最少的数字组，叫做这个循环小数的循环节。一个分数总可以化为有限小数或无线循环小数 2.8 分数、小数的四则混合运算 分数、2.9 分数运算的应用 分数运算的应用 第三章 比和比例 3.1 比的意义 a,b 是两个数或两个同类的量，为了把 b 和 a 相比较，将 a 与 b 相除，叫做 a 与 b 的比。记作 a:b，或写成 ab，其中 b0；读作 a 比 b，或 a 与 b 的比。a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。前项 a 除以后项 b 所得的商叫做比值。求两个同类量的比值时，如果单位不同，必须把这两个量化成相同的单位。比值可以用整数、分数或小数表示 注意比、分数和除法三者之间的关系是：1、比的前项相当于分数的分子和除式中的被除数；2、比的后项相当于分数的分母和除式中的除数；3、比值相当于分数的分数值和除式中的商。3.2 比的基本性质 比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（0 除外），比值不变。注意三项连比的性质是：1、如果 a：bm：n，b：cn：k，那么 a：b：cm：n：k。2、如果 k0，那么 a：b：cak：bk：ckak：bk：ck。注意求三项连比的一般步骤是：。1、寻找关联量，求关联量对应的两个数的最小公倍数 2、根据比的基本性质，把两个比中关联量化成相同的数 3、对应写出三项连比 注意关联量：1、将三个整数比化为最简整数比，就是给每项除以最大公约数 2、将三个分数化为最简整数比，先求分母的最小公倍数，再给各项乘以分母的最小公倍数；3、将三个小数比化为最简整数比先给各项同乘以 10,100,1000 等，化为整数比，再化为最简整数比 3.3 比例 a（第一比例项）：b（第二比例项）=c（第三比例项）：d（第四比例项）；其中 a、d 叫 做比例外项，b、c 叫做比例内项 如果两个比例内项相同，即 a：bb：c，那么把 b 叫做 a 和 c 的比例中项。比例的基本性质：如果 a：bc：d 或abcd，那么 adbc。简单的说，就是内项之积等于外项之积 列方程解应用题的一般书写步骤分四步：（1）设未知数（2）列方程（3）解方程（4）答 注意：1、列比例方程时，一定要注意对应关系，一定要注意同类量的单位要对应统一 3.4 百分比的意义 把两个数量的比值写成100n的形式，成为百分数，也叫做百分比或百分率，记作 n，读作百分之 n。符号“”叫做百分号。3.5 百分比的应用 在生产和工作中常用的百分率有：及格率及格人数总人数100；合格率合格产品数产品总数100；增产率增加的产量原来的产量100；出勤率实际出勤人数应该出勤人数100；等等。盈利率盈利成本100售价-成本成本100 亏损率亏损成本100成本-售价成本100。银行利息的结算和本金、利率和期数有关（注意：贷款利息不纳税）利息=本金利率期数；利息税=利息20；税后本息和=本金税后利息=本金利息利息税=本金利息（120）增长率=增长的量原来的基数100 注意：1、三个关键词：是，占，的 2、一条主线：求部分占全体的百分数；三类情景：一般文字题，统计图和统计表，恩格尔系数 3.6 等可能事件 P发生的结果数所有等可能的结果数.第四章圆和扇形 4.1 圆的周长 圆的周长直径圆周率 Cd 或 C2r 其中 是一个无限不循环小数，通常取=3.14 注意：1、会根据题意，有其中 2 个量求第三个量的值 4.2 弧长 1圆心角所对弧长13602r1180r n圆心角所对弧长360n2r180nr 4.3 圆的面积 圆的面积 Srrr2 环形的面积=大圆的面积小圆的面积，S=（R2r2）4.4 扇形的面积 扇形面积公式S扇=360nr2=12lr 注意：1、要求阴影部分面积，要善于抓住图形间的位置关系和数量关系进行适当的割补 第五章 有理数 5.1 有理数的意义 整数和分数统称为有理数 有理数 整数：正整数、零、负整数 分数：正分数、负分数 5.2 正数和负数 零是正数和负数的分界。只有符号不同的两个数，我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称为这两个数互为相反数，零的相反数是零。数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示。一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值 注意：1、一个正数的绝对值是它本身。2、一个负数的绝对值是它的相反数。3、零的绝对值是零。4、两个负数，绝对值大的那个数反而小。5.3 有理数的加减 有理数加法法则：1、同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加。