高考数学圆锥曲线.docx

高考数学圆锥曲线圆锥曲线在高考中的常见题型及其解法从近几年全国各地的高考题来看，圆锥曲线问题一直是以拉开差距的题目的身份出现，难度较大。因此，对于那些想考上较好大学的学生题目的综合性较强，计算能力要求较高，让我们来看看高考中这类问而言，圆锥曲线问题就成了必争之地，而要突破它也并非难事，题是怎样出现的吧！一、新趋势，与圆结合中降低了对圆锥曲线的要求，这让我们看到高随着课程的不断推广，新课标教材，而且难度较小。如：考中圆锥曲线与圆相结合的问题逐渐增多（尤其是新课标考区）22oy的1年广东理）在平面直角坐标系：例（中，已知圆心在第二象限、半径为0722yCCO1y椭圆与直线与圆相切于坐标原点的一个交点到椭圆两焦点的圆2a910距离之和为则F在OQ的中垂线上，又O、Q在圆C上，所以O、Q关于直线CF对称；直线CF的方程为4y315y-1=,即。设Q（,y），则，解得03y41)(123y3y40522412所以存在满足条件的点Q，其坐标为。),(55点评：圆与圆锥曲线相结合的问题主要是强调对圆锥曲线基本概念的理解，要充分利用圆的几何性质对题目条件进行合理的转化，以简化计算，解决问题。二、向量参与圆锥曲线问题的两种方式我们经常在圆锥曲线问题中看到向量，比较简单的是用向量语言表述几何关系。如用10OAOBOBOAOM的中点等等。M用，表示是线段AB和表示OAOB互相垂直2另一种情况是用向量语言表述坐标关系，下面我们还是通过一些题目来说明这些是如何办到的。0)B(0，1)A(2，）设椭圆中心在坐标原点，08全国II：是它的两个顶点，直线例2（yk(k0)ABDEF两点与相交于点，与椭圆相交于、-1-ruuuuuruDF6EDkAEBF面积的最大值的值；（）求四边形，求（）若221yEF，AB为方程得椭圆的（解析的：方程）分依别题为，设直线4)，k)，Fk(D(，k)，E(0)ky2yk2(，其中，如图，设20220221222，4k)(14且，故满足方程12212k41yruuuruuuBDF6ED6()，得知由F0102D1015OA(6)；2120772k471E21022k2ABD，得所由以在，上知化简得00012k12k2k4712320625k24kkk，解得或38E，FAB的距离到式知，点分别为离（）根据点到直线的距公式和22k2k222)4k)12(122(12k14kk1122hh，215522)5(1k5(1k4)42125ABAEBF的面积为，所以四边形又21)k2(12k11424kk1422SAB(hh)52，21222k4122k41k451122kS12k，即当时，上式取等号所以当的最大值为2点评：就像本题一样，最常见的向量语言表述坐标关系莫过于定比分点坐标公式。在正负进行讨中可能还会以线段的比值关系来给出这样的条件，此时还要注意对些题目论，然后利用向量找到坐标之间的关系以解决问题。三、圆锥曲线中的面积问题2y21y轴四点都在椭圆II05全国卷）、为椭圆在上，：例3（PQFMN2ruuuruuuuuruuruuuurruuuuuuFQ共线，且与共线，与正半轴上的焦点已知求四边形PFPMQNMF0PFFNMF-2-的面积的最小值和最大值1ky。：PQ0斜率存在且不为时，设为k。则解析：当PQ1yk22y,y,QP02k21k得，。设由2121220y222122k12k2PQ1k,。则2122112222k2kk2222114k12k2MNMNSPQ。同理可得，。PMQN222212k2kk12244t2211ttk1tkS。，则令。PMQN21tt1215124t1612S10，PMQN9t1S2PQMN时，当PQ斜率不存在或为0PMQN2162、的面积的最小值为综上所述，四边形，最大值为PMQN9点评：此题以向量的形式告诉我们过上焦点的两条相互垂直的直线与椭圆交于四点，的四边形的面积的最值。解决此题时要注意一下两点：要能够并要我们求这四点所构成再顺利表示出四边形通过对四边形面积的分割，将四边形的面积转化为两条弦长的乘积。对于这些类似的分式函数常的面积以后，要能够通过合理的换元求出那个分式函数的最值。或用判别式法求最值。另见的求最值的方法有，换元后用均值不等式、或转化为二次函数、外，对所求面积进行合理的分割，能起到简化计算的作用，如下面这个题目。四、求值、求方程问题积问题，求值、求方程类问题的条件更加变化多端，可能需要对条件作出更相对于面求方程就是求方程中待定的系才能够利用条件列出方程以求出所需的值。注意，多的转化，数，也就是求值。)3(1,v32,0l）和椭圆的直线05例4：（福建卷）已知方向向量为过点（22y)0(abC:1l的右准CC的中心关于直线的对称点在椭圆的焦点，且椭圆22ba。线上的方程；（）求椭圆C46ONOMcot交椭圆，满足NC于点M、m02E（）是否存在过点（，）的直线3、为原点）（MON0O。的方程；若不存在，请说明理由若存在，求直线m-3-22y1的方程为：C。（解析：I）椭圆262ty。）由已知，直线轴，所以可设其方程为：IImy（不垂直于2ty22y,MN,y,0ty2t3y4、得，设由211222063y21t2624tyyyyyy。则，212211222t3t3t3216t12OESSSyy。21OMNOMEONE223t26422S313tt6ONOM，知。又由MONcot。MON33t33y2022t。或，其方程为：。所以，解得，存在这样的直线m或264S6ONOM转化为0MON才能点评：对于此题，要将条件cotMON33够突破问题的关键。此外，大胆的设方程、设参数也是需要不断向学生渗透的重要。五、求范围问题如果说求值要想尽一切办法列方程的话，那么求范围就要想尽一切办法列不等式，列0；曲所求字母的不等式以求出其范围。其中，能用于列不等式的主要有：判别式线上点坐标的范围；特殊的已知条件。另外要注意的是，我们所求的字母有可能是一些变量的函数，我们可利用函数求值域的方法求其范围。22FF1y分别是椭圆20）设、例5：（07四川理的左、右焦点。214PFPFP的最大值和最小值是该椭圆上的一个动点，求;（）若·12AOBOl)2M(0,BA（其中与椭圆交于不同的两点且、（）设过定点为锐角的直线，lk的取值范围。的斜率为坐标原点），求直线3,0FF3,0,yP,3c2,b1,a，设，所以，解析：（）易知21uuuruuuur21222283313y,3,yy,PFPF3则2144uuuruuuur2,2PFPF0P2，即点为椭圆短轴端点时，因为有最小值，故当21-4-ruuuuruuuPFPF2P1当为椭圆长轴端点时，即点有最大值21yy,l:yk2,AB,l，的斜率存在，可设直线（）显然直线22122yk12204k3ky，消去，整理得：联立2421y434k,kk4433122kk04kk4334k由得：或224ruuuuuurruruuuuu000OBA0B0OAco0A0B900yOAOBy又kk38k242k2k2kyyk4又21221112111222kkk444231k204k2k2，即1122kk44332k2k或故由、得22点评：这个题中体现了用判别式及已知条件列不等式求范围的方法，容易找到切入点，AOB值得提醒学生注意的是为锐角是怎样应用的。228y1M为圆上一动点，0），：，定点A（1C（例6：05石家庄一模）已知圆0AM2AP,NPAMNCMNPAME。的轨迹为曲线点在上，且满足上，点在，点的方程；（I）求曲线EHHGFGF，且满足（点在点之间）、）的直线交曲线（II）若过点（0，2E于不同的两点、FHFG的取值范围，求。点拨：这个题目还是可以构造韦达定理来求解，但计算量较大。下面的解法就是通过的关系，从而利用椭圆上点的纵坐标的范围得到了向量找到了椭圆上一点的纵坐标和的取值范围。22y1、参考：（I）曲线E的方程为：2-5-以。综上，322y1的左焦点为F，O为坐标原点。