2、异号两数相加，绝对值相等时和为零，绝对值不相等时，其和的绝对值为较大绝对值减去较小的绝对值所得的差，其和的符号取绝对值较大的加数的符号。3、一个数同零相加，仍得这个数。有理数加法的运算律 1、交换律：a+b=b+a 2、结合律：（a+b）+c=a+(b+c)有理数的减法法则 1、减去一个数，等于加上这个数的相反数 2、a-b=a+(-b)5.4 有理数的乘除 两数相乘的符号法则 正正得正，正负得负，负正得负，负负得正。有理数的乘法法则 1、两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。2、任何数与零相乘，都得零。注意连成的符号：1、几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定 2、当负因数有奇数个时，积为负 3、当负因数有偶数个时，积为正 4、几个数相乘，有因数为零，积就为零 有理数除法法则 1、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。2、零除以任何一个不为零的数，都得零。5.5 有理数的乘方 求 N 个相同因数的积的运算，叫做乘方。乘法的结果叫做幂。在 an中，a 叫做底数，n 叫做指数，读作 a 的 n 次方，an看做是 a 的 n 次方结果时，读作 a 的 n 次幂。注意：1、正数的任何次幂都是正数，负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。2、有理数混合运算的顺序：先乘方，后乘除，再加减；统计运算从左到右；如果有括号，先算小括号，后算中括号，再算大括号。3、把一个数写成 a*10n(其中 1a10，n 是正整数，这种形式的计数方法叫做科学计数法 第六章 一次方程（组）及一次不等式（组）6.1 方程的意义 用字母 x、y、等表示所要求的未知的数量，这些字母称为未知数。含有未知数的等式叫做方程。在方程中，所含的未知数又称为元。为了求得未知数，在未知数和已知数之间建立一种等量关系式，就是列方程。如果未知数所取的某个值能使方程左右两边的值相等看，那么这个未知数的值叫做方程的解 6.2 一次方程的意义 只含有一个未知数且未知数的次数是一次的方程叫做一元一次方程 等式性质：1、等式两边同时加上（或减去）同一个数或一个含有字母的式子，说得结果仍是等式。2、等式两边同时乘以同一个数（或除以同一个不为零的数），所得结果仍是等式。去括号的法则是：括号前带“+”号，去掉括号时括号内各项都不变符号。括号前带“”号，去掉括号时括号内各项都改变符号。6.3 一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤是：1、去分母；2、去括号；3、移项；4、化成 ax=b（a0）的形式 5、两边同除以未知数的系数，得到方程的解 x=b/a 列方程解应用题的一般步骤是：1、设未知数（元）；2、列方程；3、解方程；4、检验并作答。6.4 不等式的意义及解法 用不等号“”“”“”“”表示的关系式，叫做“不等式”。不等式性质：1、不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：如果 ab，那么 a+mb+m 如果 ab，那么 a+mb+m 2、不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：如果 ab，且 m0，那么 ambm（或 a/mb/m）如果 ab，且 m0，那么 ambm（或 a/mb/m 3、不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：如果 ab，且 m0，那么 ambm（或 a/mb/m）如果 ab，且 m0，那么 ambm（或 a/mb/m）在含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。一般情况下，一元一次方程的解只有一个，一元一次不等式的解可以有无数个。不等式的解的全体叫做不等式的解集。只含有一个未知数且未知数的次数是一次的不等式叫做一元一次不等式。解一元一次不等式的一般步骤与解一元一次方程类似。不等式组 由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集。求不等式组的解集的过程叫做解不等式组。如果各个不等式的解集没有公共部分，那么这个不等式组无解。解一元一次不等式组的一般步骤是：1、求出不等式组中各个不等式的解集；2、在数轴上表示各个不等式的解集；3、确定各个不等式解集的公共部分，就得到这个不等式组的解集。