例7：（06年福建）已知椭圆2l相切的圆的方程；，并且与椭圆的左准线O、F（I）求过点轴的垂直平分线与ABB两点，线段）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、（II交于点G，求点G横坐标的取值范围。ABk虽然不受任何限定，但点拨：此题就是一个利用函数求范围的典型例子，的斜率却由函数的解析式得到了一个范围。用它表示的函数G1922、y(2)()）所求圆的方程为参考：（kkky。00G22222k12k12k124k2（II）1Qk0,0,G21(,0)。G横坐标的取值范围为点2六、定点、定值问题高考中常出现证明直线过定点这样的问题，要解决这样的问题通常是表示出该直线方程，求出其要过的定点，从而证明问题。对于定值问题也是如此，都是以求代证，用求出变量的值为定值来证明问题。CC上的点到焦山东理）已知椭圆轴上，椭圆的中心在坐标原点，焦点在07例8：（31，最小值为点距离的最大值为C的标准方程；（）求椭圆CA，Bmkl:yABBA，且以不是左右顶点），（）若直线与椭圆相交于两点（Cl过定点，并求出该定点的坐标为直径的圆过椭圆的右顶点。求证：直线22y1椭圆的标准方程为（）解析：43-6-ykm，222B(，y)A(，y)(34k)8mk4(m3)0，（），设得，联立22y12211、34222203m4km64k163、因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以，234m8mk220m34k，且即21212234k34k22)k43(m22)mmk(m)(km)kyy(k又，212112122k43D(2，0)AB，因为以为直径的圆过椭圆的右焦点kk1yy2()40，212BD112AD2223)16mk)4(3(mm4k40，222k4k443k332k22k2m0k16mk49mm，且均满足式，解得：，127m2kyk(2)(2，0)l，与已知矛盾；，直线过定点时，当的方程为12k220yk，ml，直线过定点时，的方程为当277720，l过定点，定点坐标为所以，直线7点评：证明直线过定点的问题，即求出直线所过的定点，那么该怎样求直线所过的定点呢？其实就是利用已知条件找到直线方程中两个待定系数之间的关系，消掉其中一个即可，因为我们能够求出只含有一个待定系数的直线过怎样的定点。C(0，p)Oy作直线与抛物线中，过定点9例：（07湖北理）在平面直角坐标系2A，Bpy20p两点（）相交于NCOANB面积的最小值；的对称点，求（I）若点是点关于坐标原点AClly为直径的圆截得的弦长恒为定值？若，使得（II）是否存在垂直于被以轴的直线l的方程；若不存在，说明理由存在，求出A(，y)，B(，y)N(0p)，N的坐标为，可设解析：（）依题意，点，221122py，2py2ypykAB得去立联程线直的方为得与，消pky-7-22202pkp2p2pk2由韦达定理得，212112)4pp(2SpS·S于是2112212ACNABN1BCN2222222kp4p2kp8p，2p22(S)0k时，当minABNyal，（）假设满足条件的直线存在，其方程为Q，PQACOAClPH，的中点为与，为直径的圆相交于点的中点yp11，QHPQO点的坐标为则，y221112222pyO(Pyp)AC，B111222COpy11OaH2aypA，l122O)payyp)PHOPO(2H(N1144p)a(paya，12p22)PH(2PQ4aya(pa)12pppPQpa0yal，。为定值，故满足条件的直线此时令其方程为存在，得222点评：解决定值问题只需求出定值即可，此题中不过用到了圆的几何性质，把弦长表aa的值以使得弦长为定值。示为了变量的函数，去确定圆锥曲线问题要求较高、形式多样，这里仅是我们肤浅的看法，总结并不全面（如轨迹问题就没有总结在列）。我们只是希望通过这样的形式回顾、总结教学中的得失，交流心得、感受而已。-8-