二元一次方程 含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程。使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。二元一次方程的解有无数个，二元一次的解的全体叫做这个二元一次方程的解集。由几个方程组成的一组方程叫做方程组。如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的 二元一次方程组 次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组。在二元一次方程组中，使每个方程都适合的解，叫做二元一次方程组的解。通过“代入”消去一个未知数，将方程式转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法。通过将两个方程相加（或相减）消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做加减消元法。如果方程组中有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次，这样的方程组叫做三元一次方程组。注意：1、列方程解应用题时要灵活选择未知数的个数。2、对于含有两个未知数的应用题一般采用列二元一次方程组求解；对于含有三个未知数的应用题一般采用列三元一次方程组求解。第七章 线段与角的画法 7.1 直线的画法 7.2 射线的画法 7.3 线段的画法 联结两点的线段的长度叫做两点之间的距离。两条线段可以相加（或相减），它们的和（或差）也是一条线段，其长度等于这两条线段的长度的和（或差）。将一条线段分成两条相等线段的店叫做这条线段的中点。7.4 角的画法 角是具有公共端点的两条射线组成的图形。公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边。角是由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形。处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边。两个角可以相加（或相减），它们的和（或差）也是一个角，它的度数等于这两个角的角度的和（或差）。从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。7.5 角的测量 如果两个角的度数的和是 90，那么这两个角叫做互为余角，简称互余。其中一个角成为另一个角的余角。如果两个角的度数的和是 180，那么这两个角叫做互为补角，简称互补。其中一个角称为另一个角的补角。注意：1、同角（或等角）的余角相等；2、同角（或等角）的补角相等；提问：1、一个角与它的余角相等，这个角是怎样的角？是锐角 2、一个角与它的补角相等，这个角是怎样的角？是直角 3、互补的两个角能否都是锐角？不能 4、互补的两个角能否都是直角？可能 5、互补的两个角能否都是钝角？不能 第八章 长方体的再认识 长方体的顶点；长方体的棱；长方体的面；长方体的表面积；长方体的体积公式；1、长方体有六个面，八个顶点，十二条棱。2、长方体的每个面都是长方形。3、长方体的十二条棱可以分为三组，每组中的四条棱的长度相等。4、长方体的六个面可以分为三组，每组中的两个面的形状和大小都相同。5、第 115 页：长方体中棱与棱位置关系的认识：如图：棱 EH 与棱 EF 所在的直线在同一个面内，它们有惟一的公共点，我们称这两条棱相交。棱 EF 与棱 AB 所在的直线在同一个面内，但它们没有公共点，我们称这两条棱平行。棱 EH 与棱 AB 所在的直线既不平行，也不相交，我们称这两条棱异面。6、一般地，如果直线 AB 与直线 CD 在同一平面内，具有惟一公共点，那么称这两条直线的位置关系为相交，读作：直线 AB 与直线 CD 相交。7、如果直线 AB 与直线 CD 在同一平面内，但没有公共点，那么称这两条直线的位置关系为平行，记作：ABCD，读作：直线 AB 与直线 CD 平行。8、如果直线 AB 与直线 CD 既不平行，也不相交，那么称这两条直线的位置关系为异面，读作：直线 AB 与直线 CD 异面。9、直线 PQ 垂直于平面 ABCD，记住：直线 PQ平面 ABCD，读作：直线 PQ 垂直于平面 ABCD。10、如何检验直线与平面垂直呢？可以用“铅垂线”检验。如果细棒垂直于墙面，可以用“三角尺”检验。还可以用“合页型折纸”检验直线是否垂直于平面。11、直线 PQ 平行于平面 ABCD，记作：直线 PQ平面 ABCD,读作：直线 PQ 平行于平面 ABCD.12、如何检验直线与平面平行呢？可以用“铅垂线”检验。也可以用“长方形纸片”检验。